3.2 函数的模型及其应用 题源2 建立确定性函数或拟合函数模型解决实际问题-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

§3.2函数的模型及其应用 考纲·题型解读 1.了解指数函数、对数函数以及暴函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会中普遍使用的函数模型）的广泛应用 3.体会函数内容的重要性，并初步运用函数思想，理解和处理现实生活中的简单问题， 4,作为对考生能力和素质的考查，高考加大了对函数应用性问题的考查力度，分析每年的高考应用性问题不难看出，试题 从实际出发更多地提供命题的背景，设问新颖、灵活而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中教学大纲 上所要求掌握的概念、公式，定理和法则等基础知识和方法， 五年高考母题题源揭秘 题源1给定函数模型解决实际问题 题源2建立确定性函数或拟合 函数模型解决实际问题 解题模型 (门)常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数函 解题模型 数、对数函数、幂函数」 通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称 (2)指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较： 为数学模型方法，简称建模。 一般地，在区间(0，十o∞)上，尽管函数y=a(a>1),y= 解决函数应用题的基本步骤： logx(a>1)和y=x”(n>0)都是增函数，但是它们的增长 第一步：认真读题，镇密审题，确切理解题意，明确问 题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转 速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y= 化成数学问题，即实际问题数学化； a(a>l)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x” 第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问 (n>0)的增长速度；而y=log。x(a>1)的增长速度会越来 题，得出函数问题的解： 越慢，因此，总会存在一个x0,当x>x。时，有log。x<x” 第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验 a 证，看是否符合实际，并对实际问题作答 解决函数应用题的关键有两点：一是实际问题数学 [真题1](2022·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定 化，即在理解的基础上，通过列表、画图、引入变量、建立直 各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6 角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x 翻译成数学符号语言；二是对得到的函数模型进行解答， 之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大 得出数学问题的解， 整数)可以表示为 [真题2](2022·湖北)为了在夏季降温和冬季供腰时减 少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要 建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万 元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度 c】 x(单位：m清足关系，C)=千50<≤10，若不速5热 层，每年能源消耗费用为8万元，设∫(x)为隔热层建造费用与 [解析]根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数 20年的能源消耗费用之和. 除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9 (I)求k的值及f(x)的表达式； 时可增选一名代表.因此利用取整函数可表示为y= []故 (Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最 小值 选B. [解析](I)设隔热层厚度为xcm,由题设，每年能源消 ·51· 耗费用为C(x)=3z十5，再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)= S=/900t2+400-2·30t·20·cos(90°-30°) =/900t2-600t+400 5而建造费用为C1(x)=6z 40 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 -号）) +300. 40 800 fx)=20C(x)+C(x)=20×3x+5+6x=3+5+6x 故当t= 时，5m=10后，此时0=105=305. 3 1 3 (0x10). 2400 2400 即小艇以30√3海里/小时的速度航行，相遢时小艇的航行 （1)'(x)=6-az+5,令f(x)=0,即8z+5=6, 距离最小 解得x=5,x= 要〔合. (2)设小艇与轮船在B处相遇，则 当0<x<5时，f'(x)<0,当5<x<10时，f'(x)>0,故x B =5是f(2)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+5十5 800 30 =70. 当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元. [点评]求最值问题要有函数的思想，而求函数的最值，往 02t2=400+900t2-2·20·30t·c0s(90°-30) 往利用导数研究图象再求最值， 故=900-600+400 t t2 [真题3](2022·福建)某港口O要将一件重要物品用小 600,400 艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 0<u≤30,900- t 900, 北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小 2 时的航行速度向正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以。 即2-3≤0，解得23 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇 2 又t=3时0=30. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的 大小应为多少？ 故=30时4取得最小值，且最小值等于号 (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设 此时，在△OAB中，有OA=OB=AB=20,故可设计航行 计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能 方策如下： 以最短时间与轮船相遇，并说明理由. 航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能 [解析](1)设相逼时小艇航行的距离为S海里，则 以最短时间与轮船相遢. 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 题源1给定函数模型解决实际问题（★★★） CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段 上驶入与驶出的车辆数相等)，则 () 1.(2022·江苏)将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平 行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s= 袋鹃盟，景小位老—一 题源2建立确定性函数或拟合 A.1>x2>I3 函数模型解决实际问题（★★★） B.21>1>! 2.(2018·北京)右图为某三岔路口交通环岛的简化模型. C.22>43>I 在某高峰时段，单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数如图所 D.x3>x2>x1 3.(2020·全国I)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减 示，图中x1,x,x?分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC, 速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t ·52·