4.1 导数与积分 五年高考母题原型训练-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

1 x+1 专4=2时，r0=+六而10=合 因此曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y (）子-0.甲7--8=. (Ⅱ)因为a≠-1，由(I)知f'(1)=+)+1十 a+1 1 a+十2，又因为f(x)在x=1处取得极值，所以1)=0. 1 1 即。十十2=0，解得a=-3. 北时f)-+n+1,关定义域为(-1,3U8,+ mfea+-B由ra -2 0得x1=1,x2=7,当-1<x<1或x>7时，f'(x)>0:当1<x <7且x≠3时，f'(x)<0.由以上讨论知，f(x)在区间(-1,1]， [7,十∞)上是增函数，在区间[1,3)，(3,7]上是减函数. [真题16](2022·陕西)已知函数f(x)=√x,g(x)= aln.x,a∈R. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有 相同的切线.求a的值及该切线的方程； (2)设函数h(x)=f(x)一g(x),当h(x)存在最小值时，求 其最小值p(a)的解析式： (3)对(2)中的9(a)和任意的a>0,b>0,证明：g +bp'(a)+gb2≤e(2abl: 2 2 2Gg'（x)=2x>0. 1 [解析](1)f'(x)= [√x=alnx, 由已知得1=a,解得a=乞，x=e, 2√x 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 题源1导数的有关概念（★★★★） 1.(2020·北京)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其 中A,B,C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0)=: f(1+△x)-f(1) lim .(用数宇作答) △x--0 △x C 0123456x 2.(2021·广东)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿 同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为年 ·5 .两条曲线交点的坐标为(e,e) 切线的斜率为k=f'(e)=2 1 六切线的方程为ye=2元x-e), (2)由条件知h(x)=√x一alnx(x>0), '()=1-2=E-2a ①当a>0时，令h'(x)=0,解得x=4a2, .当0<x<4a2时，h'(x)<0,h(x)在(0,4a)上递减： 当x>4a2时，h'(x)>0,h(x)在(4a2,+o)上递增. ∴.x=4a2是h(x)在(0，十©∞)上的唯一极值点，且是极小 值，点，从而也是h(x)的最小值点， ∴.最小值g(a)=h(4a2)=2a-aln4a=2a(1-ln2a). ②当a≤0时，1/(x)=丘二2u>0,h(z)在(0，十0)上递 2x 增，无最小值 故h(x)的最小值p(a)的解析式为p(a)=2a(1-ln2a)(a >0). (3)由(2)知p'(a)=-2ln2a, 对任意的a>0,b>0, '(a)+(b)_2ln2a+2ln26--Im4ab. ① 2 9(）=-.生）-na+ayr≤-na,@ Aab -ln4ab,③ 2 和乙（如图所示）那么对于图中给定的t,和t1,下列判断中一 定正确的是 v(t) 0 to ty A.在t。时刻，两车的位置相同 B.t。时刻后，乙车在甲车前面 C.在t1时刻，甲车在乙车前面 D.t1时刻后，甲车在乙车后面 题源2导数的运算（★★★★★） 3.(2019·全国1)曲线y= 子+x在点()处的切 线与坐标轴围成的三角形面积为 ( 1 A.9 号 1 C.3 4.(2020·福建)函数f(x)=cos.x(x∈R)的图象按向量 (m,0)平移后，得到函数y=一f'(x)的图象，则m的值可以为 () A号 B.π C.一π D.-日 5.(2022·江西)若函数f(x)=ax+bx2十c满足f'(1)= 2,则f'(一1)等于 A.-1 B.-2 C.2 D.0 6.(2020·全国I)设曲线y=e“在点(0,1)处的切线与直 线x+2y+1=0垂直，则a= 7.(2018·全国I)设函数f(x)=cos(W5x十9)(0<9<x) 若f(x)+f(x)是奇函数，则9= 8.(2020·江苏)请先阅读：在等式cos2x=2cos2x一1(x R)的两边对x求导(cos2x)'=(2cos2x一1)'. 由求导法则得(-sin2x)·2=4cosx·(-sinx),化简后得 等式sin2x=2 sinccosc. (I)利用上述想法（或者其他方法），试由等式(1十x)”=C 十Cx十Cx2十…十C-1xm-1十Cx"(x∈R,整数n≥2)证明：n [(1+x)-1-1]=kC%x-1. (Ⅱ)对于整数n≥3，求证： (i)∑(-1)kC=0: k=1 (i)∑(-1)k2C=0: i2有代20品 n+1· 题源3导数的几何意义（★★★★） 9.(2022·全国)曲线y=x3一2x+1在点(1,0)处的切线 方程为 A.y=z-1 B.y=-x+1 ·6 C.y=2x-2 D.y=-2x+2 10.(2021·辽宁)曲线y=二2在点(1，一1)处的切线方程为 ( A.y=z-2 B.y=-3.x+2 C.y=2x-3 D.y=-2x+1 11.(2019·浙江)设f'(x)是函数f(x)的导函数，将y= f(x)和y=f'(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正 确的是 12.(2020·福建)如果函数y=f(x)的图象如下图，那么导 函数y=f'(x)的图象可能是 13.(2019·浙江)曲线y=x3一2x2一4x+2在点(1，一3) 处的切线方程是 14.(2018·北京)过原点作曲线y=e的切线，则切点的坐 标为 ,切线的斜率为 15.(2021·宁海)曲线y=xe+2x+1在点(0,1)处的切 线方程为 16.(2021·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线 C:y=x3-10.x十3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处 的切线的斜率为2，则点P的坐标为 17.(2021·北京)设f(x)是偶函数.若曲线y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线的斜率为1，则该曲线在点（一1，f(一1）)处 的切线的斜率为 题源4导数几何意义的综合应用（★★★★★） 18.(2022·北京)设函数fx)=ln1+x)-x+ +2x(k≥0). 20.(2019·天津)已知函数x)=2aa+1(x∈R),其 x2十1 (I)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线 中a∈R. 方程； (I)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线 (Ⅱ)求f(x)的单调区间. 方程： (Ⅱ)当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值. 21.(2021·天津)已知函数f(x)=(x2十a.x-2a2+3a)e 19.(2018·重庆)设函数f(x)=x3-3a.x2+3b.x的图象与 (x∈R),其中a∈R. 直线12x+y-1=0相切于点(1，-11). (I)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线 (I)求a、b的值； 的斜率； (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性。 ()当a≠号时，求函数f(x)的单调区间与极值 2022一2023高考题源拓展测试 P未来高考还会这样考， (测试时间：90分钟总分：100分) 一、选择题（本题包括8小题，每小题25分，共20分。每小题 4.(g2)已知f(x)=x+2xf'(1),则f'(0)等于( 只有一个选项符合题意) A.0 B.-4C.-2 D.2 5.(心2,3)若曲线f(x)=x一x在点P处的切线平行于直 1.(G2,3)曲线y=2x在点（1,1)处的切线方程为 线3x一y=0,则点P的坐标为 ( A.(1,0) B.(1,5) A.x-y-2=0 B.x+y-2=0 C.(1,-3) D.(-1,2) C.x+4y-5=0 D.x-4y-5=0 6.(了2.3)曲线y=f(x)在点(xo,f(x。)处的切线方程为 2.(心2)下列求导数运算正确的是 ( 3x十y+3=0,则 () A(x+2y=1+立 1 B.(log:)-in2 1 A.f'(x)>0 B.f'(xo)<0 C.f'(xo)=0 D.f'(x。)不存在 C.(3)=3*log;e D.(x'cosz)'=-2x sinz 7.(了2.3)f(x)=x3十x-2在点P。处的切线平行于直线 3.(2.3)已知定义在R上的函数y=f(x)在x=2处的切 y=4x一1，则P。的坐标为 () 线方程是y=一x+6,则f(2)+f'(2)等于 A.(1,0) B.(2,8) A.2 B.2 C.3 D.0 C.(1,0)或(-1，-4) D.(2,8)或（一1，一4） ·61(2)设甲方净收入为0元，则=st一0.002t. 将t 1000 代人上式，得：0=1000 2×1000 又令 0' 1000 8×10003 + =1000(8000-s) s ’=0,得s=20 当s<20时，v'>0:当s>20时，0<0，所以s= 20时，v取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格s=20(元/吨) 时，获最大净收入 15.解：(1)每套福娃所需成本费用为 P 1000+5.x+10x 2 702x+100+5 2√/100+5=25. 当且仅当0-100时取等号，即x=100时，每 套福娃所需成本费用最少为25元 (2)利润为Q-P=(a+)-(（00+5+局) (-)r+a-50-100. 5-a 150, 由题意可得 →a=25,b=30. +g 30, 16.解：(1)前n天注入水库的总水量为 5000√n(n+24)立方米，并泄水4000n立方米， 所以第n天水库的容水量将达到80000+5000· √n(n+24)-4000n(n∈N',n≤10). (2)设第R天水库的水量超过它的最大容水量， 即f(R)≥128000，即80000+5000√R(R+24) 4000R≥128000. 化简可得，5WR(R+24)≥4R+48, 两边平方并整理可得：R+24R-256≥0，即 (R+32)·(R-8)≥0→R≥8，即第8天发生危险. 17.解：(1)当0<x≤10时，f(x)=-0.1(x 13)2+59.9,故f(.x)递增，最大值为f(10)=59. 当16<x≤30时，f(x)=-3x+107,故f(x) 递减，f(x)<-3×16+107=59. ·2 因此开讲后10分钟学生达到最强接受能力，并 维持6分钟. (2)f(5)=53.5,f(20)=47<53.5,故开讲后5 分钟比开讲后20分钟的接受能力强 第四章导数及其应用 §4.1导数与积分 五年高考母题原型训练 1.2-2【解析】f[f(0)]=f(4)=2, +△)①-1).由因解得号+￥ lim △x =1, .2x+y=4,.y=-2x+4,y′=-2=f'(1). 此题主要考查学生对导数的定义理解以及如何由图 象读取信息，属于中档题， 2.C【解析】由路程S=。v(t)dt的意义即 可产生结论，也就是“在t1时刻，甲车在乙车前面”. 3.A【解析】本小题主要考查导数的几何意 义y=2+1.y1=2,即幽线在点(，)必切 线的斜率为2 4 小切线方程为y-3=2(x-1).则切线在x轴 2 上的载距为3，在y轴上的载距为一3故所求三角 形的面积为S=弓××名=1 2X3X3=g故选A 4.A【解析】考查向量平移、函数求导.解题 关键是先将平移前后的函数名称化为一致，后利用平 移公式求解.本题也可将选项代入验证.由题意， cos(x-m)=-f'(x)=-(-sinx)=sinx.∴.m可 以取 5.B【解析】由f(x)=a.x‘十b.x2+c得f (x)=4ax3+2bx,又f'(1)=2,所以4a+2b=2,即 2a+b=1,f'(-1)=-4a-2b=-2(2a+b)=-2. 故选B. 6.2【解析】y'=aer,当x=0时，可得k= y'lz=0=a 点(0,1)处的切线与直线x十2y十1=0垂直， a=2. 7.吾 【解析】本题考查了复合函数的导数及 函数的奇偶性分析， f(z)+f(z)=cos(3x+o)-v3sin(3x+o) =2sim(后-5x-9）小 由此函教为寺画数可得后-9=x,(质∈)由 0<9<x,可得9=交 6 8.证明：(I)在等式(1十x)”=C十Cwx+Cx2 十…十Cx"1十C”x”两边求导得n(1十x)”-1= C,十2Cx+…+(n-1)Ca-1xw-2十Ciz-1 移项得n[(1十x)”-1-1门]=公kCx-.(*) k=2 (Ⅱ)（ⅰ）(*)式中，令x=一1，整理得 总(-1)C=0 所以2(-1)kC=0. k=1 (i)由(I)知n(1+x)”-1=C,+2Cx+…+ (n-1)C%x"-2+nCmx"-1,n≥3. 两边对x求导，得 n(n-1)(1十x)"-2=2C%+3·2C%x十…+n(n -1)CM"-2 在上式中令x=一1，得 0=2C%+3·2C(-1)+…+n(n-1)C%(-1)"-2, 即2k(k-1)C(-1)-1=0亦即之(-1)(k -k)C=0.① 又由(1)知，2(-1)kC=0.② 由①+②得公(-1)kC=0. k=2 (i)将等式(1+x)”=C9+CWx+Cx2+…+ C”1+Cmx”两边在[0,1]上对x积分， (1+x)"dz=(C9+C4x+C%x2+…+ C”-'x"-1+Cmx")dx. 由微积分基本定理，得 n+71+x)* 所以1 n+1 9.A【解析】由题可知，点(1,0)在曲线y= x3-2x十1上，求导可得y′=3.x2-2,所以在点(1， 0)处的切线的斜率=1，切线过点(1,0)，根据直线 的点斜式可得过点(1,0)的曲线y=x3一2x十1的切 线方程为y=x一1，故选A. 10.D【解析】本题考查导数的几何意义.y= 2 -2 二2所以y=x一2)，所以所求曲线在点 1+ ·2 (1,一1)处的切线斜率为一2，故由点斜式得所求切线 方程为y=一2x+1. 11.D【解析】由函数f(x)递增时，f'(x)> 0,函数f(x)递减时，f'(x)<0,函数f(x)取最值 时，f'(x)为0，结合图象可判得D. 12.A【解析】考查导数与函数的本质关系， 可通过函数图象的单调性判断导数的符号，本题中， 所给函数图象的单调性从左到右依次为增减增减，相 应的导数值应为正负正负，故选A.解此类问题，应牢 记导函数图象的单调性与原函数图象的单调性并无 必然联系，以免误选C. 13.5.x+y一2=0【解析】切线的斜率k= y'1z=1=-5, .在点(1，一3)处的切线方程为y十3=一5(x 1),即5.x+y-2=0. 14.(1,e)e【解析】设过原点y=e切线 方程为y=kx,切点为(xoya), yo=kzo 有y'=(e)′=e',. k=e0,解得x。= (yo=ero 1,yo=e ∴.切点为(1，e),.切线斜率为y'|x=1=e 15.y=3x+1【解析】由y′=e十xe2+2, 可得点(0,1)处的切线的斜率k=e°+0e°十2=3， 点(0,1)处的切线方程为y=3.x+1. 16.(-2,15)【解析】本题考查了导数的几 何意义，曲线方程对应的函数的导数的几何意义是曲 线上某点的切线的斜率.由y′=3x2一10=2可解得 x=士2，，切点P在第二象限内，.x=一2，由此可 得点P的坐标为（一2,15）. 17.一1【解析】本题主要考查导数与曲线在 某一点处切线的斜率的概念，属于基础知识、基本运 算的考查，取∫(x)=x2,如图，采用数形结合法，易得 该曲线在（一1，f(一1）)处的切线的斜率为一1.故应 填一1. f(x)=x (-1-1)八9(11) 18.解：(I)当k=2时，f(x)=ln(1+x)-x+ ,f)=-1+2x.由于/1)=n2f 7 3 2 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程 为y-lh2=2(x-1D.即3x-2y+2h2-3=0. (Ⅱ)f'(z)=r(x+k-1) ,x∈(-1，十∞). 1+x 当k=0时，f(x)=一1+x' 所以，在区间（一1,0）上，f'(x)>0:在区间(0， +∞)上，f'(x)<0. 故f(x)的单调递增区间是（一1,0），单调递减区 间是(0，十∞). 当0<k<1时，由f()=十-D=0,得 1+x x1=0,x2 1一k>0. 所以，在区间(-1.0)和（后+）上f( >0:在区间0，)上f'x)<0. 故f(x)的单调递增区间是（一1,0）和 +)单润递减区间是(，） 当k=1时，f(x)=1十 故f(x)的单调递增区间是（一1，+∞）. 当>1时，由()=-D=0,得x 1+x =∈(-1,0=0 所以，在区间(1，。）和0，+)止f'() >0:在区间(.0）上fx<0 故f(红)的单调递增区间是（1，)和 0,十)，单调通减区间是（片小 19.解：(I)求导得f'(x)=3.x2-6ax+3b. 由于f(x)的图象与直线12x十y一1=0相切于 点(1，-11)， 所以f(1)=-11,f'(1)=-12,即 /1-3a+36=-11, 解得a=1,b=-3. 13-6a+3b=-12, (Ⅱ)由a=1,b=-3得 f'(x)=3.x2-6a.x+3b 2 =3(x2-2x-3) =3(x+1)(x-3), 令f(x)>0,解得x<-1或x>3; 又令f(x)<0,解得-1<x<3. 所以当x∈（一∞，一1）时，f(x)是增函数； 当x∈(3，十∞)时，f(x)也是增函数： 但x∈（一1,3）时，f(x)是减函数 20.解：(1)当a=1时，f(x)=2x 22+1,f(2)= 手又frx)=tD2=22 (x2+1)2 (2+1)'f' @-务 所以曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程 为-吉-2.即6+25y-32=0 6 (1)f'(x)=2a(z+1)-2x(2ax-a+1） (x2+1)2 =-2(x-a)(ax+1) (x2+1) 由于a≠0，以下分两种情况讨论. ①当a>0时，令f'(x)=0,得到x1=- x=a,当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如 下表： a,a (a,十o∞) f(x) 0 0 f(x) 极小值 极大值 所以f(x)在区间 ,）a,+)内为 减函数，在区间（是心内为增函数。 函数f(x)在x1=一 工处取得极小值∫ (a)且f()-a. 函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a),且f (a)=1. ②当a<0时，令f'(x)=0,得到x1=a,x:= 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： (x) 0 0 f (x) 极大值 极小值 所以f(x)在区间（一∞，a), 增函数，在区间口，） 内为减函数。 函数f(x)在x1=a处取得极大值f(a),且f (a)=1. 函数f(x)在x2=一 上处取得极小值 ( 且f(）=-a. 21.解：(I)当a=0时，f(x)=xe, f'(x)=(x2+2x)e2,故f'(1)=3e. 所以曲线y=∫(x)在点(1，f(1)处的切线的斜 率为3e. (Ⅱ)f'(x)=[x2+(a+2).x-2a2+4a]e 令f'(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2. 由a≠号知，-2a≠a-2 以下分两种情况讨论. ①若>号则-2a<a-2 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： -∞，-2a 2a -2a,a- a-2Ka-2,+c∞) (x 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以f(x)在(-∞，-2a),(a-2,+∞)内是增 函数，在（一2a,a一2）内是减函数 函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a), 且f(-2a)=3ae2a 函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2), 且f(a-2)=(4-3a)e-2. @若<号则-2>。-2 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： -00,a-2】 a-2a-2,-2a) -2a -2a,十0∞ f(x 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以f(x)在(-∞，a-2),(-2a,十∞)内是增 函数，在(a-2,-2a)内是减函数. 2 函数f(x)在x=a一2处取得极大值f(a一2)， 且f(a-2)=(4-3a)e-2. 函数f(x)在x=一2a处取得极小值f(一2a), 且f(-2a)=3aea, 2012一2013高考题源拓展测试 1.B2.B3.C4.B5.A6.B7.C 8.B 9.ln210.±1 11.x-ey=0 12.ln2 13.解：(1)y=(x·tanx)'= /x·sinx/ =esinz)'·cosz-rsinz·(cosr)y cos'z =(simx+rcost）·cosz+xsin'x cosx -sinz cosc +xcos'x+zsin'z cos'x 之 2 sin2x+xcos+sin cos'x =sin2z +2x 2cos'x (2)方法一：y=(x2+3x十2)(x+3) =x3+6x2+11x+6, ∴.y'=3x2+12x+11. 方法二：y=[(x+1)(x+2)]丫(.x+3)+(.x+ 1)(x+2)(x+3) =[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)门(x+3)+ (x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3.x2+12x+11. 14.解：曲线y=x一1在x=x。处的切线斜率 为2xo,曲线y=3一x3在x=x。处的切线斜率为 -3x8. ,两切线相互垂直， ∴.2x0·(-3x6)=-1,.x0= 15.解：设经时间t秒梯于上端下滑s米，则s= 5一√25-9t2,当下端移开1.4m时，所用时间为t 心、 5又= 9t √/25-9t9 7 15 所以s'(t。)=9X =0.875(m/s), 7 /25-9× 15 9