4.2 导数的应用 五年高考母题原型训练-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

()当a>之时，由0知x≥f(x), h'(x)=af(x)-azf(z)+ax-f(x)2af(x)-axf(x) +af(x)-f(x)=(2a-1-ax)f(x), 当0<<20-1时，'(x)>0,所以(x)>(0)=0,即 a 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 题源1可导函数的单调性 与导数的关系（★★★★★） 1.(2021·广东)函数f(x)=(.x-3)e的单调递增区间是 () A.(-∞，2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,十∞) 2.(2021·江苏)函数f(x)=x3一15x2一33x+6的单调减 区间为 3.(2019·江苏)函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间 是 4.(2021·重庆)设函数f(x)=a.x2+bx十k(k>0)在x=0 处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1，∫(1)处的切线垂直于直 线x十2y+1=0. (I)求a,b的值； e (Ⅱ)若函数g(x)=f讨论g(x)的单调性。 ·7 f(x)7ax+1' 综上，a的取值范围是 5.(2020·四川)设x=1和x=2是函数f(x)=xi十ax3 +bx+1的两个极值点.求 (I)a和b的值： (Ⅱ)f(x)的单调区间. 6.(2021·安微)已知函数f(x)=r-二+a(2-1nx), x a>0.讨论f(x)的单调性. 7.(2018·山东)已知x=1是函数f(x)=m.x3一3(m十1)x2 +nx+1的一个极值点，其中m、n∈R,m<0. (I)求m与n的关系表达式： (Ⅱ)求f(x)的单调区间； (Ⅲ)当x∈[-1,1]时，函数y=f(x)的图象上任意一点的 切线斜率恒大于3m,求m的取值范围. 题源2函数的极值（★★★★★） 8.(2018·全国I)函数f(x)=x3十ax2十3x-9,已知 f(x)在x=一3时取得极值，则a等于 () A.2 B.3 C.4 D.5 9.(2019·辽宁)已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函 数，如果f(x)与g(x)仅当x=0时函数值为0，且f(x)≥ g(x),那么下列情形不可能出现的是 (） A.0是f(x)的极大值，也是g(x)的极大值 B.0是f(x)的极小值，也是g(x)的极小值 C.0是f(x)的极大值，但不是g(x)的极值 D.0是f(x)的极小值，但不是g(x)的极值 10.(2020·江苏)设函数f(x)=ax3一3x十1(x∈R),若对于 任意x∈[-1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为 11.(2022·安微)设函数f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x <2π，求函数f(x)的单调区间与极值. 12.(2021·湖南)已知函数f(x)=x3十bx2十cx的导函数 的图象关于直线x=2对称. (I)求b的值： (Ⅱ)若f(x)在x=t处取得极小值，记此极小值为g(t), 求g(t)的定义域和值域. ·7 13.(2021·四川)已知函数f(x)=x3十2b.x2+cx一2的图 象在与x轴交点处的切线方程是y=5x一10. (I)求函数∫(x)的解析式： （Ⅱ)设函数g(x)=f(x)+3mx,若g(x)的极值存在，求 实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x 的值. 14.(2021·陕西)已知函数f(x)=x3一3ax一1，a≠0. (I)求f(x)的单调区间； (Ⅱ)若f(x)在x=一1处取得极值，直线y=m与y=f (x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围. 15.(2022·全国I)已知函数f(x)=3a.x一2(3a+1)x2 +4x. (1)当a=6时，求f(x)的极值： (2)若f(x)在（一1,1）上是增函数，求a的取值范围. 3· 16.(2020·福建)已知函数f(x)=x3十mx2十nx一2的图 象过点(-1，-6)，且函数g(x)=f'(x)十6.x的图象关于y轴 对称. (I)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间： (Ⅱ)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a一1，a十1)内的 极值。 亿(2020·陕西)已知函数f):(c>0,且c≠ k∈R)恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=一c, (I)求函数f(x)的另一个极值点； (Ⅱ)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求M一m≥1 时k的取值范围. 18.(2019·天津)设函数f(x)=-x(x-a)(x∈R),其中 a∈R. (I)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线 方程； (Ⅱ)当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值： (Ⅲ)当a>3时，证明存在k∈[一1,0]，使得不等式f(k一 cosx)≥f(k一cosx)对任意的x∈R恒成立. ·7 题源3函数的最值（★★★★★） 19.(2018·浙江)函数f(x)=x3-3.x2+2在区间[-1,1] 上的最大值是 () A.-2 B.0 C.2 D.4 20.(2022·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元) 与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=一3x+81x一 1 234,侧使该生产厂家获取最大年利润的年产量为() A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件 21.(2019·湖南)函数f(x)=12x-x3在区间[-3,3]上 的最小值是 22.(2019·江苏)已知函数f(x)=x3一12x+8在区间 [-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M一m 23.(2018·北京)已知函数f(x)=一x3+3.x2+9x十a. (I)求f(x)的单调递减区间； (Ⅱ)若f(x)在区间[一2,2]上的最大值为20，求它在该区 间上的最小值. 24.(2020·全国I)设a∈R,函数f(x)=ax3一3.x2 (I)若x=2是函数y=f(x)的极值点，求a的值： (Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+f'(x),x∈[0,2]，在x=0处取 得最大值，求a的取值范围. 25.(2020·江苏)如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=20km,BC= 10km,为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边 界)，且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺 设三条排污管道AO、BO、PO.记排污管道的总长度为ykm. (I)按下列要求建立函数关系： (i)设∠BAO=(rad),将y表示为6的函数； (i)设PO=x(km),将y表示为x的函数. (Ⅱ)请你选用(I)中的一个函数关系，确定污水处理厂的 位置，使铺设的排法管道的总长度最短 D 0 26.(2020·过宁)设函数f(x)=a.x3+bx2-3a2x十1(a、b ∈R)在x=x1,x=x:处取得极值，且x1一x:|=2. (I)若a=1,求b的值，并求f(x)的单调区间： (Ⅱ)若a>0,求b的取值范围. 题源4已知函数的单调性确 定参数的取值范围（★★★★） 27.(2020·湖北)若f(x)=-2x+bln(x+2)在(-1， 十○)上是减函数，则b的取值范围是 () A.[-1,+∞) B.(-1,十∞) C.(-∞，-1] D.(-o∞，-1) 28.(2021·上海)当0≤<1时，不等式sm≥kx成立， 则实数的取值范围是 29.(2018·全国1)设a为实数，函数f(x)=x3-a.x2+ (a-1)x在(-∞，0)和(1，十o∞)都是增函数，求a的取值范围. ·7 30.(2020·全国I)已知函数f(x)=x3十ax2+x十 1,a∈R. (I)讨论函数f(x)的单调区间； ()设函数f)在区间（一子，子）内是减函数求a的 取值范围」 31.(2022·天津)尼知函数)=ax-号x+1(x∈R, 其中a>0. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； @若在区同【分]上，：)>0恒成立求4的取值 范围 32.(2020·天津)设函数f(x)=x十ax3+2x2十b(x R),其中a,b∈R （1)当a=-9时讨论国数)的单调性： (Ⅱ)若函数f(x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围： (Ⅲ)若对于任意的a∈[一2,2]，不等式f(x)1在[一1， 1]上恒成立，求b的取值范围. 33.(2021·宁海)已知函数f(x）=x3-3a.x2-9ax十a3. (I)设a=1,求函数f(x)的极值； (I)若a>,且当x∈[1,4a]时，f'(x)<12a恒成立， 试确定a的取值范围. 34.(2021·金国)i设函数f(x)=子-1+a)r+4ar +24a,其中常数a>1. (I)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围 ·76· 35.(2022·安徽)已知函数f(x)=1nr-ax+1二&-1(a x ∈R). (1)当a≤？时，讨论f(x)的单调性， （Ⅱ)设g)=x-2r十4，当a=时，若对任意x1∈ (0,2),存在x:∈[1,2]，使f(x1)≥g(x:).求实数b的取值 范围. 题源5利用单调性证明不等式（★★★★） 36.(2019·安徽)设a≥0，f(x)=x-1-lmx+2alnx(x>0). (I)令F(x)=x(x),讨论F(x)在(0，十∞)内的单调性 并求极值； (Ⅱ)求证：当x>1时，恒有x>lnx一2alnx+1. ·7 37.(2022·湖南)已知函数f(x)=x2十b.x十c(b,c∈R), 对任意的x∈R,恒有f'(x)≤f(x). (1)证明：当x≥0时，f(x)≤(x+c)2； (2)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)一f(b)≤ M(c2-b2)恒成立，求M的最小值. 38.(2022·湖北)已知函数f(x)=ax+名+c(a>0)的图 象在点(1，f(1))处的切线方程为y=x一1. (I)用a表示出b,c; (Ⅱ)若f(x)≥nx在[1，+o∞)上恒成立，求a的取值范围； （)证明1+号+号++>ha+1D+2D≥1， n∈N"). 7 2022一2023高考题源拓展测试 DP未来高考还会这样考， (测试时间：90分钟总分：100分) 一、选择题（本题包括8小题，每小题2.5分，共20分。每小题 C.[1,e5] 只有一个选项符合题意) D.(1,e) 1.(2)已知f(x)的定义域为R,f(x)的导函数'(x)的 7.(①5)已知函数f(x),g(x)在区间[a,b]上均有f'(x) 图象如图所示，则 () <g'(x),则下列关系式中正确的是 A.f(z)+f(b)g(x)+g(b) B.f(x)-f(b)2g(x)-g(b) C.f(x)≥g(x) D.f(a)-f(b)≥g(b)-g(a） A.f(x)在x=1处取得极小值 8.(口4)若函数fx)=lx十ax+号为其定义或上的增函 B.f(x)在x=1处取得极大值 数，则实数a的取值范围是 () C.f(x)是R上的增函数 A.[0,+∞) D.f(x)是(-∞，1)上的减函数，(1，+o∞)上的增函数 B.(0,+∞) 2.(G1)函数f(x)=x3-3.x2+1是减函数的区间为 C.[-2,+∞) ( D.(-2,0) A.(2,+) 二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） B.(-0o,2) 9.(G1)函数y=x3-3x的单调减区间为 C.(-∞，0) 10.(□4)如果函数f(x)=a.x3-x2+x一5在(-o∞，十∞) D.(0,2) 上单调递增，则a∈ 3.(了2)若函数y=f(x)在x=x0处可导，下列说法正确 11.(G3)函数y=x一8x2+2在[一1,3]上最大值为 的是 () 12.(g3)已知点P(2,2)在曲线y=ax3+bx上，如果该曲 A.当f(x。)=0时，则f(x。)为f(x)的极大值 线在点P处切线的斜率为9，那么ab= ·此时函数 B.当f'(xo)=0时则f(xa)为f(x)的极小值 C.当'(x。)=0时，则f(x。)为f(x)的极值 f)=a+红【号，的信坡为 D.当f(xo)为函数f(x)的极值时，则有f'(xo)=0 三、解答题（本题包括5小题，每小题12分，共60分） 4.(们2)函数f(x)=x3十ax2十bx十a2在x=1处有极值 13.(位1)设函数f(x)=x3十a.x2+bx十c的图象如图所 10,则a,b的值是 ( 示，且与y=0在原点相切，若函数极小值为一4， A.a=-11,b=4 (1)求a、b、c的值； B.a=-4,b=11 (2)求函数的递减区间。 C.a=11,b=-4 D.a=4,b=-11 5.(信3)函数y=x+2cosx在[0，]上取最大值时，x的 值为 () A.0 c音 D受 6.o3)国数f()=7e(six+cou)在区间，]上 的值域为 A2] B(分2) ·78…即梯于上端下滑的速度为0.875m/s. 16.解：(1)由函数f(x)的图象在点M(-1, f(一1))处的切线方程为x十2y+5=0,知一1+ 2f(-1)+5=0, 即f(-1）=-2f(-1D=-2 1 f'(z)=a(x+b)-2x(ax-6) (x2+b)2 -a-6 =-2, 1+b a(1+b)+2(-a-6)1 (1+b)2 , a=2b-4, 即{a(1+b)-2(a+6)__ (1+6)9 2, 解得a=2,b=3(,b+1≠0，.b=-1舍去.) 所以所求的函数解析式是f(x)=21一6 x2+31 (2)f'(z)=-2x2+12x+6 (.x2+3)2 令-2x2+12x+6=0,解得x1=3-2√3，x2 =3+2√3， 当x<3-2√3或x>3+23时，f'(x)<0: 当3-2√3<x<3+2√3时，f'(x)>0. f(r)=2-在(-0,3-2W3)内是减函数： Γx2+3 在(3一2√3,3十2√3)内是增函数；在(3+2√3，+∞) 内是减函数. 1 17.解：(1)f'(x)= ，记yo=f(xo),过 √x+1 1 点P(xo,yo)的切线方程为y一y。= (x √x。+I 2o+2 x).即y=,+干√+T 二十 所以，当x。=1时，切线1的方程为x一√2y+3 =0. (2)当x=0时，y=x+2 ；当y=0时，x= √x。+I 一x0-2. 1 20+2 (x6+2)2 S△AoB= ·(x0+2) 2 √x+1 2√x0+1 .S△A0B= (是+ 83 91 2 3 §4.2导数的应用 五年高考母题原型训练 1.D【解析】f'(x)=(x-3)'e十(x 3)(e)'=(x-2)e,令f'(x)>0,解得x>2,故 选D. 2.(-1,11)【解析】本题考查了导数法求函 数的单调区间问题.由f(x)=x3一15x2一33.x十6， 可得f'(x)=3.x2-30x-33=3(x2-10x-11),令 f'(x)<0可解得-1<x<11,.函数f(x)=x3 15.x2-33x+6的单调减区间为（一1,11）. [片+） 3. 【解析】f'(x)=x'lnx+ xx)/=lx+至=lx十1，由f(x)≥0，可得1x 十1≥0，解之得x≥。，即得画数f(x)的递增区间 为[片+） 4.解：(I)因f(x)=ax2+bx+k(k>0),故 f'(z)=2ax+b, 又f(x)在x=0处取得极值，故f'(0)=0,从而 b=0. 由曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线与直线x +2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2，即f'(1) =2,有2a=2,从而a=1. e (Ⅱ)由(I)知，gx)=+6k>0), g'(x)=e（x-2x+k) (x2+k)(k>0). 令g'(x)=0,有x2-2x十k=0(k>0). (1)当△=4-4k<0,即当k>1时，g'(x)>0在 R上恒成立，故函数g(x)在R上为增函数. (2)当△=4-4k=0.即当k=1时，有g'(x)= e(x-1)2 (.x2+1)2 >0(x≠1)，从而当k=1时，g(x)在R上 为增函数， (3)当△=4-4k>0,即当0<k<1时，方程x 一2x十k=0有两个不相等实根x1=1一√1一，x2 =1+√1-k. 当x∈(-∞，1-1-k)时，g'(x)>0, 故g(x)在（一∞，1一√1一k)上为增函数； 当x∈(1-√1-k,1+√1-k)时，g'(x)<0, 故g(x)在(1一√一k,1+√一k)上为减 函数； 当x∈(1+√-，+∞)时，g'(x)>0, 故g(x)在(1+√1一k,+∞)上为增函数. 5.解：(I)f'(x)=5.x+3a.x2+b. 由假设知f'(1)=5+3a十b=0, f'(2)=2×5+2×3a+b=0. 解得a= 36=20. 25 (Ⅱ)由(I)知 f'(x)=5.x‘-25.x2+20=5(x2-1)(x2-4) =5(x+1)(x+2)(x-1)(x-2). 当x∈(-∞，-2)U(-1,1)U(2,+∞)时， f'(x)>0, 当x∈(-2，-1)U(1,2)时，f'(x)<0, 因此f(x)的单调增区间是（一∞，一2），（一1， 1),(2,十∞)， f(x)的单调减区间是（一2，一1），(1,2). 6.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等 知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和 运算求解的能力. 解：f(x)的定义域是(0，+o∞)， f'(x)=1+2-4=-ax+2 设g(x)=x2-ax+2,二次方程g(x)=0的判 别式△=a2-8. ①当△<0即0<a<2W2时，对一切x>0都有 f'(x)>0. 此时f(x)是(0，十∞)上的单调递增函数. ②当△=0即a=22时，仅对x=√2有f'(x)= 0,对其余的x>0都有f'(x)>0. 此时f(x)也是(0，十∞)上的单调递增函数. ③当△>0即a>2√2时，方程g(x)=0有两个 不同的实根x1= a-√/a2-8 a+√a2-8 2 ,x2 0<x1<x2. 2 (0,x1) T1 (x1,x2） T2 x2,+o∞ f'(x) + 0 0 + f(x) 极大值 极小值 此时f(x)在0，a-a-8 上单调递增， 在 a-a-8a+√a-8 上单调递减， 2 a十a-8,十∞上单调递增. 2 3 7.解：(I)f'(x)=3m.x2-6(m十1)x十n, 因为x=1是f(x)的一个极值点，所以f'(1)= 0,即3m-6(m+1)+n=0,所以n=3m+6. (Ⅱ)由(I)知，f'(x)=3m.x2-6(m+1)x+3m +6=3m(x- -(+)川 当m<0时，有1>1+名，当x变化时，f()与 72 f'(x)的变化如下表： 2 2 ∞，11 1+ 2 n n ,1 1,十∞) (x 0 0 f(x 极小值 极大值 由上表知，当m<0时，f(x)在 1+) 单 调递诚，在(+号单调道指，在1，十四)单洞 递减. (Ⅲ)由已知，得f(x)>3m,即m.x2-2(m+1) x十2>0，m<0, x2 2（m+1D+2<0, m 即-2+}+<0ae[-1() m 设)=-2(+动）+品其国数回象的 开口向 由题意，()式恒成立， 2 m <m,又m<0. 3 4 3 <m<0, 即m的取值范国是一子<m<0, 8.D【解析】由题意可知f'(一3)=0，可直 接计算得a=5,故选D. 9.C【解析】由题意，取f(x)=一x2,g(x) =一x,则0是f(x)的极大值，也是g(x)的极大值； 取f(x)=x,g(x)=x2,则0是f(x)的极小值，也 是g(x)的极小值；取f(x)=x,g(x)=0,则0是f (x)的极小值，但不是g(x)的极值，由此可得A、BD 中符合条件的函数情形均可以出现.实质上，由于∫ (x)≥g(x),若0是f(x)的极大值，则也必然是g (x)的极大值，故应选C. 10.4【解析】f'(x)=3ax2一3， 当a≤0时，f'(x）=3ax2-3<0, ∴.f(x)在[-1,1]上为减函数， .f(x)装小位=f(1)=a一2≥0， 解之得a≥2（与条件a≤0矛盾）； 当a>0时，令f'(x)=0可得工=士子，当x∈ (-1,二)时'(x)<0f(x)为减函数： √a'a x∈(-0，-2)，或(，十e0)时，f(x)>0, 1 a a f(x)为增函数 由f(-1)=4-a≥0可得0<a≤4，又由f 宏=ax-2+1=1 aaa 2≥0可得a≥4， ∴a=4. 11.解：由f(x)=sin.x一cos.x十x+1,0<x 2r, 知f(x)=cos.x十sinx十1， 于是f(x)=1+5sin(+) 令f)=0.从而m(+）-94= 或x= 3π 2 当x变化时，∫'(x),f(x)的变化情况如下表： 3 3 (0,) 3 2 2,2x) f'(x) + 0 一 0 单调 单调 3 单调 f(x) 递增 π十2 递减 2 递塔 因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)与 (侣，2)单润递减区间是(，号小极小值为 3 /(径)-经极大值为f)=x+2. 12.解：(I）f'(x)=3.x2+2bx+c. 因为函数f'(x)的图象关于直线x=2对称， 所以-台=2，于是6=-6， (Ⅱ)由(I)知，f(x)=x3-6x2+cx, f'(x）=3.x2-12x+c=3(x-2)2+c-12. (i)当c≥12时，f'(x)≥0，此时f(x)无极值. ·3 (ⅱ)当c<12时，'(x)=0有两个互异实根 x1,x.不妨设x1<x2,则x1<2<x2, 当x<x1时，f'(x)>0,f(x)在区间(-∞，x1) 内为增函数； 当x1<x<x时，f'(x)<0,f(x)在区间(x1, x2)内为减函数， 当x>x时，f'(x)>0,f(x)在区间(x,+∞) 内为增函数 所以f(x)在x=x1处取极大值，在x=x2处取 极小值. 因此当且仅当c<12时，函数f(x)在x=x处 存在唯一极小值， 所以t=x:>2. 于是g(t)的定义域为(2，十∞). 由f'(t)=3t2-12t+c=0得c=-3t+12t. 于是 g(t)=f(t)=t3-6t2+ct=-2t3+6t2,t∈(2， 十0o). 当t>2时，g'(t)=-6t2+12t=6t(2-t)<0, 所以函数g(t)在区间(2，十∞)内是减函数. 故g(t)的值域为(-©∞，8). 13.本小题考查函数、函数极值的概念，考查应 用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 解：(I)由已知，切点为(2,0).故用f(2)=0, 即4b+c+3=0 ① f'(x)=3.x2+4bx+c,f'(2)=12+8b+c=5② 联立①、②，解得c=1,b=一1， 于是函数解析式为f(x)=x3一2x十x一2. (Ⅱ)g(x）=x3-2x2+x-2+ 3 mx, g)=3x-4r+1+号令g'()=0. 当函数有极值时，△>≥0，方程3x:一4x+1+四 3 =0有实根，由△=4(1一m)≥0，得m≤1. 、①当m=1时，g（x)=0有实根x名， 在=号左右两则均有g:)>0,故厨数g） 无极值。 ②当m<1时，g'(x)=0有两个实根， x1=32-V1-m)x=32+1-m), 当x变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表： x-o∞x)x1x1x)x:Kz+ g'(x) + 0 一 0 + g(z) 极大值 极小值 故在m∈（一∞，1）时，函数g(x)有极值： 当x=子(2-Vm)时gx)有板大值： 当x=名(2+V厂)时，g)有极小值。 14.解：(I)f'(x)=3x2-3a=3(x2-a), 当a<0时，对x∈R,有f'(x)>0, ∴.当a<0时，f(x)的单调增区间为（一∞， +∞). 当a>0时，由f'(x)>0解得x<-a或x >√a; 由f'(x)<0解得-√a<x<√a, ∴.当a>0时，f(x)的单调增区间为（一∞， 一√a),(Wa,+):f(x)的单调减区间为(-√a, √a). (Ⅱ)，f(x)在x=一1处取得极值， .f'(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴.a=1. ∴f(x)=x3-3x-1,f'(x)=3x2-3, 由'(x)=0解得x1=-1,x2=1. 由(I)中f(x)的单调性可知，f(x)在x=一1 处取得极大值f(一1)=1，在x=1处取得极小值f (1)=-3. ,直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不 同的交点， 结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是（一 3,1). 15.解：(1)f'(x)=4(x-1)(3a.x2+3a.x-1). 当a=6时f'(x)=2(x+2)(x-1),f(x)在 (一∞，一2)内单调减，在（一2，+∞）内单调增，在x =-2时，f(x)有极小值. 所以f(-2)=一12是f(x)的极小值. (2)在（一1,1）上，f(x)单调增加，当且仅当 f'(x)=4(x-1)(3a.x2+3a.x-1)≥0，即3ax2+3ax -1≤0，① (i)当a=0时①恒成立： (ii)当a>0时①成立，当且仅当3a·12+3a·1 -10. 解得a≤行 当a0时0皮立，即3(+)广-- 3 ≤0成立， 当且仅当-0-1<0.解得a≥- 4 3 绵上“的取他范西是[子，] 16.本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、极 值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数 性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思 想方法，考查分析问题和解决问题的能力， 解：(I)由函数f(x)的图象过点（一1，一6）， 得m-n=-3.① 由f(x)=x3十m.x2+nx-2,得'(x)=3x2+ 22x+n, 则g(x)='(x)+6x=3x+(2m十6)x十n, 而g(x)的图象关于y轴对称，所以-2十6 2×3 =0, 所以m=一3，代入①得n=0. 于是f'(x)=3x2-6x=3x(x-2. 由'(x)>0得x>2或x<0,故f(x)的单调 递增区间是（一∞，0），(2，十∞)： 由f'(x)<0得0<x<2,故f(x)的单调递减区 间是(0,2). (Ⅱ)由(I)得f'(x)=3x(x-2), 令f(x)=0得x=0或x=2. 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： (-∞，0) 0 (0,2) 2 (2,+∞ (x 0 一 0 f(z) 极大值 极小值 由此可得： 当0<a<1时，f(.x)在(a-1,a+1)内有极大值 f(0)=一2，无极小值： 当a=1时，f(x)在(a一1，a+1)内无极值； 当1<a<3时，f(.x)在(a一1，a+1)内有极小值 f(2)=一6，无极大值： 当a≥3时，f(x)在(a-1,a+1)内无极值 综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值一2，无极 小值：当1<a<3时，f(x)有极小值一6，无极大值： 当a=1或a≥3时，f(x)无极值. 17.解：(I)f(x)=(x+c)-2z(kx+1) (x2+c)2 =-kzi-2x+ck (x2+c)2 由题意知f'(一c)=0, 即得ck一2c-ck=0,(￥) c≠0，k≠0. 由f'(x)=0得-kx2-2x+ck=0, 由韦达定理知另一个极值点为x=1 1庄（*试得=名即=1+是 当c>1时，k>0:当0<c<1时，k<-2. (i)当k>0时，f(x)在(-∞，-c)和(1，+∞) 内是减函数，在（一c,1)内是增函数， M=0)出>0 m=f(-c)=二c+1-k: c+c2(k+2)<0, k2 由Mm冬+2+2≥1及k>0·解 得k≥√2. (iⅱ)当k<一2时，f(x)在(-∞，一c)和 (1,十∞)内是增函数，在(-c,1)内是减函数， 一k2 六M=(-c)=2G车2>0，m=f1)=号 0. M-m2台-1-≥1恒 成立. 综上可知，所求k的取值范围为（一©∞，一2）U [√2，+o∞). 18.解：(I)当a=1时，f(x)=-x(x-1)= -x3+2x2-x,得f(2)=-2,且f'(x)=-3x2+ 4x-1,f'(2)=-5. 所以曲线y=一x(x一1)在点(2，一2)处的切 线方程是y+2=-5(x-2),整理得5.x十y-8=0 (Ⅱ)f(x)=-x(x-a)2=-x3+2a.x2-a2x, f'(x)=-3x2十4ax-a2=-(3.x-a)(x-a). 令f(x)=0,解得x= 或-a. 由于a≠0，以下分两种情况讨论. (1)若a>0,当x变化时，f'(x)的正负如下表： 3 ( f (x 0 0 因此，函数f(x)在x= 兰处取得极小值 ·3 f(3)且f(3)--27a: 函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a) =0: (2)若a<0,当x变化时，f'(x)的正负如下表： (-，a) a 3 3,十) (x 0 0 因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a)且 fa)=0,函数f(x)在x=号处取极大值f(号) 且f学)=-7. 4 ()证明：由a>3,得到g>1.当k∈[-1,0] 时，k-cos.x≤1，k2-cos2x≤1. 由（Ⅱ）知，f(x)在(-∞，1]上是减函数， 要使f(k-cosx)≥f(k2-cos2x)(x∈R), 只要k-cos.x≤k2-cos2x(x∈R). 即cos2x-cos.x≤k2-k(x∈R). ① 设g(x)=cos2x-cos.x= (cosz- 2 函数g(x)在R上的最大值为2. 要使①式恒成立，必须k2一≥2，即k≥2或k -1. 所以，在区间[一1,0]上存在k=一1，使得 f(k-cosx)≥f(k2-cosx)对任意的x∈R恒成立. 19.C【解析】考查利用导数求三次函数在闭 区间上的最值.由已知得f(x)=3x2一6x=3x(x 2),x∈[一1,1]，.f(x)的最大值为f(0)=2,故 选C. 20.C【解析】因为y=一x2+81,所以当x >9时，y<0:当x∈(0,9)时，y'>0,所以函数y= -子+81-234在(9，十∞)上单涧递减，在0… 9)上单调递增，所以x=9是函数的极大值，点，又因 为函数在(0，十∞)上只有一个极大值，点，所以函数在 x=9处取得最大值.选C. 21.-16【解析】f'(x)=12-3.x2. 令'(x)>0→-2<x<2,令f'(x)<0→-3 x<-2即2<一x3, ∴f(x)在[-3，一2)及(2,3]上单调递减.在 (一2,2)上单调递增， f(x)在x=一2处取极小值， .f(-2)=12×(-2)-(-2)3=-16, f(-3)=12×(-3)-(-3)3=-9,f(3)=12 ×3-33=9, f(-2)<f(-3)<f(3),故f(x)在[-3,3]上 的最小值为一16. 22.32【解析】f'(x)=3.x2-12,令f'(x)= 0可得3x2-12=0,即得x=2或x=-2,在区间[- 3,3]上列表如下： -3(-3,-2) -2 (-2,2) 2 (2,3) 3 f'(x) 0 0 f(x) 17 极大值 极小值 :f长小造(x)=∫（一2）=24，f小造(x)=f(2) =-8. ∴.M=f景大值(x)=24,m=f景小造（x)=一8， .M-m=24-(-8)=32. 【点评】本题考查了导数法确定三次函数在定 区间上的最值，体现了导数的工具性的应用，与对考 生分析问题与解决问题能力的考查. 23.解：(I)f(x)=-3x2+6x+9.令f'(x) <0,解得x<-1或x>3, 所以函数f(x)的单调递减区间为（一∞，一1）， (3,十0∞). (Ⅱ)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a, f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以f(2)>f(-2). 因为在(-1,3)上f'(x)>0,所以f(x)在[-1， 2]上单调递增，又由于f(x)在[一2，一1]上单调 递减， 因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[一2， 2]上的最大值和最小值. 于是有22+a=20,解得a=-2. 故f(x)=-x3+3x2+9x-2. 因此f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数f(x)在区间[一2,2]上的最小值为一7. 24.解：(I)f'(x)=3ax2-6.x=3.x(a.x-2). 因为x=2是函数y=f(x)的极值点，所以f (2)=0,即6(2a-2)=0,因此a=1. 经验证，当a=1时，x=2是函数y=f(x)的极 值点. (Ⅱ)由题设，g(x)=a.x3-3.x2+3ax2-6.x =ax2(x十3)-3.x(x十2). 当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时， g(0)≥g(2),即0≥20a-24. 3 故得a<号.反之，当a≤号时，对任意x∈[0,2] g(z)≤6x2(x+3)-3z(x+2 =32(2x2+x-10 5 32(2x+5)(z-2)≤0， 而g(0)=0,故g(x)在区间[0,2]上的最大值为 g(0). 上“的永直范酒为(，号】 25,本小题主要考查函数的概念、解三角形、导 数等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和 解决实际问题的能力. 解：(I)(i)如图，延长PO交AB于点Q. D C 0 A ⊙ 1 由题设可知BQ=AQ=2AB=10, AO=BO,PO=10-OQ. 在R△1Q0中.A0=900=101a0.所以 y=AO+BO+PO=- 20 +10-10tan9. ose 又易知0<0≤千，故y用0表示的函数为 y=a3g10a0+1oo≤≤）片 20 (i)由题设可知，在Rt△AQO中，AO= √AQ+OQ=√10+(10-x),则y=AO+BO +P0=x+2√102+(10-x)'. 显然0≤x≤10，所以，y用x表示的函数为 y=x+2√x2-20.x+200(0≤.x≤10). (Ⅱ)选用(I)中的函数关系 20 y= cose -10an9+100<9≤) ,来确定符合 要求的污水处理厂的位置， 20 20 因为y= cos -10tan8+10= sing cos0 -10· cos +10, 20sine 所以y'= cos0+sin20 -10· cos2 cos20 =10 .2sin9-1 c0s20 由y=0得sim9=子.因0<0<天，故0=6 当9∈【p)时，y<0:当9∈（后]时， y'>0,所以函数y在9= 吾时取得极小值，这个极小 值就是函数y在【，]上的最小值 当9=若时，A0=B0= 10=203 (km). 3 cos6 因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B 两点的距离均为203km时，铺设的排污管道的总3 度最短 26.本小题主要考查函数的导数，单调性，极值， 最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关 性质的能力 解：f'(x)=3ax2+2bx-3a2.① (I)当a=1时， f'(x)=3.x2+2bx-3. 由题意知x1,x2为方程3.x2十2b.x-3=0的两 根，所以1z1-x:=√6+36 3 由x1-x2|=2,得b=0. 从而f(x)=x-3.x+1,f'(x)=3.x2-3=3(x +1)(x-1). 当x∈(-1,1)时，f'(x)<0; 当x∈(-∞，-1)U(1,+o∞)时，f'(x)>0. 故f(x)在（一1,1）单调递减，在（一∞，一1）， (1,十∞)单调递增. (Ⅱ)由①式及题意知x1,x为方程3a.x十2bz -3a=0的两根，所以，x1-x:=√46+36a 3a 从而x1-x2|=2台b2=9a2(1-a). 由上式及题设知0<a≤l. 考虑g(a)=9a2-9a3, g'a)=18a-27a=-27ae-爱） 故：(a)在0，号)单词递增，在（学，1单调递 减，从而g(a)在0,1门上的最大值为g(子)=子，又 3 ga)在01]上只有-个极值，所以g(号)=专为 g(a)在(0,1)上的最大值.且最小值为g(1)=0. 所以b2∈ 【,】即6的取值范面 为 2323 33 27.C【解析】f'(x)=-x+ x+2 -x2-2x+b x+2 ,由x>-1得x十2>1>0， f(x)为（一1，十∞）上的减函数，.f(x)≤0 (x>-1), ∴.不等式一x2一2x十b≤0在(-1，+∞)上恒 成立 ,y=一x2-2x十b在(-1，十∞)上单调递减， .-1-2×(-1)十b≤0，得b≤-1，故应选C 28.<1【解析】当2=0时，不等式n受： ≥x位成立：当x≠0时，不等式sm受：≥x恒成 立，等价于k≤ 22 sin x一，x∈(0,1].令f(x)= sin 期/7(x)=三6os 22 2* ,x∈ x“ 01)时，7x(0,7),lamx>1,即可得 ·cos2-sin2<anrcos合-sin =0,从而得f'(x)<0,又f'(1)<0,∴.f(x)在x∈ (0,1]上为减函数，即可得fmin(x)=f(1)=1,∴. 1. 29.解：f(.x)=3.x2-2a.x+(a2-1), 其判别式△=4a2-12a2+12=12-8a2. （1)若△=12-8a=0,即a=± 2 当xe(,号)或x∈（学+）时f(x) >0/(x)在(-0，十o)为增函数.所以a=士5 2 (i)若△=12-8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在 (-oo,十o)为增函数.所以a>2,即a∈ 3 (》+ （m)若A=12-8a>0,即-5<a< 2 f'(x)=0, 解得x1=a-V3-2a ,z2=0十V3-2a 3 3 当x∈(-∞，x1)或x∈(x2,十o∞)时， f'(x)>0,f(x)为增函数； 当x∈(x1,x2)时，f'(x)<0,f(x)为减函数. 依题意x1≥0且x≤1. 由x≥0得a≥V3-2a,解得1≤a< 2 由x:≤1得√3-2a≤3-a,解得- √6 2 ∠a --V6 综上，a的取值范围为 V6 2 [+1.》印。∈(] [1,+0). 30.解：(I)f'(x)=3x2+2a.x+1,判别式 △=4(a2-3). (i)若a>3或a<-√3，则在 ∞，a-a3}上/(x)>0.fx)是增 3 函数； 在(a-a,a+a上'(x)< 3 3 0,f(x)是减函数： 在 -a+va-3 ,+o∞上f'(x)>0,f(x)是 增函数， (i)若-√3<a<√3，则对所有x∈R都有f' (x)>0,故此时f(x)在R上是增函数， (m)若a=±3，则f(（）=0,且对所有的 x≠-含都有了()>0，故当a=士时，f(x)在R 上是增函数. (Ⅱ)由(I)知，只有当a>3或a<-√5时， f(x)在 -a-a-3-a+va2-3 内是 3 3 3 减函数. 因此 -a-a3≤-名 3 31 ① 且 -a+√a-3 1 3 -之一 3 ② 当a|>√3时，由①②解得a≥2. 因此a的取值范围是[2，十∞). 31.解：(1)当a=1时，f(x)=x3- x+1, 3 f(2)=3;f'(x)=3x2-3x,f'(2)=6.所以曲线y= f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y一3=6(x 2),即y=6x-9. (2)f'(x)=3a.x2-3.x=3.x(a.x-1).令f'(.x)= 0,解得x=0或x= 1 a 以下分两种情况讨论： ①若0Ca≤2.则日>≥子当x变化时r. 1 f(x)的变化情况如下表： z.o) 0 f'(x) 0 f(x) 极大值 当xe【] 时，f(x)>0等价于 5一a>0, 8 即 r(合)> 5+70. 8 解不等式组得-5<a<5,因此0<a≤2 回若a>2,则0<上<2当x变化时f'() f(x)的变化情况如下表： 0 11 f'(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 时，f(x)>0等价于 8 即 (a)>. 2a>0. 解不等式组得 <a<5或a<-停因此26 5. 综合①和②，可知a的取值范围为0<a<5. 32.本小题主要考查利用导数研究函数的单调 性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查 综合分析和解决问题的能力， 解：(I)f'(x)=4x3+3a.x2+4x=x(4x2+3a.x 十4). 当a=- 号时，f'(x)=x(4x2-10x+4)= 2x(2x-1)(x-2)」 令f'（x)=0,解得x1=0,x2=2x:=2. 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： ,0 0 2 2 f'(x) 0 0 极 极 极 f(x) 小 大 小 值 值 值 所以f(x)在(0，）2.+∞)内是增函数，在 （一00，（仔，2）内是减丽数 (Ⅱ)f'(x)=x(4x+3ax+4),显然x=0不是 方程4x+3a.x+4=0的根.为使f(x)仅在x=0处 有极值，必须4x2+3a.x+4≥0恒成立，即有△=9a 一64≤0.解此不等式，得- 号≤a≤号这时，/0) b是唯一极值. 因此满足杀件的口的取值范围是[一号，号] (Ⅲ)由条件a∈[-2,2]可知△=9a2-64<0, 从而4x十3ax+4>0恒成立.当x<0时，f'(x)< 0;当x>0时，f'(x)>0. 因此函数f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)与 f(一1)两者中的较大者. 为使对任意a∈[-2,2]，不等式f(x)≤1在 [一1,1]上恒成立，当且仅当 f1)≤1， 即 \f(-1)≤1. 6≤-2-a在a∈[-2,2]上恒 b≤-2+a 成立 所以b≤一4，因此满足条件的b的取值范围是 (-∞，-4]. 33.解：(I)当a=1时，对函数f(x)求导，得 f'(x）=3x2-6.x-9. 3 令f'(x)=0,解得x1=一1，x2=3. 列表讨论f(x),f'(x)的变化情况： 一0∞，-1) -1 -1,3) 3 (3,十∞) (x》 0 0 + f(r) 极大值6 极小值-26 所以，f(x)的极大值是∫（一1）=6，极小值是 f(3)=-26. (Ⅱ)f'(x)=3.x2-6ax-9a2的图象是一条开 口向上的抛物线，关于x=a对称. 若子<a≤1，则f(x)在[1,4a]上是增函数，从 而f(x)在[1,4a]上的最小值是f'(1)=3-6a- 9a2,最大值是f'(4a)=15a 由f'(x)|≤12a,得-12a≤3.x2-6a.x-9a≤ 12a,于是有 f'(1)=3-6a-9a2≥-12a,且f'(4a)=15a 12a」 由f了1)≥-12a得-子<a<1. 由(4a)≤12a得0≤a≤5 4 所以a∈(，ln[-子1n[o,],即a∈ 若a>1,则1f'(a)|=12a>12a. 故当x∈[1,4a]时lf'(x)≤12a不恒成立. 所以使|f'(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a 的取值范苗是（子，专。 34.解：(I)f'(x)=x2-2(1十a)x+4a=(x- 2)(x-2a). 由a>1知，当x<2时，f'(x)>0, 故f(x)在区间（一©∞，2）是增函数； 当2<x<2a时，f'(x)<0, 故f(x)在区间(2,2a)是减函数； 当x>2a时，f'(x)>0, 故f(x)在区间(2a,十∞)是增函数. 综上，当a>1时，f(x)在区间（一∞，2）和(2a, 十o)是增函数，在区间(2,2a)是减函数， (Ⅱ)由(I)知，当x≥0时，f(x)在x=2a或x =0处取得最小值， f2a)=3(2a)P-1+a)(2a+4a·2a +24a 3a3+4n2+24a, 4 f(0)=24a. 由假设知 fa>1, a>1, f(2a)>0,即 3a(a+3)(a-6)>0, f(0)>0, 24a>0. 解得1<a<6. 故a的取值范围是(1,6). 35.解：(I)因为f(x)=lnx-a.x+ 1一a-1, 所以f'(x)=1-。+a = 之2 az2-x+1-0,x∈(0，+∞)， 令h(x)=a.x2-x+1-a,x∈(0，+∞)， (1)当a=0时，h(x)=-x+1,x∈(0，+∞) 所以当x∈(0,1)时，h(x)>0,此时f'(x)<0, 函数f(x)单调递减； 当x∈(1，+o∞)时，h(x)<0,此时f'(x)>0,函 数f(x)单调递增. (2)当a≠0时，由f'(x)=0, 即ax-x+1-a=0,解得x1=1,:=1 一1 ①当a=2时，x1=x2h(x)≥0恒成立，此时 f'(x)≤0，函数f(x)在(0，十∞)上单调递减； ②当0<a<2时，-1>1>0， x∈(0,1)时，h(x)>0,此时f'(x)<0,函数 f(x)单调递减； x∈1,1-1)时，h(x)<0,此时(x)>0,函 数f(x)单调递增； x∈(-1，+0)时，h(x)>0,此时f(x)<0, 函数f(x)单调递减： ③当a<0时，由于}-1<0， x∈(0,1)时，h(x)>0,此时f'(x)<0,函数 f(x)单调递减； x∈(1，+o)时，h(x)<0,此时f(x)>0,函数 f(x)单调递增， 综上所述： 当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减； ·3 函数f(x)在(1，十∞)上单调递增； 当a=号时，国数x)在(0，十0)上单河通减： 当0<a<2时，函数f(x)在(0,1)上单调递减： 函数f(x)在(1，一一1)上单调递增； 函数f)在(}1，+0)上单满通减 1 (Ⅱ)因为a=4∈(0,2)，由(1)知x1=1x: =3￠(0,2)，当x∈(0,1)时，f'(x)<0,函数f(x)单 调递减；当x∈(1,2)时，f'(x)>0,函数f(x)单调递 塔，所以x)在(0,2)上的最小值为f1)=-子 由于“对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使 f(x1)≥g(x2)"等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不 大于f2)在0,2)上的最小值-分(*) 又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2]，所以 ①当b∈(-∞，1)时，因为[g(x)]mim=g(1)= 5-2b>0,此时与(*)矛盾； ②当b∈[1,2]时，因为[g(x)]mm=4-b≥0，同 样与（￥）矛盾. ③当b∈(2，+o)时，因为[g(x)]mim=g(2)= 8-6,解不等式8一6≤-子，可得6≥ 8 综上6的承位范国是子十。 【点评】利用导数研究函数的性质是近年高考 的热点内容，关键是把题目转化成用函数性质解决， 化归能力高考重点考查. 36.本小题主要考查函数导数的概念与计算，利 用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方 法，考查综合运用有关知识解决问题的能力. 解：(1)根据求导法则得'(x)=1-21nx+2 x>0. F(x)=zf'(x)=z-2Inx +2a,>0, 于是F'(z)=1- 2x-2 ,x>0. x 列表如下： x (0,2) 2 (2,+∞ F'(x) 0 F(z) 极小值F(2) 故知F(x)在(0,2)内是减函数，在(2，十∞)内 是增函数，所以，在x=2处取得极小值F(2)=2一 2ln2+2a. (Ⅱ)由a≥0知，F(.x)的极小值F(2)=2-2ln2 +2a>0.于是由上表知，对一切x∈(0，+∞)，恒有 F(x)=xf'(x)>0,从而当x>0时，恒有'(x)> 0,故f(x)在(0，+∞)内单调递增.所以当x>1时， f(x)>f(1)=0,即x-1-lnx+2alnx>0.故当x> 1时，恒有x>lnx-2alnx+l. 37.解：(1)易知f(x)=2x十b.由题设，对任意 的x∈R,2x+b≤x2+bx十c,即x2+(b-2)x+c一 b≥0恒成立，所以(6-2)-4(c-b)≤0.从而c≥ +1.于是c≥1，且c≥2√×1=6，因此2c-6= c+(c-b)>0. 故当x≥0时，有(x十c)2-f(x)=(2c-b)x十 c(c-1)≥0. 即当x≥0时，f(x)≤(x十c)2. (2)由(1)知，c≥|b|.当c>|b|时，有M≥ f(c)-f(b)c2-b2+bc-62 c+26 c2-b9 c2-b2 b+c 令1=名则-1<<10 2 1 b+c 1+而函数 g)=2-(-1<1<1)的值或是(0,2）因 此，当c>6时.M的取值集合为[2十一 当c=|b时，由(1)知，b=士2，c=2.此时f(c) -f(b)=-8或0，c2一b2=0,从而f(c)-f(b)≤ 含(c一)恒成立，综上所述，M的最小值为 38.解：(I)f'(x)=a- ，则有 b /')=a-6=,解得的-a-1 f1)=a+b+c=0, '1c=1-2a. (I)由(1)知，f(x)=ax+a-1+1-2a. 8(x)=f(x)-Inz=ax+4-1+1-2a- x lnx,x∈[1，+oo), 则g1)=0,g'(x)=a-a-1 4 ax2-x-(a-1） ax-- T- （1)当0a<分时，>1. 若1<r<一口，则g'(x)<0,g(x)是减函数， a 所以g(x)<g(1)=0, 即f(x)<lnx,故f(x)≥lnx在[1，+oo)上不 恒成立 (i)当≥2时，。2≤1. a 若x>1,则g'(x)>0,g（x)是增函数，所以g (x)>g(1)=0, 即g(x)=lnx,故当x≥1时，f(x)≥lnx 综上所述，所求a的取值范围为 （Ⅲ)解法一：由（Ⅱ）知：当a≥2时，有f(x)≥ lnx(x≥1). 令a=号有f)(-)≥≥D 且当x>1时，号(x-)>lr. 1 x 令-生，有生<[ 0+)-川 即1n版+1)-1<专（合+）6=123， …,n 将上述n个不等式依次相加得 d+号+（+号++）十2 影理得1+十十…+>hm十1D十 2(n+1)n≥1，n∈N“). n 解法二：用数学归纳法证明. 1)当m=1时，左边=1，右边=12+<1，不 等式成立. (2)假设n=k时，不等式成立，就是 1+号+号+…+>n++2欢D那 么1+++++>h+1)+ 1 1 k+2 2k+)++1=n(k+1)+2+ 由（Ⅱ）知：当a≥2时，有f(x)≥nx(x≥1). 令a= :有1x)=a-≥mx≥》. 令指得体生)≥ ln(k+2)-ln(k+1). k十2 k十1 .lnk+1) 206+D≥nk+2)+2k+2) 1+号++++6>k+2) 1 1 1 k+1 2(k+2)1 这就是说，当n=k十1时，不等式也成立. 根据(1)和(2)，可知不等式对任何n∈N·都 成立 【点评】恒成立问题是函数题中常出现的题型， 可转化为求函数的最值问题.不等式的放缩在函数题 中出现，往往需构造一个函数模型来比较大小 2012一2013高考题源拓展测试 1.C2.D3.D4.D5.B6.A7.B 8.C 9.(-1,1) 11.11 12.-3[-2,18] 13.解：(1)f'(x)=3x2+2ax+b, f'(x)=0有一个根为x=0, .f'(0)=b=0. 另一根x=一 a>0. 极小位/（号=一品0+合a+e=-4 又f(0)=c=0,解得a=-3,故a=-3,b=c =0. (2)f(x)=x3-3.x2,f'(.x)=3.x2-6x=3x(x 2). 当x<0或x>2时，f'(x)>0;当0<x<2时， f'(x)<0. ∴f(x)的单调递减区间为[0,2]. 14.解：f(x)的定义域为(2，+∞). 4 r)=2是-2-222 2x-1 -2(x-1)(2.x+1) 2x-1 当2<x<1时f()>0:当2>1时f'(x) <0. 则f(x)在区间(3,1)上单调递增，在区间1， +∞)上单调递减.。 (2)由(1)知fx)在区间[是，号]时的最大值为 f(1)=ln(2×1-1)-1=-1. 又1)-1()=n2x是-D-()门 [h2×-D-(号)]=1-ls<0, 所以f(x)在区同子，]上的最小值为 f)=lh(2x-1-（子=-l2- 故f)在区间[子，]上的最大值和最小值分 别为-1有-12-品 15.解：(1)f'(x)=3x2+2ax-2,由已知，得 f'(1)=3,即1+2a=3,a=1,再由切点为(1，-1)， 得-1=3+b,b=-4,.a=1,b=-4 (2)f'(x)=0,即3.x2+2a.x-2=0, △=4a2+24>0方程有两个不相等的实根x1、 x2,而x1x2=一 <0，则方程的负根x, 2 -a-+6依题意，-2<x1<0即只需∫'(-2) 3 5 >0,解得a<2当x∈(-2x)时f(x)单调递增， 当x∈(x1,0)时，∫(x)单调递减，所以f(x)在x= x1处取得极大值.因此a的取值范围是(-∞，2) 51 16.解：(1)设x∈(0,1]，则-x∈[1,0). f(一x)=一x3十ax,f(x)为偶函数， f(x)=-x3+a.x,x∈(0,1] (2)f'(x)=-3.x2+a,x∈(0,1]→-3.x2∈ [-3,0) 又a>3,.a-3.x2>0,即f'(x)>0,.f(x)