5.1 空间几何体的结构、三视图和直观图 题源1 空间几何体的结构特征-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

第五章立体几何与空间向量 §5.1空间几何体的结构、三视图和直观图 考纲·题型解读 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱形等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会 用斜二测法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 4,会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. 5.柱、锥、台、球以及简单组合体的结构特征，在旧教材中出现过，三视图为新增内容，一般情况下，新增内容会重点考查，所 以以该知识点命题的可能性较大，多以选择题、填空题为主，也不排除通过三视图来给出几何体的直观图的解答题，考查基础知 识及应用所学知识解决问题的能力， 五年高考母题题源揭秘 题源1 空间几何体的结构特征 而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。 其中旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条 解题模型 边叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫 1.棱柱的结构特征 做这个几何体的底面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫 (1)棱柱的主要结构特征：有两个面互相平行，其余各 做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫 面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平 做侧面的母线， 行，棱柱的两个互相平行的面叫棱柱的底面，其余各面叫 4.棱台、圆台的特征 棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.如果棱柱的 用平行于底面的平面去截棱锥、圆锥，截面与底面间 一个底面水平放置，则铅垂线与两底面的交点之间的线段 的部分叫棱台、圆台. 的长，叫做棱柱的高， 5.球 (2)棱柱的分类：按侧棱与底面的关系可分为斜棱柱、 (1)一个半圆围绕着它的直径所在的直线旋转一周所 直棱柱：按底面多边形边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱 形成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球 等；底面是正多边形的直棱柱又称为正棱柱， 形成球的半圆的圆心叫做球心；连结球面上一点和球 2.棱锥的结构特征 心的线段叫球的半径；连结球面上两点且通过球心的线段 (1)棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一 叫球的直径. 个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥， (2)球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小 (2)正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形， 圆，被经过球心的平面截得圆叫做球的大圆 并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正 球的裁面性质：r=√R一d严，其中r为截面圆的半 棱锥 径，R为球的半径，d为球心O到截面圆心的距离. (3)正棱锥的性质： (3)球面距离：在球面上，两点之间最短连线的长度， ①各侧棱相符，各侧面都是全等的等腰三角形，各等 就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度，我 腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高 们把这个孤长叫做两点的球面距离. ②棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个基 【注意】(1)球面与球是两个不同的概念，球面只是球的 础直角三角形：棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也 表面，可视为是“空心的”，而球则是几何体，是“实心的”， 组成一个直角三角形， (2)球面距离实质上是弧长，所以要求两点的球面距 3.圆柱、圆锥、圆台的特征 离，应找到过这两点的大圆，确定劣瓢所对的圆心角，再运 分别以矩形一边、直角三角形一直角边、直角梯形中 用弧长公式l=aR即可求得， 垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周 (3)在解决球的问题时，常常选取球的一个大圆，化 “球”为“圆”，应用平面几何的知识进行解决 ·80· [真题1](2021·全国Ⅱ)纸制的正方体的六个面根据其 [解析]本题主要考查立体几何中的球体问题，属于知识 方位分别标记为上、下、东、南、西、北现在沿该正方体的一些棱 能力应用的考查.令球心为点O,AB=a,P为△ABC的中心，则 将正方体剪开，外面朝上展平，得到下面的平面图形，则标“△” 的面的方位是 0B=1,0P= ,Bp= 号a,南OB=Op+BP得a=26 3 A.南 则由余孩定理得∠AOB=-arecos(- ,从而可求A,B两点的 B.北 C.西 东 D.下 球西离为an0(）选C [解析]本题考查铺平法为背景的信 [真题5](2019·福建)顶点在同一球面上的正四棱柱 息迁移问题，以东边为基准，复原正方体后，△应在后方，故为北 ABCD一A'B'C'D'中，AB=1,AA'=√2，则A、C两点间的球面 边，选B. 距离为 [真题2](2019·安徽)在正方体上任意选择4个顶点，它 A日 2 C. 们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 4 D. (写出所有正确结论的编号) [解析]如图所示，正四棱柱的对 ①矩形： 角线A'C=AC'=√AA+AC= ②不是矩形的平行四边形： √2十2=2，则正四棱柱的外接球半径R ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的 1 四面体； 2A'C=1,在△A0C中，AC=2, ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四 ∠A0C=三A,C两点问的球面距离 面体. 「解析]本题主要考查立体几何 A 至×1=，故应选B 中的概念，几何图形的性质，属于综合 [真题6](2021·陕西)如图，球O 知识能力的考查，如图四边形BB1D1D 的半径为2，圆O1是一小圆，01O=√2， 为矩形；四面体B1ACD1满足选项④： A,B是圆O1上两点.若A,B两点间的球 四面体A1AB1D1满足选项③；四面体 A 面距离为，则∠A0,B= ABD1D满足选项⑤.故填①③④⑤. [真题3](2021·四川)如图，在半径为3的球面上有A、 [解析]本题主要考查球面距离、球 B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC,球心O到平面ABC的距离 的特殊内接三棱锥的求解，把握球心和小圆圆心的连线垂直小 圆所在的面、球面距离的转化和半径的特征是求解的关键，由 是3，则B.C两点的球面距离是 2 A,B间的球面距高为否知∠A0B=吾，所以△A0B为等边三 3 A.3 角形，AB=2,又由球O的半径为2，O1O=√2知O1A=O1B= B. E,所以△A0,B为等腰直肩三角彩，∠A0,B=受 4 C. [真题7](2021·湖北)如 D.2x 图，卫星和地面之间的电视信号 [解析]本题考查球半径、球心到截面的距离与截面圆半 沿直线传播，电视信号能够传送 径三者间的关系以及等腰直角三角形的性质的应用、球面上两 到达的地面区域，称为这个卫星 点间的球面距离的意义等，设△ABC的外接圆半径是r,则有r2 的覆盖区域.为了转播2008年北 京奥运会，我国发射了“中星九 2 )=3,r=3y .在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC, 号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km,已 2 知地球半径约为6400k,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点 1 因此有AC=2r=3√2，BC= ,AC=3.在△OBC中，OA=OB 的球面距离的最大值约为 km.(结果中保留反余弦的符 √2 号) =BC=3,∠BOC= 3,B,C两点的球面距离等于 X3=， 3 [解析] 如图，0A=42400,0B= 8 选B. 6400,cos∠AOB= 3,∠A0B=arccos [真题4](2019·安徽)半径为1的球面上的四点A,B, 8 C,D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为() 孤BC长为2×6400 X arccos 53 =12800× A.arcco ( B.arccos 6】 8 3 arccos 53' C.ar(） D.arceos() [真题8](2020·四川)设M、N是球O半径OP上的两 点，且NP=MN=OM,分别过N、M,O作垂直于OP的平面， ·81· 截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为 解题模型 A.3:5:6 B.36:8 1.,空间几何体的三视图 C.5:7:9 D.5:8:9 (1)“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得 [解析]本题解题思路是依据球半径、球心到截面的距离、 到的投影图，光线自物体的前面向后投影，所得的投影图 截面圆半径三者间的关系来考虑.设球半径为3α，依题意得过 称为“正视图”：自左向右投影，所得的投影图称为“侧视 N,M,O作垂直于OP的平面，截球面得到三个圆的半径的平方 图”：自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”， 分别是(3a)2-(2a)2=5a2、(3a)2-a2=8a2、(3a)=9a2,因此 (2)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的 这三个圆的面积之比为5：8：9，选D. 原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画 [真题9](2021·湖南)在半径为13的球面上有A,B,C 出，不可见轮廓线用虚线画出， 三点，AB=6,BC=8,CA=10,则 (3)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度 (1)球心到平面ABC的距离为 与正视图一样：侧视图放在正视图右面，高度和正视图一 (2)过A,B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角） 样，宽度与俯视图一样. 的正切值为 (4)对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察， [解析](1)由△ABC的三边大小易知此三角形是直角三 先认识它的基本结构，然后画它的三视图 角形，所以过A,B,C三点小圆的直径即为10，也即半径是5，设 2.空间几何体的直观图 球心到小圆的距离是d,则由d2十52=132，可得d=12.(2)设过 (1)画水平放置的平面图形的步骤为画轴、取点、成 A、B、C三点的截面圆的圆心是O1,AB中点是D点，球心是O 图，图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持不变，平行 ,点，则连结三角形O1OD,易知∠ODO1就是所求的二面角的一 于y轴的线段，长度变为原来的一半. 个平面角，0，D=√0，A-():=4,所以m∠0D0, O0112 O1D-4 =3,即正切值是3. (2)画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平 面x'O'y垂直的轴O',且平行于O'的线段，长度不变， [真题10](2021·全国Ⅱ)已知球的半径为2，相互垂直 其他同平面图形的画法 的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两 (3)空间几何体的直观图在数学中有重要作用，画得 圆的圆心距等于 ( ) 立体感强，在做题时，立体关系就便于观察，图形画得好， A.1 B.√2 C.5 D.2 在科学实验和日常生活中也会大有作用，结合前面所述的 [解析]如图所示，取相交弦AB的 三视图，则可形成知识链：实物图·三视图·直观图」 中点C,连结OC,设两圆的圆心分别为 O1,O2,连结OO1,OO2,可得一距形 [真题11门(2022·过宁)如图，网格纸的小正方形的边长 OO1CO。,且OC⊥AB,由OA=2,AB=2 是1，在其上用粗线画了某多面体的三视图，则这个多面体最长 可得O1O2=OC=√OA-AC= 的一条棱长为 √4-1=√3，故应选C. 题源2空间几何体的三视图和直观图 「解析]由已知三视图可得原几何体是底面边长是2的正 方形且侧棱与底面垂直的四棱锥，且这条侧棱长为2，故可求得 最长的棱长为√22+22+22=23.】 [真题12](2022·北京)一个长方体去掉一个小长方体， 所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如下图所示，则该 几何体的俯视图为 () 正（主）视图侧（左）视图 ·82· D