2.2 对数和对数函数 题源3 对数函数的综合题-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

指数函数y=a(a>0,a≠1)与对数函数y=logx 互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，其图象性质 对比见下表： 指数函数 对数函数 函数式 y=ar(a>0,a≠1) y=logax(a>0,a≠1) 定义城 R (0,+∞) 值城 (0,十∞) & a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 ↑y 图象 0 ①过(0,1). ①过(0,1). ①过(1,0). ①过(1,0) ②在(-∞， ②在(-0， ②在(0， ②在(0， 十∞)内单 十∞)内单 十∞)内单 十∞)内单 图象 调递增.③ 调递减.③ 调递增. 调递减. 特点 当x>0时， 当x<0时， ③当x>1③当x>1 y>1;当x y>1;当x 时，y>0: 时，y<0; <0时，0< >0时，0< 当0<x< 当0<x y<l y<1 1时，y<0 1时，y>0 【注意】(1)对数函数y=log.x(a>0且a≠1)与指 数函数y=a(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关 于直线y=x对称， (2)底数变化与图象变化的规律：由于对数函数y= logx的图象与直线y=1交于点(a, 1),所以对数函数y=logx的图象 C 在x轴上方，从左到右对应的底数由 小到大依次递增：由于函数y=log。x 的图象与直线y=一1交于点 (合，-小图此商数y=1ogx的图 象在工轴下方，从左到右对应的底数由大到小依次递减。 [真题4](2022·四川)函数y=l0gx的图象大致是( [解析]由对数函数的图象性质可知选C. [真题5](2022·浙江)已知函数∫(.x)=log(x+1),若 f(a)=1,则a等于 (） A.0 B.1 C.2 D.3 [解析]由f(a)=1知log(a+1)=1,a+1=2. .a=1,选B. [真题6](2022·全国I)设a=log2,b=ln2,c=5立，则 () A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a [解析]由函数y=logx与y=lnx的位置关系知log:2< h2.即a<6,又a=1og:2=7og4>2而5<4专=2 c<a,故选C. [真题7](2021·江西)已知函数f(x)是(-∞，十∞)上 的偶函数，若对于x≥0，都有f(x十2)=f(x),且当x∈[0,2) 时，f(x)=log(x+1),则f(-2008)+f(2021)的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 [解析]由于x≥0，f(x十2)=f(x),所以在[0，十∞)内， 有最小正周期为2.又由于函数为偶函数，有f(一x)=f(x),且 当x∈[0,2)，f(x)=log(x+1),所以有f(-2008)+f(2021) =f(2020)+f(2021)=f(0)+f(1)=0+1=1,故选C. 题源3对数函数的综合题 [真题8](2020·天津)设a>1,若对于任意的x∈[a, 2a],都有y∈[a,a]满足方程log。x十log.y=3,这时a的取值 的集合为 () A.{a|1<a2} B.{aa≥2} C.{a|2a3} D.{2,3} [解析]本题考查对数运算、函数值城等知识，涉及数形结 合、转化的思想. a 由log。x+logy=3得log(xy)=3,y= a>1. y-在[a,2a]上是减画数，y∈[侣a门时于任意 的x∈[a,2a]都有y∈[a,a2门满足方程logx十logy=3,.a ≤，解得a≥2或a≤0.：a>1,∴a≥2.唧选B 此题属难题，要求考生有一定的分析问题和解决问题的 能力. [真题](2021·安徽)已知函数f(x)=x -+1- a lnz ,a>0. (I)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)设a=3,求f(x)在区间[1，e2]上的值域，其中e= 2.71828…是自然对数的底数. [解析](I)f(x)的定义域是(0，十∞)，导函数f'(x)= 1+2-g-2-ax+2 设g(x)=x2-a.x+2,二次方程g(x)=0的判别式△=a -8.①当△<0即0<a<2√2时，对一切x>0都有f'(x)>0, 此时f(x)是(0，十∞)上的单调递增函数. ②当△=0即a=2W2时，仅对x=√2有f'(x)=0,对其余 的x>0都有f'(x)>0. 此时f(x)是(0，十∞)上的单调递增函数. ③当△>0即a>2√2时，方程g(x)=0有两个不同的实根 x1=a-a2-8 x:=a+a2-8 0<x1x2 2 2 (0,x1) TI (x1,x2) T2 (x2,十0∞） f'(x) + 0 0 f(a) 单调递增入 极大 单调递减 极小 单调递增入 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 题源1对数（★★★★） h.(2020·四川)函数y=ln(2x+1(x>-子)的反函数是 () A.y三2C=1xeR B.y=ea-1(x∈R) C.y=2(e-1)(x∈R) D.y=e-1(x∈R) 2.(2020·辽宁)已知0<a<1,x=log。√2+log。√3，y= 1 log.5z=log。2T-logV5,则 A.t>y>x B.>y>t C.y>x>x D.>>y 3.(2021·全国I)已知函数f(x)的反函数为g(x)=1+ 2lgx(x>0),则f(1)+g(1)等于 () A.0 B.1 C.2 D.4 4.(2021·重庆)记f(x)=log(x+1)的反函数为y= f-1(x),则方程f-1(x)=8的解x= 题源2对数函数（★★★★★） 5.(2021·陕西)若不等式x2一x≤0的解集为M,函数 f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N,则M∩N为 () A.[0,1) B.(0,1) ·3 此时了)在(0，“一区上单调递增： 2 在（二8，a十8）上单调造减： 2 2 在(a十百，十0)上单调递增. 2 (Ⅱ)当a=3时，方程g(x)=0有两个不同的实根x1= 1,x2=2. 由(I)知，在(1，e2)内，当x=2时f(x)取得极值， f(1)=0,f(2)=2-3ln2,f(e2)=e2-2e2-5. 因为f(2)<f(1)<f(e),所以f(x)在区间[1，e]上的值 战为[2-3ln2,e2-2e2-5]. C.[0,1] D.(-1,0] 6.(2021·江西)函数y= ln(x十1)二的定义域为 W√一x-3.x十4 ( A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1] 7.(2020·湖南)下列不等式成立的是 A.logs 2<log:3<log:5 B.logs2<log2 5<log:3 C.log:3<log;2<log 5 D.log:3<log:5<log;2 8.(2018·浙江)已知0<a<1,logm<logn<0,则(） A.1<n<m B.1<m<n C.m<n<l D.n<m<l 9.(2020·北京)若a=logx,b=log6,c=log20.8,则 () A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 10.(2022·上海)对任意不等于1的正数a,函数f(x)= log。(x十3)的反函数的图象都过点P,则点P的坐标是 1山.(2020·安微)函数f(x)三021)的定义成 为 12.(2018·江苏)函数y=√1og.(4x2-3x)的定义域为