4.2 导数的应用 题源3 函数的最值-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

[真题9](2019·山东)设函数f(x)=ax+blnx,其中 ab≠0. 证明：当ab>0时，函数f(x)没设有极值点；当ab<0时，函 数∫(x)有且只有一个极值点，并求出极值. [解析]因为f(x)=a.x2+blnx,ab≠0，所以f(x)的定义 域为(0，十∞). f'(x)=2ax+ b 2ax'+b x 当ab>0时，如果a>0,b>0,f'(x)>0,f(x)在(0，+o∞) 上单调递增； 如果a<0,b<0,f'(x)<0,f(x)在(0，十∞)上单调递减. 所以当ab>0时，函数f(x)没有极值，点. 当ab<0时， 2a f'(x)= 令f(x)=0,得 b b ∈(0，十∞)，当 2a (0,十∞)（舍去），x2=√-2a a>0,b<0时，f'(x)、f(x)随x的变化情况如下表： 6 b b 0· 2a 2a 2a (x) 0 f(x) 极小值 从上表可看出，函数f(x)有且只有一个极小值点，极小值 为会)-（训 当a<0,b>0时，f'(x)、f(x)随x的变化情况如下表： b b b x 0-2a 2a f'(x) 0 f(z) 极大值 从上表可看出，函数∫(x)有且只有一个极大值点，极大值 为（品）-（川 综上所述，当ab>0时，函数f(x)没有极值，点； 当ab<0时，若a>0,b<0时，函数f(x)有且只有一个极 小值点，极小值为一 -(川： 若a<0,b>0时，函数f(x)有且只有一个极大值点，极大 撞为-[-（品）小 [真题10](2022·浙江)已知a是给定的实常数.设函数 f(x)=(x-a)(x+b)e2,b∈R,x=a是f(x)的一个极大 值点， (1)求b的取值范围； (2)设x1,x,x是f(x)的3个极值点，问是否存在实数 b,可找到x:∈R,使得x1,x2,x,x:的某种排列x1,x2,x, x4(其中{i1,i2,i3i:}=1,2,3,4})依次成等差数列？若存在， 求所有的b及相应的x::若不存在，说明理由， [解析](1)f'(x)=e(x一a)[x2十(3-a十b)x十2b-ab 。6 -a], 4g(x)=x+(3-a+b)x+26-ab-a, 则△=(3-a+b)2-4(2b-ab-a)=(a+b-1)2+8>0. 于是可设x1,x2是g(x)=0的两实根，且x1<x, ①当x1=a或x=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此 时不合题意， ②当x1≠a且x2≠a时，由于x=a是f(x)的极大值点， 故x1<ax2, 即g(a)<0, 即a2+(3-a+b)a+2b-ab-a<0, 所以b<一a, 所以b的取值范围是（一oo,一a). (2)由(1)可知，假设存在b及x:满足题意，则 ①当x2一a=a一x1时，则x4=2x2一a或x4=2.x1一a, 于是2a=x1十x2=a-b-3, 即b=一a一3. 此时x4=2x2-a=a-b-3+√(a十b-1)+8-a=a+ 2V6,或x:=2x1-a=a-b-3-√(a+b-1)+8-a=a- 2W6. ②当x2一a≠a-x1时，则x2-a=2(a一x1)或ax1 =2(x2-a). （(D若：-a=2(a-x1）,则4=a十 2 于是3a=2x1十，=3(a-6-3)-√a+6-1)+8 2 即/(a+b-1)2+8=-3(a+b+3), 于是a+b-1=二9-3 2 此时4=a+=2a+a-6-3）-3a+6+3》=-6-3 2 4 -a+1+3 2 )若a-x1=2(x:-a),则x=0之，于是3a=2x,中 ,=3(a-6-3)+(a-6-)+8 2 即√(a-b-1)2+8=3(a+b+3), 于是a十6-1=9E,龙时：=十2 2 2 2a+a-6-3）-3(a+6+3》=-6-3=a+1- 2 综上所述，存在b满足题意 当b=-a-3时，x4=a士2V6; 当6=-a-7+3 2 时，x:=4+1+V3 2 当6=-4-7-3 ,1-/13 时，x4=a 2 2 题源3函数的最值 6 解题模型 闭区间[a,b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值， 其求法为： 1.求出函数f(x)在(a,b)内的极值； 2.将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值. 此性质包括两个条件： ①给定函数的区间必须是闭区间，也就是说函数f (x)在开区间上虽然连续，但不能保证有最大值与最小值. 例如函数f(x)=1在(0，十0)内连续，但没有最大值与 最小值. ②在闭区间上的每一，点处必须连续，即在闭区间上有 间断点亦不能保证f(x)有最大值与最小值.例如f(x)= 2 (0≤x<1) 有最小值0，无最大值」 0(x=1) [真题11](2022·江西)设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ ax(a>0). (I)当a=1时，f(x)的单调区间： (Ⅱ)若f(x)在(0,1]上的最大值为2，求a的值. [解析]函数f(x)的定义城为(0,2)， f'(x)= 11+a. z2-z -x2+2 (I)当a=1时，f'(x)=x2-x,所以f(x)的单调递增 区间为(0，√2)，单调递减区间为（√2,2）. （Ⅱ)当x(0,1时，f'()=名2x e2-+a>0. 即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值 为f(1)=a,因此a=2 1 [点评]函数问题中，导数的应用、分类讨论的思想，是函 数大题中常见的类型， [真题12](2022·重庆)已知函数f(x)=a.x3+x2+bx (其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数. (1)求f(x)的表达式： (2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大 值与最小值. [解析](1)由题意得f(x)=3ax2+2x十b.因此g(x)= f(x)+f'(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.因为函数g(x) 是奇函数，所以g(一x)=一g(x),即对任意实数x,有a(-x) +(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[a.x3+(3a+1)x2+ 6+2》x+6们，从而3a+1=0.6=0.解得a=-号6=0，因光了 1 (x)的解析式为f(x)=-3x+x, 1 (2)由1)知g(x)=-3x+2x,所以g'(x)=-x+2, 令g'(x)=0,解得x1=-V2,x2=V2,则当x<-√2或x>2 时，g'(x)<0,从而g（x)在区间(-o∞，-√2]，[V2,+o∞)上是 减函数；当一√2<x<√2时，g'(x)>0,从而g(x)在[一√2，√2] ·6 上是增函数 由前面讨论知，g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只 能在x=1N2,2时取得，而g1)=5 ,g(w2)= 3,g(2)= ,因光g(x)在区间[1,2]上的最大值为g5)=4 4 3,最小值 为g(2)=3 4 [真题13](2021·陕西)已知函数f(x)=In(ax+1)+ 1-x 1+72≥0，其中a>0. (I)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值； (Ⅱ)求f(x)的单调区间； (Ⅲ)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围. [解折]（Dr✉)片aa 2 ax2十a-2 f(x)在x=1处取得极值，.f'(1)=0,即a·12+a-2 =0,解得a=1. a.x2+a-2 (f'x)=a+1a+xx≥0.a>0ax+1>0. ①当a≥2时，在区间(0，十o∞)上f'(x)>0,.f(x)的单调 增区间为(0，十∞). ②当0<a2时，由f'(x)>0解得x> 2=a,由f'(x) <0解得x<√a (Ⅲ)当a≥2时，由（Ⅱ）①知，f(x)的最小值为f(0)=1;当 0a<2时.由()②知，J(r)在=气处取得最小值 =)<f(0)=1,综上可知，若f(x)的最小值为1，则a f(a 的取值范围是[2，十∞). [真题14](2021·天津)已知函数f(x)=x+4+b(x≠ 0),其中a,b∈R (I)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2)处的切线方程为y= 3x十1，求函数f(x)的解析式； (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅲ)若对于任意的a∈ 合小不等式)≤0在 [子上恒成立，求6的取值范固， [解桥](I)f矿)=1-品，由导数的几何意义得f(2) =3,于是a=-8.由切点P(2,f(2)在直线y=3x+1上可得 一2十b=7,解得b=9.所以函数f(x)的解析式为∫(x)=x 8十9 (Ⅱ)f'(x)=1-4 2 当a≤0时，显然f'(x)>0(x≠0).这时f(x)在（一∞，0）， (0,十∞)内是增函数. 当a>0时，令f'(x)=0,解得x=士√a. 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： x (-∞，-√a) -√a Va,0(0,a) a (a, +∞) f'(x) 0 0 f(z) 极大值 → 极小值 所以f(x)在（一∞，一a),(√a,十∞）内是增函数，在 (-√a,0),(0,√a)内是减函数 ()由()知f(x)在[片上的最大值为f()与 f)中的较大者，对于任意的a∈[22不等式fx)≤10在 39 [上超成立，当且当 f(1)≤10， b9-a 从而得6≤子，所以满足条件的。的取植范国 是（引 [真题15]如图所示，已知抛物线 y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5， 0).倾斜角为于的直线1与线段0A相交 (不经过点O或点A),且交抛物线于M、 N两点，求△AMN的面积最大时直线l 的方程，并求△AMN的最大面积. [解析]由于直线1与线段OA相交且倾斜角为不，又点 A的坐标为(5,0)，设直线1的方程为y=x十m,可知一5<m <0. 由方程组二T十m'消去y得x+(2m-4z十m=0.0 (y2=4x :直线1与抛物线有两个不同交点M、N,方程①的判别 式△=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0,.m<1,由 5<m<0】 得m∈(-5,0). m<1 设M(x1y1),N(x2y2),则x1十x2=4-2m,x1x2=m2, MN=4V2-m),点A到直线1的距离d=5+m, ∴.S△Aw=2(5+m)√1-m,即S艺AMN=4(1-m)(5+m)2,令 f(m)=(1-m)(5+m)2=-m3-9m2-15m+25, 对f(m）=-3m2-18m-15, 当f'(m)=0时，即m=-1或m=-5. 根据题意知m=一1时，f(m)最大，即S△AMN最大为8V, 故直线1的方程为y=x一1，△AMN的最大面积是82. [评析]本题考查综合运用弦长公式、三角形面积公式、基 本不等式等求函数最值，数学思维层次较高，其中建立目标函 ·6 数，把解析几何问题转化为函数问题求解是关键， [真题16](2021·山东)两县城A和B相距20km,现计 划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃 圾处理厂，其对城市的影响与所选地点到城市的距离有关，对城 A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和.记C点 到城A的距离为xkm,建在C处的垃圾处理厂对城A与城B的 影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对A的影响度与所选地 点到A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与 所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处 理厂建在弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. (I)将y表示成x的函数； (Ⅱ)讨论(I)中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一 点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？ 若存在，求出该点到城A的距离：若不存在，说明理由. [解析](I)根据题意∠ACB=90°，AC=xkm,BC= √J400一x”km,且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为 4 4 ,对城B的影响度为00，周此，总影响度y为y=子十 400-x0<x<20. k 又因为垃圾处理厂建在孤AB的中点时，对城A和城B的 4 k 总影响度为0.065，所以 (√102+102)2400-（√102+10） =0.05,解得=9.所以y=喜十090<<20). 9 ()因为y'=-8 18.x -+(400-x)y =18x4-8×(400-x)2 x3(400-x2)2 =（x2+800)(10x2-1600) x3(400-x2)9 由y'=0解得x=4√0或x=一4√10（舍去）， 易知4√10∈(0,20). y,y'随x的变化情况如下表： 2 (0,4J10) 4√/10 (4/10,20) y 0 y 极小值 由表可知，函数在(0,4√10)内单调递减，在(4/10,20)内单 调递增y小a=y=而=6，此时x=4W0,故在AB上存在 C点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最 小，该点与城A的距离x=4/I0km. [真题17](2021·辽宁)设f(x)=e(ax2+x+1),且曲 线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行. (I)求a的值，并讨论f(x)的单调性； ()证明：当9e[0,]时.fcos)-fsin91<2 [解析](I)f'(x)=e(a.x2十x十1+2a.x+1).由条件 知，f'(1)=0,故a+3+2a=0→a=-1. 于是f'(x)=e(-x2-x+2)=-e(x+2)(x-1). 故当x∈（一∞，一2）U(1,十∞)时，f(x)<0: 当x∈(-2,1)时，f'(x)>0. 从而f(x)在（一∞，一2），(1，十∞)单调递减，在（一2,1）单 调递增. (Ⅱ)由(I)知f(x)在[0,1]单调递增，故f(x)在[0,1]的 最大值为f(1)=e,最小值为f(0)=1. 从而对任意x1,x:∈[0,1]，有f(x1)-f(x:)≤e-1<2. 而当9∈[0，交]时，cos0,sin6∈[0,1]. 从而lf(cos0)-f(sin0)l<2. [思维拓展]导数法是求解有关函数单调性问题、最值问 题、极值问题、参数问题的有效方法之一，在具体问题中一定要 明确其方法和要点，应用导数法求解单调性问题关键就是求解 不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大 小；极值就是依据极值定义判断各个导数为0的点；参数问题涉 及的有最值恒成立问题、单调性的逆向应用，在求解过程中要注 意以细求准， [真题18](2020·湖南)已知函数f(x)=1n2(1十x) 一1+x (I)求函数f(x)的单调区间； 君不布大+》 ≤e对任意的n∈N'都成立（其 中e是自然对数的底数)，求a的最大值. [解析](I)函数f(x)的定义域是(-1，+∞)，f'(x)= 2ln(1+x)x2+2x_2(1+x)n(1+x)-x2-2x 1+x (1+x)2 (1+x)2 设g(x)=2(1+x)ln(1+x)一x2-2x,则g'(x)=2ln(1+ x)-2x. 2-2=1+x 令h(x)=2n(1+x)-2x,则'(x)=1十 -2x 当一1<x<0时，h'(x)>0,h(x)在（一1,0）上为增函数，当 x>0时，h'(x)<0,h(x)在(0，十o)上为减函数. 所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以g'(x) <0(x≠0)，函数g(x)在（一1，十o∞）上为减函数. 于是当-1<x<0时，g(x)>g(0)=0,当x>0时，g(x) <g(0)=0. 所以，当一1<x<0时，f(x)>0,f(x)在（一1,0）上为增 函数，当x>0时，f'(x)<0,f(x)在(0，十©o)上为减函数. 故函数f(x)的单调递增区间为（一1,0），单调递减区间为 (0,十c). ()+动)”≤e￥价于m+an(+分)≤1.由1+ +) 1 1 设G(x)=n1+x-左x∈(01门，则G(x) 1(1+x)ln2(1+x)-x2 (1+x)ln(1+x)x x(1+x)ln(1+x) x2 由(I)知，ln1+x)-1十z≤0，即1+x)n1+x)-x 女0. 所以G'(x)<0,x∈(0,1]于是G(x)在(0,1]上为减函数. 故函数G(x)在(0,1]上的最小值为G(1)=2一1.所以a ·6 1 的最大值为2一1 题源4已知函数的单调性确定参数的取值范围 解题模型 这种问题往往转化为恒成立或能成立问题解决， [真题19](202·光京)设函数f(x)=冬r+bx+cz+da >0),且方程f'(x)-9x=0的两个根分别为1,4. (1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式： (2)若f(x)在（一∞，十∞）内无极值点，求a的取值范围. [解析]由f)=号x+b6x+cz+d得f(x)=ax+ 2bx十c. 因为f'(x)一9x=ax2十2bx十c一9x=0的两个根分别为 1,4, 所以+26+c-9=0, (￥) 116a+86b+c-36=0. 0)当a=3时，由(*)式得26十c-6=0, 18b+c+12=0, 解得b=一3，c=12,又因为曲线y=∫(x)过原点，所以d =0, 故f(x)=x3-3.x2十12x. (2)由于a>0,所以fx)=号x+bx+cx+d在(-0， 十∞)内无极值点”等价于“f'(x)=ax2十2bx十c≥0在(-o0, +c∞)内恒成立”.由（￥）式得2b=9-5a,c=4a.又△=(2b)2 4ac=9(a-1)a-9),解a>0. 得a∈[1,9]. 1△=9(a-1)(a-9)≤0， 即a的取值范围是[1,9]. [真题20](2021·浙江)已知函数f(x)=x3十(1一a)x2 -a(a+2)x+b(a,b∈R). (I)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 -3,求a,b的值； (Ⅱ)若函数f(x)的在区间（一1,1）上不单调，求a的取值范围 [解析](I)由函数f(x)的图象过原点，得b=0,又f' (x)=3x2+2(1-a)x-a(a十2)，f(x)在原点处的切线斜率是 -3. 则一a(a十2)=-3，所以a=一3，或a=1. （Ⅱ)由f'(z)=0,得x1=a,:=-a十2 3 又f(x)在（一1,1）上不单调，即 -1a<1, -1<-a+2<1, 1<a<1, 3 a≠-a十2或 解得 1 3 a+2 a≠ 3 2 -5a1 或 1 a≠-2 所以a的取位范网是(-5，-宁U(-日》。 [真题21](2021·山东)已知函数f(x)=3ax+bx+ x十3，其中a≠0.