3.1 函数与方程 题源3 方程的根与不等式-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

题源2方程的根与数形结合的思想 [真题4](2022·福建)函数f(x)= x2+2x-3,x≤0 -2+lnx,x>0 的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 [解析]如图可知选C. (x) [真题5](2021·山东)若函数f(x)=ax一x一a(a>0, 且a≠1)有两个零点，侧实数a的取值范围是 [解析]本题考查函数与方程知识，注意函数的零，点及方 程的根和图象的交，点三者之间的转化，注意数形结合及分类讨 论思想的应用，若函数f(x)=a一x一a(u>0,且a≠1)有两个 零点，等价于函数g(x)=a,h(x)=x十a的图象有两个不同 的交点，如图当0<a<1时易知两函数图象只有一个交，点，不合 题意舍去 当a>1时，由于函数g(x)=a的图象过点(0,1).而h(x) =x十a与y轴的交点一定在(0,1)上方，且随着自变量的增大， 指数函数的增长趋势大于一次函数的增长趋势，故如图可知两 函数的图象一定有两个交点，故α的取值范围是(1，十∞). ◆y [真题6](2021·山东)已知定义在R上的奇函数f(x) 满足f(x-4)=一f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f (x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3, x4,则x1十x2十x3十x4= [解析]本题考查函数性质的综合应用及数形结合和函数 与方程思想.f(x一4)=一f(x)可得f(x一8)=一f(x一4)= f(x),即函数为以8为周期的周期函数，又为奇函数，则∫(x一 4)=一f(x)=f(一x),即函数图象关于直线x=2对称，又因为 函数y=f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以函数在区间[一2， 0]上也是增函数.如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间 [-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<xg <x4,由对称性知x1十x=一12，x3十x4=4,所以x1十x2十x3 十x=一8. ∠8-61 题源3方程的根与不等式 [真题7](2022·浙江)设函数f(x)=4sin(2.x+1)-x, 则在下列区间中函数∫(x)不存在零点的是 () A.[-4,-2] B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4] [解析]，f(-4)=4(1-sin7)>0,f(-2)=2-4sin3= 4(}-sims)=4(n话-sn3）>0.f(-1D=1-4sin1<0, f(0)=4sinl>0,f(2)=4sin5-2<0,又由y=sin(2x+1)与y -千因象，知x)在[2，们必有零点，所以选A [真题8](2019·浙江)已知f(x)=x2-1|+x2+kx. (I)若k=2,求方程f(x)=0的解； (Ⅱ)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个解x1,x, 求的取值范围，并证明上十】<4. TI Z2 [解析](I)当k=2时，f(x)=|x2-1|+x2十2x=0. 分两种情况讨论： ①当x2-1≥0时，即x≥1或x≤-1时， 方程化为2x2+2x一1=0， 解得x=二1±3 2 因为0<二1十E<1,含去， 2 所以x=一1一3 2 ②当x2-1<0时，即-1<x<1, 方程化为1十2x=0, 解得x=-子 由①@得当=2时，方程f(x)=0的解是工=15， 2 1 (Ⅱ)不妨设0<x1<x2<2, 周为fx)=22十-lz>1·所以f)在0,1上 kx+1,|x|≤1， 是单调函数， 故f(x)=0在(0,1]上至多一个解， 1 若x1x:∈1,2)，则x1x:=-2<0,故不特合题意， 因此，x1∈(0,1]，x2∈(1,2). 由fx1)=0,得k=-】 所以k≤一1： 由f(x2)=0,得k= 7 所以-2<<-1 当-之k<一1时，f(x)三0在(0,2)上有两个角 方法一： 因为x1∈(0,1，所以x1=一友， 而方程2x+x-1=0的两根是6土V牛8： 4 因为x∈(1,2)，所以x2=一6十V+8 4 4 T1 T2 /k2+8一k 1 =2（√+8-k), 而公于8-专在（名-）小上是浅画我 8-长√)+8+号-8 因此1+1<4 TI T2 方法二： 因为x1∈(0,1]，所以x1十1=0① 因为x2∈(1,2)，所以2x十kx2一1=0② 由①②消去k,得2x1x-x1一x2=0, 即1+1=2x. 又周为∈2所以+女< 题源4方程的根与概率 [真题9](2019·宁海)设有关于x的一元二次方程x2+ 2ax+b2=0. (I)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0， 1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率. (Ⅱ)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2] 任取的一个数，求上述方程有实根的概率. [解析]设事件A为“方程x2十2a.x十b2=0有实根”. 当a≥0，b≥0时，方程x2十2ax十b2=0有实根的充要条件 为a≥b. (I)基本事件共有12个： (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1), (2,2),(3,0),(3,1),(3,2). 其中第一个数表示的取值，第二个数表示b的取值. 事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为 P(A)=9=3 124 (Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)|0a3,0b2}. 构成事件A的区域为 {(a,b)0a3,0b2,a≥b}. 所以所求的概率为 1 3×2-2×2 P(A)= 2 3×2 3 题源5方程的根与导数 [真题10](2021·福建)若曲线f(x)=a.x3+nx存在垂 直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 4 [解析]本题考查的是导数在函数中的应用及函数与方程 零点知识，考查学生的化归与转换思想，属于中等难度题.由题 意知该函数的定义战是x>0,由∫(x)=3r十】.因为存在垂 直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x>0范围内导 函数f'(r)=3ax2+1存在零点.再将之转化为g(x)=-3ax 与(x)=士存在交点，当a=0时不符合题意，当a<0时，最形 结合可得显然有交点，当a>0,如图，此时没有交点，故有a<0, 答案为(-∞，0)或{aa<0}. [真题11](2021·广东)已知函数f(x)=(x3+3.x2+a.x +b)e-. (I)若a=b=一3，求f(x)的单调区间： (Ⅱ)若f(x)在(-∞，a),(2,3)单调增加，在(a,2), (B,十∞)单调减少，证明：B一a>6. [解析](I)当a=b=-3时，f(x)=(x3+3x2-3.x-3) e,故f'(x)=-(x3+3x2-3x-3)er+(3.x2+6.x-3)ex =一er(x3一9x) =-x(x-3)(x十3)ex. 当x<-3或0<x<3时，f'(x)>0: 当一3<x<0或x>3时，f'(x)<0. 从而f(x)在（一∞，一3），(0,3)单调增加，在（一3,0)， (3,十∞)单调减少. (Ⅱ)f(x)=-(x3+3x2+a.x+b)e-x+(3.x2+6.x+ a)e =-er[x3+(a-6)x十b-a]. 由条件得：f'(2)=0,即23+2(a一6)+b-a=0, 故b=4-a.从而f'(x)=一e[x3+(a-6)x十4-2a]. 因为f'(a)=f'(3)=0,所以 x3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-a)(x-B) =(x-2)(x2-(a+B)x十a3). 将右边展开，与左边比较系数得， a+B=-2,a8=a-2.故 B-a=√(B+a)2-4ag=√12-4a. 又(B-2)(a-2)<0,即a3-2(a十B)+4<0. 由此可得a<-6.于是B-a>6. [真题12](2020·湖南)已知函数f(x)=1 x+x- 2x2+cx有三个极值点. (I)证明：-27<c<5; (Ⅱ)若存在c,使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减， 求a的取值范围 [解折](1)调为画数)=子十-号：十有 三个极值点，所以f'(x)=x3十3x2一9x十c=0有三个互异的 实根.