3.1 函数与方程 题源2 方程的根与数形结合的思想-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

题源2方程的根与数形结合的思想 [真题4](2022·福建)函数f(x)= x2+2x-3,x≤0 -2+lnx,x>0 的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 [解析]如图可知选C. (x) [真题5](2021·山东)若函数f(x)=ax一x一a(a>0, 且a≠1)有两个零点，侧实数a的取值范围是 [解析]本题考查函数与方程知识，注意函数的零，点及方 程的根和图象的交，点三者之间的转化，注意数形结合及分类讨 论思想的应用，若函数f(x)=a一x一a(u>0,且a≠1)有两个 零点，等价于函数g(x)=a,h(x)=x十a的图象有两个不同 的交点，如图当0<a<1时易知两函数图象只有一个交，点，不合 题意舍去 当a>1时，由于函数g(x)=a的图象过点(0,1).而h(x) =x十a与y轴的交点一定在(0,1)上方，且随着自变量的增大， 指数函数的增长趋势大于一次函数的增长趋势，故如图可知两 函数的图象一定有两个交点，故α的取值范围是(1，十∞). ◆y [真题6](2021·山东)已知定义在R上的奇函数f(x) 满足f(x-4)=一f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f (x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3, x4,则x1十x2十x3十x4= [解析]本题考查函数性质的综合应用及数形结合和函数 与方程思想.f(x一4)=一f(x)可得f(x一8)=一f(x一4)= f(x),即函数为以8为周期的周期函数，又为奇函数，则∫(x一 4)=一f(x)=f(一x),即函数图象关于直线x=2对称，又因为 函数y=f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以函数在区间[一2， 0]上也是增函数.如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间 [-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<xg <x4,由对称性知x1十x=一12，x3十x4=4,所以x1十x2十x3 十x=一8. ∠8-61 题源3方程的根与不等式 [真题7](2022·浙江)设函数f(x)=4sin(2.x+1)-x, 则在下列区间中函数∫(x)不存在零点的是 () A.[-4,-2] B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4] [解析]，f(-4)=4(1-sin7)>0,f(-2)=2-4sin3= 4(}-sims)=4(n话-sn3）>0.f(-1D=1-4sin1<0, f(0)=4sinl>0,f(2)=4sin5-2<0,又由y=sin(2x+1)与y -千因象，知x)在[2，们必有零点，所以选A [真题8](2019·浙江)已知f(x)=x2-1|+x2+kx. (I)若k=2,求方程f(x)=0的解； (Ⅱ)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个解x1,x, 求的取值范围，并证明上十】<4. TI Z2 [解析](I)当k=2时，f(x)=|x2-1|+x2十2x=0. 分两种情况讨论： ①当x2-1≥0时，即x≥1或x≤-1时， 方程化为2x2+2x一1=0， 解得x=二1±3 2 因为0<二1十E<1,含去， 2 所以x=一1一3 2 ②当x2-1<0时，即-1<x<1, 方程化为1十2x=0, 解得x=-子 由①@得当=2时，方程f(x)=0的解是工=15， 2 1 (Ⅱ)不妨设0<x1<x2<2, 周为fx)=22十-lz>1·所以f)在0,1上 kx+1,|x|≤1， 是单调函数， 故f(x)=0在(0,1]上至多一个解， 1 若x1x:∈1,2)，则x1x:=-2<0,故不特合题意， 因此，x1∈(0,1]，x2∈(1,2). 由fx1)=0,得k=-】 所以k≤一1： 由f(x2)=0,得k= 7 所以-2<<-1 当-之k<一1时，f(x)三0在(0,2)上有两个角 方法一： 因为x1∈(0,1，所以x1=一友，