2.1 指数和指数函数 题源2 指数函数-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

第二章 基本初等函数I §2.1 指数和指数函数 考纲·题型解读 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算， 2.熟练掌握指数函数的概念、图象和性质，会依据指数函数的图象性质解决相关问题，如比较大小、指数方程或不等式及实 际问题等， 3.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型 4.这部分内容在高考中处于重要地位，高考中往往以基础知识为主，如数值的计算、函数求值的方法.数值的大小比较等， 但有时也与函数基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题， 五年高考母题题源揭秘 题源1指数 [真题2](2019·山东)已知集合M={-1,1},N= {合<2<，x:则MnN等于 解题模型 A.{-1,1} B.{-1}C.0} D.{-1,0} ()分数指数暴与根式可以互化，通常利用分数指数 [解析]本题考查集合的运算、解简单的指数不等式.易知 幂进行根式的运算」 集合N=《一1,0}，所以M∩N={一1}.本题也可以用排除法： (2)运用公式进行式子的变形时，应注意公式成立的 很明显在集合M∩N中不含元素0，故可排除C,D,再验证1是 条件，以减少运算的失误。 否在集合N中即可选B. (3)式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中 [真题3] (2018·山东)函数f(x)= 占有重要的地位，在研究方程、不等式和函数的基础，应引 (sin(rx2),-1<x<0 若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为 起重视. e1,x≥0. (4)在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要 ( 注意运用方程的观，点处理问题，通过解方程或方程组来 A.1 B.② C1,-② 求值. 号 【注意】(1)对于根式记号a,深刻理解以下儿点： [解析] :f)=e-1fa)=1.a=1.而/ )= 2 ①n∈N',且n>1. 号≠1，f( √ ②当n为大于1的奇数时，Wa对任意a∈R都有意义， 2 )=sin[x(- 2 )2]=1,.a= 乞，综合得a 它表示a在实数范围内有唯一的一个n次方根，(a)” =a. 1或- 2选C ③若一个数x的n次方等于a,那么x怎么用a来表 示呢？仅用x=a这个回答是不完整的.应该是这样的： 题源2指数函数 a(n为奇数)， I= ±a(n为偶数a为正数)， 不存在(n为偶数，a为负数)， 0(a=0). (2)分数指数幂可以看作是根式的另一种写法，这样 可以更便于根式的运算. [真题1](2018·全国1)若正整数m满足10m-<212< 10m,则m= .(1g2≈0.3010) [解析]不等式两边取常用对数可得m>512lg2=154.1120, 且m<512lg2+1=155.1120,所以m=155. ·25· 解题模型 [解析]令u(x)=2+b-1,则函数u(.x)=2+b-1在 指数函数的图象特征及函数性质： 定义域上是增函数，而由图象知复合函数也是增函数，故>l； 又当x=0时，-1<f(0)<0,∴.-1<10gb<0(a>1)∴.0<a 图象特征 函数性质 b<1,故选A a>1 0<a<1 「x+y-11≥0. a>1 0a<1 [真题5](2022·北京)设不等式组 3x-y+3≥0，表示 十1 5x-3y+9≤0 0 的平面区域为D.若指数函数y=a的图象上存在区域D上的 向x轴正或负方向无限延伸 函数的定义域为R 点，则a的取值范围是 () 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 A.(1,3] B.[2,3] 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R C.(1,2] D.[3,+o∞) 函数图象都过定点(0,1) a0=1 [解析]先画出可行域，如图，y=a必须过A点及图中阴 影部分. 自左向右看，自左向右看， 增函数 减函数 3x-y+3=0 图象逐渐上升图象逐渐下降 5x-3y+9=0 在第一象限 在第一象限 内的图象纵 内的图象纵 x>0,a>1 x>0,0<a 坐标都大 坐标都小于 <1 于1 1且大于0 在第二象限在第二象限 内的图象纵 内的图象纵 x<0,0<a x<0,a>1 坐标都小于 坐标都大 <1 x+y-11=0 1且大于0 于1 函数值开始 函数值开始 A(2,9),9=a2,.a=3. 图象上升趋 图象下降趋 增长较慢， 减小极快， :a>1,.1<a≤3，故选A. 势是越来 势是越来 到了某一值 到了某一值 [真题6](2021·四川)函数y=2+1(x∈R)的反函数是 越陡 越缓 后增长速度 后减小速度 ( 极快 较慢 A.y=1+log2z(x>0)B.y=log:(z-1)(x>1) 【注意】(1)指数函数是中学数学中三类基本初等函 C.y=-1+logx(x>0)D.y=log2(x+1)(x>-1) 数之一，是高考必考内容，主要考查定义域、值域、图象以 [解析]本题考查反函数的意义及反函数的求法，由y= 及指数函数的主要性质（单调性），比较两个数值的大小， 2x+1(x∈R)得x+1=log2y,x=logy-1(y>0).因此函数y= 以及解指数不等式，并能解决某些实际问题. 2+1(x∈R)的反函数是y=log2x-1(x>0),选C. (2)在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”， 像y=2X3,y=22,y=3可，y=2-1等函数均不符 [真题7刀(2020·北京)若a=26=l6g3c=1bgs则 合形式y=a(a>0且a≠1)，因此，它们都不是指数函数. ( (3)画指数函数y=a的图象，应抓住三个关键点： A.a>b>c B.b>a>c 1,a.0,1(1,）熟记指数面数y=10y=2, C.c>a-b D.b>c>a [解析]对于三个数比较大小，采用“0”、“1”法.在这里c< (侣)9=（仔）广在月一坐标系中国象的湘对位置， 2 2 由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系， 0,根据：因为0<sin5r<1,.log:sin5r<0.对于6来说： log3<logr=1,2°<2i(根据指数函数)，c<b<a.在几个数 [真题4](2020·山东)已知函数f(x)=1og。(2+b-1) 比较大小时，媒介法“0”、“1”比较普遍，同时利用指对数函数的 (a>0,a≠1)的图象如图所示，则a,b满足的关系是() 性质等，选A ↑y [真题8](2019·江苏)设函数f(x)定义在实数集上，它 的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f(x)=3一1，则有 () ●1 A.0<a1<b<1 B.0<b<a-1<1 A()(受)f() C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 B()()f() ·26· c()f(传)<f() （i)当|p1-p:|≤log2时，由(I)知f(x)=f1(x)(对所 有实数x∈[a,b]),则由f(a)=f(b)及a<p1<b易知p1= D.()f(层)f() 兰有有大一的华水可度用 {3x-1x≥p1 [解析]函数f(x)的图象关于直线x=1对称，f(x) =f2-.∴f(合)=f-)=∫（含）f(后) [a·b上的单調增区间的长度为b一“22一2“.（参见上图》 2 (i)当|p1一：1>log2时，不妨设p1<p:,则p2一1> f-号)f(信)又：x≥1时f)=3-1为单调递增画 log2.于是，当x≤p1时，有f1(x)=311<32<f2(x),从 是<号f(信)<f(倍)<f(侣)即f() 而f(x)=f(x). 当x≥p:时，∫1(x)=31= (afa) b.f(b) (受)（付）故应选B 32p1·312>3g32·3-2= f:(x),从而f(x)=f2(x). [点评]本题考查了抽象函数的对称性及函数的单调性的 p2,2 当p1<x<p:时，f1(x)=3 实际应用，体现了等价转化的数学思想方法处理不同变量位于 及f:(x)=2·32.由方程30-1= 0 不同的单调区间内的转化策略， 2·32-°，解得f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标为x。= [真题9](2020·安徽)若函数f(x)、g(x)分别为R上的 奇函数、偶函数，且满足f(x)一g(x)=e,则有 P+21og2.0 2 A.f(2)<f(3)<g(0) 1 B.g(0)<f(3)<f(2) 里然p1<xo=p:-2[(p:-p1)-log2]<p:,这表明xo C.f(2)<g(0)<f(3) 在p1与p2之间. D.g(0)<f(2)<f(3) 由①易知f(x)= (f（x),p1≤x≤xo, [解析]由已知条件可得f(x)一g(x)=e,f(-x)一 (f:(x),xo<x≤p g(-x)=一f(x)一g（x)=e,两式相联立可得f(x)= 综上可知，在区间[a,b]上，f(x)= fi(x),a≤x≤xo, e一e f2(x),xo<x≤b. 2 二gx)=-e+e:画教fx)为增画数，f2)< 2 故由函数f1(x)与f(x)的单调性可知，f(x)在区间[a, f(3),又g(0)=-1,.g(0)<f(2)<f(3),故应选D. b]上的单调增区间的长度之和为(x。一p1)十(b一p:).由于f 题源3指数函数的综合运用 (a)=f(b),即31-a=2·3-2,得p1十p2=a+b+log2.② [真题10](2020·江苏)已知函数f(x)=31,f2 故由D,四得(，一1)+(6-：)=6-了(：十： (x)=2·32(x∈R,p1,p:为常数).函数f(x)定义为：对每 10g2)=6-a f1(x),若f1(x)≤f(x), 2 个给定的实数x,f(x)= f:(x),若f1(x)>f(x). 综合(i)、(i)可知，f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的 (I)求f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件 长定之和为号 (用p1,p2表示)； (Ⅱ)设a,b是两个实数，满足a<b,且1，：∈(a,b).若 f(a)=f(b),求证：函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的 长度之和为22.（闭区间[mm]的长度定义为川-m) 五年高考母题原型训练 [解析](I)由∫(x)的定义可 (★代表高考出现的频次) 知，f(x)=f(.x)(对所有实数x)等（a,fa)》 (b,f(b)) 价于f1(x)≤f:(x)(对所有实数 题源1指数（★★★） x),这又等价于31≤2·3-2， 1.(2019·安徽)若A={x∈Z2≤22-<8}，B={x∈R 即3一1-1-21≤2(*)对所有实数 P1,1 llog:z|>1},则A∩(CRB)的元素个数为 () x均成立.易知函数|x一p1一【x一p A.0 B.1 |(x∈R)的最大值为p:一p1,故（￥）等价于321≤2，即 C.2 D.3 p,一p1|≤log2,这就是所求的充分必要条件. 2.(2020·陕西)已知函数f(x)=2+3,f-1(x)是f(x)的 (Ⅱ)分两种情形讨论. 反函数，若mn=16(m,n∈R+),则f-1(m)十f(n)的值为 A.-2 B.1 ·27·