2.1 指数和指数函数 题源3 指数函数的综合运用-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

c.f(号)f(传)f(2) D.(径)f()<f( [解析]函数f(x)的图象关于直线x=1对称，f(x) =2-.f()=f(-3)=f(3)(后) f(2-号)=f(信)又：x≥1时fx)=3”-1为单调递增函 数，音<<号f(份)f()<f()甲（得） f(受)（合）故应选B [点评]本题考查了抽象函数的对称性及函数的单调性的 实际应用，体现了等价转化的数学思想方法处理不同变量位于 不同的单调区间内的转化策略. [真题9](2020·安徽)若函数f(x)、g(x)分别为R上的 奇函数、偶函数，且满足f(x)一g(x)=e,则有 A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2) C.f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(2)<f(3) [解析]由已知条件可得f(x)一g(x)=e,f(-x)一 g(一x)=一f(x)一g(x)=er,两式相联立可得f(x)= er-e 二，g(z)=-C+e二，：函数f(x)为增画教，f(2)< 2 2 f(3),又g(0)=-1,g(0)<f(2)<f(3),故应选D. 题源3指数函数的综合运用 [真题10](2020·江苏)已知函数f1(x)=31,f: (x)=2·32(x∈R,p1,p:为常数).函数f(x)定义为：对每 个给定的实数x,f(x)=i(x),若f1)≤f:(x), f2(x),若f1(x)>f(x). (I)求f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件 (用p1,p2表示)； (Ⅱ)设a,b是两个实数，满足a<b,且p1,p2∈(a,b).若 f(a)=f(b),求证：函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的 长度之和为22.（闭区间[mn]的长度定义为”一m） [解析](I)由∫(x)的定义可 2 知，f(x)=f1(.x)(对所有实数.x)等（a,f(a》 (b,f(b)) 价于f1(x)≤f:(x)(对所有实数 x),这又等价于31≤2·3-21， 即3x一1-H21≤2（￥）对所有实数 1KP1,1) x均成立，易知函数x一力1一【x一p2 |(x∈R)的最大值为p:一p1,故（￥）等价于321≤2，即 p?一p1≤l0g:2,这就是所求的充分必要条件. (Ⅱ)分两种情形讨论. .2 (1)当|p1-p2|≤log2时，由(I)知f(x)=f1(x)(对所 有实数x∈[a,b]),则由f(a)=f(b)及a<p1<b易知p1= 兰香南一华技可会流区内 3x-1x≥p1 a,b们上的单调增区间的长度为b二2=”。“.（参见上图） 2 (i)当|p1-p:|>log2时，不妨设p1<p2,则p2一p1> log:2.于是，当x≤1时，有f1(x)=31r<32<f2(x),从 而f(x)=f1(x). 当x≥：时，f1(x)=31= (afa)) (bf(b)) 32-p1·31-2>36g32·3-2 f2(x),从而f(x)=f:(x). P2,2) 当p1<x<力：时，f1(x)=3 及f:（x)=2·32-.由方程30-1= 2·32-0,解得f1(x)与f:(x)图象交点的横坐标为x0= pp+21og2.0 2 1 里然p1<xo=p:-2[(p:一p1)-log2]<p,这表明x0 在p1与p2之间. 由①易知f()=(x),p1≤x≤， f:（x),xo<x≤p2 综上可知，在区间[a,b]上，f(x)=fi(x),a≤x≤x, lf2(x),xo<x≤b. 故由函数f1(x)与f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a, b]上的单调增区间的长度之和为(x。一力1)十(b一p2).由于f (a)=f(b),即301-“=2·3-2，得p1十p:=a十b+log:2.② 1 故由①、②得(x。-p1)+(b-:)=b-2(p+p: 1og:2)=60 2 综合(i)、(iⅱ)可知，f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的 长定之和为号 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 题源1指数（★★★） 1.(2019·安微)若A={x∈Z2≤22-x<8},B={x∈R Ilog2x|>1},则A∩(CRB)的元素个数为 (） A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2020·陕西)已知函数f(x)=2+3,f-1(x)是f(x)的 反函数，若mn=16(m,n∈R+),则f-1(m)十f-(n)的值为 () A.-2 B.1