1.4 函数的基本性质 题源3 函数的单调性-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

解题模型 设函数y=f(x),x∈D,如果存在非零常数T,使得 对任何x∈D,都有f(x十T)=f(x),则函数f(x)为周期 函数，T为y=f(x)的一个周期.(D为定义域内某个区 间) 【注意】(1)判定一个函数是否是周期函数主要通过 周期函数的定义， (2)若T是函数的一个周期，通常nT(n∈N")也是函 数的周期. (3)注意周期函数的定义域特征和图象特征，充分利 用函数值周期性出现来解决问题. [真题5](2020·四川)设定义在R上的函数f(x)满足 f(x)·f(x+2)=13.若f(1)=2,则f(99)等于 ( A.13 B.2 c号 2 D.3 [解析]本题解题思路是先依题意确定函数的周期，从而 得出f(99)、f(1)间的关系，得到答案.由f(x)·f(x十2)=13 13 得f(x+2)= 13 f(x+4)=f[x+2)+2]=fz+2 f(x),即函数f(x)是以4为周期的函数，而4×25一1=99，因 此f(9)=f(-1)=13=13 f?,选C [真题6](2022·全国)如图，质点P在半径为2的圆周 上逆时针运动，其初始位置为P。(2,一√2)，角速度为1，那么 点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为() d 3π B d D 【解析】本题可采用特殊值法验证P在P。点时，P点到x 轴的距离d=区，此时1=0，故排除A、D;由已知0=1，T=2r w =2π，当P点到达P1点时，此时P点正好在x轴上，所以d= 0,此时经过=2=不，故选C 8 4 ·2 题源3函数的单调性 解题模型 判断函数单调性的常用方法： (1)定义法：取值→作差→变形→定号→下结论 (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时， 为增函数，不同时为减函数」 (3)导数法：利用导数研究单调性 (4)图象法：利用图象研究函数的单调性。 【注意】(])在理解函数单调性的定义时，应注意： ①单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不 同的区间上可以有不同的单调性： ②单调性是函数在某，区间上的“整体”性质，因此定 义中的x1、x?具有任意性，不能用特殊值替代： ③由于定义都是充要性命题，因此由∫(x)是增（减） 函数且f(x1)<f(x)[f(x1)>f(x2)]台x1<x,说明单 调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系 可以“正逆互推” (2)熟练掌提增、减函数的定义，注意定义的如下两种 等价形式.设任意x1,x∈[a,b]且x1<x2,那么 Dx）-f(x0台fx)在[a,b]上是增函数： x1一x2 f(x)-f(x:<0台f(x)在[a,b]上是减函数. x1一x2 ②(x1-x:)[f(x1)-f(x:)]>0台f(x)在[a,b]上 是增函数；(x1一x2)[f(x1)-f(x2)]<0台f(x)在[a,b] 上是减函数. (3)若函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f'(x) >0,则f(x)为增函数：如果f'(x)<0,则f(x)为减函数. [真题7](2018·北京)已知f(x)= (3a-1)x+4a,x<1 log x≥1 是（一∞，十∞）上的减函数，那么a的取值范围是 1 A.(0,1) B.(0,3) c片 [解析]由f(x)是R上的减函数，又x≥1得log。x≤f (1)所以0<a<1,x<1有f(x)>f(1),即(3a-1)x+4a>0, 所以3a-1<0a<子，又由z=1时3a-1十4a≥0，所以a≥ 然上选C [真题8](2021·福建)下列函数∫(.x)中，满足“对任意 x1x2∈(0，十∞)，当x1<x:时，都有f(x1)>f(x2)”的是 ( 1 A.f(x)=- B.f(x)=(x-1) C.f(z)=e D.f(z)=In(z+1) [解析]本题考查的是函数的单调性及初等函数的一些性 质，属于容易题， 方法一：对于A,可知其是反比例函数，可知其在(0，十©∞) 上是减函数，故可知A正好符合题意；对于B,可知其是开口向 上的抛物线，在（一○，1]上是减函数，故不符合题意；对于C,可 知其为指数函数，且底数e>l,故其在(0，十∞)是增函数；对于 D,可知其是底数大于1的对数函数，其在（一1，十©∞）上递增.故 选A. 方法二：（验证法）取x1=1,x=2进行验证.代入选项A可 得：f(x1)=1,f(x:)=2,符合题意：代入选项B可得：f(x1) =0,f(x)=1,则有f(x1)f(x2),不符合题意；代入选项C 可得：f(x1)=e,f(x)=e,则有f(x1)<f(x:),不符合题意； 代入选项D可得：f(x1)=ln2,f(x:)=ln3,也有f(x1)<f (x2),不符合题意.综上，故选A. [真题9](2022·天津)设a=log4,b=(log:3),c= log:5,则 () A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c L解析]，函数y=log:x是增函数，.0<log:3<log4 <log5,故可排除B,又：0<log3<1,∴0<(1og3)2<log3, 综上，(log3)2<log4<log:5,即b<a<c.故应选D. 题源4抽象函数的基本性质 [真题10](2021·全国I)函数f(x)的定义域为R,若 f(x十1)与f(x一1)都是奇函数，则 () A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x十3)是奇函数 [解析]f(x+1)与f(x一1)都是奇函数，f(-x+1)= -f(x+1)①，f(-x-1)=-f(x-1)②，由①得f(x)= -f(-x+2)③，由②得f(x)=-f(-x-2)④，所以f(-x+2 =f(-x-2),即f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),T =4,f(x+4)=-f(-x+2),转化为f(x+3)=-f(-x+ 3),即∫(x十3)是奇函数，故选D.本题属于较难题，是一道小综 合题，考查抽象函数性质， [真题11](2021·陕西)定义在R上的偶函数f(x)满 足：对任意的x1,x2∈(-∞，0](x1≠x2),有(x2一x1)(f(x:) -f(x1)>0.则当n∈N"时，有 () A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n) [解析]本题主要考查抽象函数性质和应用，利用偶函数 的对称性和定义法确定单调性是求解的关键，由题知，∫(x)为偶 函数，故f(n)=f(一n),又知x∈（一∞，0]为增函数，∴.x∈(0， +∞)为减函数，n+1>n>n-1≥0，.f(n+1)<f(n)< f(n一1)，即f(n十1)<f(一n)f(n一1)，故选C. [真题12](2022·重庆)已知函数f(x)满足：f(1)=本， 4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2022)= [解析]解法一：”当x=1y=0时，f0)=2;当x=1, 1 y=1时，f(2)=-4当x=2y=1时，f(3)=-2:当x=2, ·2 y=2时，4)=-子：当x=3y=2时f(6)=子；当x=3 =3时f(6)=2:当x=4y=3时，f(7)=4:当x=4,y=4 时，f8)=-4… .f(x)是以6为周期的函数， 所以f(2022)=f(0+335×6)=f(0)=2: 解法二：f1)=4f(x)·0y)=fz+)+f y), .构造符合题意的函数∫(x)= 20s32, ∴.f(2022)= 2o(5×2010）-z 题源5 函数性质的综合运用 解题模型 (1)与函数性质有关的综合问题， (2)函数性质的开放、探索问题. [真题13](2022·广东)已知函数f(x)对任意实数x均 有f(x)=∫(x十2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0,2] 上有表达式f(x)=x(x-2). (1)求(-1)，f(2.5)的值： (2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式，并讨论函数f(x)在 [-3,3]上的单调性； (3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值，并求出相应 的自变量的取值. [解析](1)f(-1)=kf(1)=-k,:f(0.5)=kf(2.5), ÷2.5)=f0.5)=0.5-2)X0.5=- (2):对任意实数x,f(x)=f(x十2) fx-2)=f)1)=名fx-2》. 当-2≤x<0时，0≤x+2<2,f(x)=kf(x十2)=kx(x+ 2)； 当-3≤x<-2时，-1≤x+2<0,f(x)=kf(x+2)=k2 (x十2)(x十4)： 当2x3时，0x一21， 1 1 f(x)=方f(x-2)=右(x-2)(z-4). k(x+2)(x+4),-3≤x<-2; kx(x十2)，一2x<0: 故f(x) x(x-2),0≤x<2: k (x-2)(x-4),2≤x≤3. :k<0,∴.f(x)在[-3，-1]与[1,3]上为增函数，在[ 1,1]上为减函数； (3)由函数f(x)在[一3,3]上的单调性可知，f(x)在x=一 3或x=1处取得最小值f(-3)=一k2或f(1)=一1，而在x= -1或工=3处取得最大值f(-1)=一k或f(3)=一 1