1.2 函数及其表示 题源2 函数的表示法-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

§1.2函数及其表示 考纲·题型解读 1.了解映射的概念，理解函数的概念. 2.掌握函数的三种表示方法，理解对应法则的意义，能够利用函数的表示方法解决一些问题. 3.函数三种表示方法都是函数的表示形式，它们各有各自的特点：函数的解析式能够反映函数自变量与函数值间的相互依 赖关系，但自变量与函数值间的数量关系有时不太明显；列表法在数量上具有直观、明确的特点，但不能充分反映自变量与函数 值间的依赖关系；图象法能从图象上直观地反映自变量与函数值间的数量关系，但有时不能明显地反映函数的自变量与函数值 间的依赖关系，以上三种方法各有优缺点，在使用时应各取所长，充分发挥三种表示方法的作用. 五年高考母题题源揭秘 题源1 映射与函数的概念 此时尚线C都是一个函数的图象，：k0A=一 1_3 2,.tan 解题模型 ∠A0=,1=2 2 3其最大的角a为arC0 (1)映射的概念： 映射反映了两个集合中的元素之间的一种特殊的对 应关系，若已知映射f:A~B,那么A中的任何一个元素 在B中都有唯一的元素与它对应，反之不然理解映射的概 C(3,-2) 念可以从“对应”的角度去理解，能够构成映射的对应从形 式上看有两类：一类是从A到B“一对一”的，另一类是从 A到B“多对一”的.而从A到B“一对多”的对应法则不是 [真题2](2018·广东)对于任意的两个实数对(a,b)和 映射，如果利用直观图，可以很清楚地反映这三种对应之间 (c,d),规定：(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;运算“②”为： 的区别. (a,b)☒(c,d)=(ac-bd,bc+ad):运算“④"为：(a,b)④(c,d) (2)象与原象的概念： =(a+c,b十d).设p、g∈R,若(1,2)☒(p,q)=(5,0),则(1,2) 已知映射f:AB中，若a∈A,B中与a对应的元素 ①(p,g)= () 是b,则b叫做映射f之下a的象，a叫做映射f之下b的 A.(0,-4) B.(0,2) 一个原象A中任何一个元素一定有唯一的象，而B中元 C.(4,0) D.(2,0) 素可以没有原象，可以有原象，甚至可以有不止一个原象. (3)设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关 [解析]本题通过新定义的运算，以一一映射的观点考查 系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有 了方程思想，再解决此类开放题，由已知可得也一2q=5'解之得 唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集 12p+g=0, 合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A:其中x 2(1,2)0(p9)=(1+力，2+q)=(2,0),故应选D. 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义城，与x的 值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)lx∈ 题源2 函数的表示法 A}叫做函数的值域. ①函数是一种特殊的映射∫：A→B,是由一个非空数 集到另一个非空数集的子集。 解题模型 ②符号y=f(x)中的“∫”表示对应法则，在不同的函 (1)掌握函数的三种表示方法一列表法、解析法和 数中，“f”的含义不一样.例如f(x)=x2,则“”表示“平 图象法 方”；又如f(x)=2x十1，则此“f”表示“2倍加1”.即“f”表 (2)如果y=f(u),u=g（x),那么y=f[g(x)门叫做 示的就是一种对应关系。 f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数 (3)研究函数必须遵循“定义域优先”的原则 [真题1](2021·上海)将函数y=√4+6x-x-2(x∈ (4)图象法表示函数是函数变量间对应关系的直观体 [0,6])的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角0(0≤≤a),得到 现，是数形结合思想的重要表现，是研究函数性质的基础 曲线C,若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图象，则 利用函数解析式作出函数图象，利用图象求函数解析式或 a的最大值为 分析函数解析式的特点是重要的数学解题能力之一。 [解析]将函数变形为方程可得(x一3)2+(y+2)2=13, x∈[0,6]，y≥0，其图象如图所示，过点O作该圆的切线OA,将 [真题3](2021·安微)设a<b,函数y=(x一a)(x-b) 该函数的图象绕原，点逆时针旋转时，其最大的旋转角为∠AOy, 的图象可能是 ( ·7· [真题6](2022·天津)设函数f(x)= flog:0 若 log号(-x),x<0 f(a)>f(一a),则实数a的取值范围是 A.(-1,0)U(0,1) B.(-o∞，-1)U(1,+©∞) C.(-1,0)U(1,+) D.(-©0，-1)U(0.1) [解析]法一：f(x)的图象如右 图.若f(a)>f(-a),则a>1或一1 <a<0. 法二：若a>0,f(a)>f(-a)即 log:a>>log+a=log:a, [解析]由y=(x一a)(x一b)>0得x>b,且x≠a,因为 若a<0,f(a)>f(-a),即log5(-a)>log(-a) a<b,所以x>b,即当且仅当x>b时，y>0,故选C. [真题4](2019·北京)已知函数f(x),g(x)分别由下表 -1>-a,a<1. 给出 .-1<a<0,.选C 题源4抽象函数 f(x) 则fLg(1)]的值为 ;满足f[g(x)]>g[f(x)]的 解题模型 x的值是 所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析 [解析]由表格中的函数关系可得f[g(1)门=f(3)=1.函 数f[g(x)门与g[f(x)门对应的函数关系如下表所示： 式，只给出它的一些特征或性质，解决这类问题常涉及函数 的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和 1 2 技巧性等特点，抽象函数问题既是教学中的难，点，又是近年 f[g(z)] 3 来高考的热点，解决抽象函数的一般方法有： g[f(x)] 1 (1)赋值法、特殊值法是解决抽象函数问题的常用方 法，它能使问题变得具体、形象，但要注意这种方法不能解 由上表函数关系式可得，当且仅当x=2,f[g(x)]> g[f(x)]成立，.满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值为2. 决一般性抽象函数问题. [真题5](2022·安徽)设abc>0,二次函数f(x)=a.x (2)解决抽象函数问题的关键是通过条件分析函数所 +b.x+c的图象可能是 具备的性质，充分利用得出的性质解决问题 [真题7](2019·山东)给出下列三个等式：f(xy)=f (x)+f(y),f(z+y)=f(x)f(y),f(z+y)= f(z)+f(y) 1-f(x)f(y) 下列函数中不满足其中任何一个等式的是 A.f(x)=3 B.f(x)=sinz C.f(z)=logzz D.f(x)=tanz 0 [解析]本题考查指对运算、三角变换等知识，对于A,指数 运算满足f(x十y)=f(x)f(y);对于C,对数运算满足f(xy) [解析]本题由函数图象一一验证，D中a>0, >0可 2a =f(x)十f(y)；而正切函数满足，即满足tan(x十y)= 得b<0,又因为c<0,故满足abc>0.答案为D. anx十tam巴，即满足第三个式子，故选B. 1-tanz tany 题源3分段函数 [真题8](2022·陕西)下列四类函数中，具有性质对任意 的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)的是 解题模型 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系分别不同或 A.幂函数 用几个不同的式子来表示，这种表示形式的函数叫做分段函数， B.对数函数 【点拔】分段函数是一类重要函数，是高考命题的热 C.指数函数 点.解决与分段函数有关问题的基本思想是“分段归类”，即 D.余弦函数 自变量在哪一段取值就充分利用哪一段的函数解析式来 [解析]本题考查几类函数的运算性质，此式符合指数幂 分析解决问题. 运算性质ar+y=a·a',选C. 8