1.4 函数的基本性质 题源4 抽象函数的基本性质-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

方法一：对于A,可知其是反比例函数，可知其在(0，十©∞) 上是减函数，故可知A正好符合题意；对于B,可知其是开口向 上的抛物线，在（一○，1]上是减函数，故不符合题意；对于C,可 知其为指数函数，且底数e>l,故其在(0，十∞)是增函数；对于 D,可知其是底数大于1的对数函数，其在（一1，十©∞）上递增.故 选A. 方法二：（验证法）取x1=1,x=2进行验证.代入选项A可 得：f(x1)=1,f(x:)=2,符合题意：代入选项B可得：f(x1) =0,f(x)=1,则有f(x1)f(x2),不符合题意；代入选项C 可得：f(x1)=e,f(x)=e,则有f(x1)<f(x:),不符合题意； 代入选项D可得：f(x1)=ln2,f(x:)=ln3,也有f(x1)<f (x2),不符合题意.综上，故选A. [真题9](2022·天津)设a=log4,b=(log:3),c= log:5,则 () A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c L解析]，函数y=log:x是增函数，.0<log:3<log4 <log5,故可排除B,又：0<log3<1,∴0<(1og3)2<log3, 综上，(log3)2<log4<log:5,即b<a<c.故应选D. 题源4抽象函数的基本性质 [真题10](2021·全国I)函数f(x)的定义域为R,若 f(x十1)与f(x一1)都是奇函数，则 () A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x十3)是奇函数 [解析]f(x+1)与f(x一1)都是奇函数，f(-x+1)= -f(x+1)①，f(-x-1)=-f(x-1)②，由①得f(x)= -f(-x+2)③，由②得f(x)=-f(-x-2)④，所以f(-x+2 =f(-x-2),即f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),T =4,f(x+4)=-f(-x+2),转化为f(x+3)=-f(-x+ 3),即∫(x十3)是奇函数，故选D.本题属于较难题，是一道小综 合题，考查抽象函数性质， [真题11](2021·陕西)定义在R上的偶函数f(x)满 足：对任意的x1,x2∈(-∞，0](x1≠x2),有(x2一x1)(f(x:) -f(x1)>0.则当n∈N"时，有 () A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n) [解析]本题主要考查抽象函数性质和应用，利用偶函数 的对称性和定义法确定单调性是求解的关键，由题知，∫(x)为偶 函数，故f(n)=f(一n),又知x∈（一∞，0]为增函数，∴.x∈(0， +∞)为减函数，n+1>n>n-1≥0，.f(n+1)<f(n)< f(n一1)，即f(n十1)<f(一n)f(n一1)，故选C. [真题12](2022·重庆)已知函数f(x)满足：f(1)=本， 4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2022)= [解析]解法一：”当x=1y=0时，f0)=2;当x=1, 1 y=1时，f(2)=-4当x=2y=1时，f(3)=-2:当x=2, ·2 y=2时，4)=-子：当x=3y=2时f(6)=子；当x=3 =3时f(6)=2:当x=4y=3时，f(7)=4:当x=4,y=4 时，f8)=-4… .f(x)是以6为周期的函数， 所以f(2022)=f(0+335×6)=f(0)=2: 解法二：f1)=4f(x)·0y)=fz+)+f y), .构造符合题意的函数∫(x)= 20s32, ∴.f(2022)= 2o(5×2010）-z 题源5 函数性质的综合运用 解题模型 (1)与函数性质有关的综合问题， (2)函数性质的开放、探索问题. [真题13](2022·广东)已知函数f(x)对任意实数x均 有f(x)=∫(x十2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0,2] 上有表达式f(x)=x(x-2). (1)求(-1)，f(2.5)的值： (2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式，并讨论函数f(x)在 [-3,3]上的单调性； (3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值，并求出相应 的自变量的取值. [解析](1)f(-1)=kf(1)=-k,:f(0.5)=kf(2.5), ÷2.5)=f0.5)=0.5-2)X0.5=- (2):对任意实数x,f(x)=f(x十2) fx-2)=f)1)=名fx-2》. 当-2≤x<0时，0≤x+2<2,f(x)=kf(x十2)=kx(x+ 2)； 当-3≤x<-2时，-1≤x+2<0,f(x)=kf(x+2)=k2 (x十2)(x十4)： 当2x3时，0x一21， 1 1 f(x)=方f(x-2)=右(x-2)(z-4). k(x+2)(x+4),-3≤x<-2; kx(x十2)，一2x<0: 故f(x) x(x-2),0≤x<2: k (x-2)(x-4),2≤x≤3. :k<0,∴.f(x)在[-3，-1]与[1,3]上为增函数，在[ 1,1]上为减函数； (3)由函数f(x)在[一3,3]上的单调性可知，f(x)在x=一 3或x=1处取得最小值f(-3)=一k2或f(1)=一1，而在x= -1或工=3处取得最大值f(-1)=一k或f(3)=一 1