1.4 函数的基本性质 题源2 函数的周期性-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

§1.4函数的基本性质 考纲·题型解读 1.函数的性质是每年的必考内容，其中涉及函数性质的综合题为重中之重，常考常新，复习时应引起充分的重视。 2.函数的单调性是函数的一个重要性质，是每年必考的内容，例如判断或证明函数的单调性、求单调区间、利用单调性求参 数的取值范围、利用单调性解不等式.考题既有选择题与填空题，又有解答题，难度既有容易题、中等题，也有难题， 3.函数的奇偶性在高考中年年必考，主要考查函数奇偶性的判定以及周期性与单调性相结合的题目，在命题形式上，选择 题、填空题和解答题都有， 五年高考母题题源揭秘 [解析]本题考查函数中的识图问题，给出解析式后，应该 题源1 函数的奇偶性 利用函数性质作出判断.常用到函数的定义域、值战、单调性、奇 偶性、周期性、特殊值等性质，显然函数是偶函数，故排除B,D,又 解题模型 因为0<cosx<1,.ncosz<0,故选A (1)要正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好 [真整3】(2019·江苏)设f)=g(已十是奇国 两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x) 数，则使f(x)<0的x的取值范围是 (） 为奇函数或偶函数的必要不充分条件；(2)∫（一x)= A.(-1,0) B.(0,1) 一f(x)或f(一x)=f(x)是定义战上的恒等式. C.(-∞，0)》 (2)奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为 D.(-∞，0)U(1,+∞) 了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简， [解析] 或用定义的等价形式 由画教f)=l(吕十为寺高数，可得/0 =lg(2+a)=0,解之得2+a=1,a=-1,.f(x)= f(-x)=±f(x)台f(-x)±f(x)=0, f-x)=士/x9f=士10fx)≠0. (产-=告三由11<0可#兰<0，即0< 2 f(z) (3)如果f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|),反之 1十工<1，解之得-1<x<0,由此可得x的取值范固为(-1， 1-x 亦真 0),故应选A (4)判断函数的奇偶性，一般有三种方法：①定义法； [点评]本题通过对数复合函数与函数的奇偶性及函数不 ②图象法；③性质法. 等式的求解等知识点的交汇，考查了考生对函数的性质及不等 (5)利用函数的奇偶性和单调性解不等式. 式的解法的掌握，以及灵活选择解题策略，决定解题方向的解题 机智， [真题1](2022·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数. [真题4](2021·过宁)已知偶函数f(x)在区间[0，+∞) 当x≥0时，f(x)=2+2x十b(b为常数)，则f(-1)=( A.3 B.1 C.-1 D.-3 单调增加，则满足f(2x-1)<f(3)的x承值范围是( [解析]f(x)是R上的奇函数得f(0)=2°十b=0,.b= -1.∴.x≥0，f(x)=2+2x-1.f(-1)=-f(1)=-(2+2-1) -3,故选D. [解析]本题考查函数的奇偶性、单调性和抽象函数比较大小 [点评]忘记f(0)=0.若求x<0时f(x)表达式，易出错. [真题2](2020·山东)函数y=Incosc <<)的图 问题由道意需满足2r-1<,解得了<x<号，就选择A 象是 题源2函数的周期性 ·19· 解题模型 题源3函数的单调性 设函数y=f(x),x∈D,如果存在非零常数T,使得 对任何x∈D,都有f(x十T)=f(x),则函数f(x)为周期 解题模型 函数，T为y=f(x)的一个周期.(D为定义域内某个区 间) 判断函数单调性的常用方法： 【注意】(1)判定一个函数是否是周期函数主要通过 (1)定义法：取值→作差→变形→定号→下结论 周期函数的定义， (2)若T是函数的一个周期，通常nT(n∈N")也是函 (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时， 数的周期. 为增函数，不同时为减函数 (3)导数法：利用导数研究单调性 (3)注意周期函数的定义域特征和图象特征，充分利 (4)图象法：利用图象研究函数的单调性。 用函数值周期性出现来解决问题， 【注意】(I)在理解函数单调性的定义时，应注意： ①单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不 [真题5](2020·四川)设定义在R上的函数f(x)满足 同的区间上可以有不同的单调性： f(x)·f(x十2)=13.若f(1)=2,则f(99)等于 ( ②单调性是函数在某，区间上的“整体”性质，因此定 A.13 B.2 义中的x1、x:具有任意性，不能用特殊值替代： c号 n ③由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增（减） 函数且f(x1)<f(x2)[f(x1)>f(x2)]曰x1<x2,说明单 [解析]本题解题思路是先依题意确定函数的周期，从而 调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系 得出f(99)、f(1)间的关系，得到答案.由f(x)·f(x十2)=13 可以“正逆互推” 13 13 得fx+2)=fa)f(x+4)=f[(x+2)+2]=fz+2 (2)熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种 等价形式.设任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2,那么 f(x),即函数f(x)是以4为周期的函数，而4×25-1=99，因 1313 Dfx)-fx>0=f(x)在[a,b]上是增西数； 此f(99)=f(-1)= fI)2,选C. x1一x2 [真题6](2022·全国)如图，质点P在半径为2的圆周 f(x)-f(<0台f(x)在[a,b]上是减函数. x1一x2 上逆时针运动，其初始位置为P。(√2，一√2)，角速度为1，那么 ②(x1-x:)[f(x1)-f(x)]>0台f(x)在[a,b]上 点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为 () 是增函数；(x1-x2)[f(x1）-f(x2)]<0台f(x)在[a,b] 上是减函数 (3)若函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f'(x) >0,则f(x)为增函数：如果f'(x)<0,则f(x)为减函数. [真题7](2018·北京)已知f(x)= (3a-1)x+4a,x<1 log, x≥11 是（一∞，十∞）上的减函数，那么a的取值范围是 A.(0,1) B.. c哈 Dtz.D [解析]由f(x)是R上的减函数，又x≥1得logx≤f (1)所以0<a<1,x1有f(x)>f(1),即(3a-1)x+4a>0, 所以3a-1<0a<号，又由z=1时3a-1十4a≥0，所以u≥ 【解析】本题可采用特殊值法验证P在P。点时，P点到x 7,综上选C 轴的距离d=反，此时1=0，故排除A,D:由已知u=1,T=2西 [真题8](2021·福建)下列函数∫(x)中，满足“对任意 =2π，当P点到达P1点时，此时P点正好在x轴上，所以d= x1x2∈(0，十o∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是 ( 0,光时经政1=否-子故选C 8 A,f(x)=1 B.f(.x)=(x-1)2 C.f(x)=e D.f(z)=In(z+1) [解析]本题考查的是函数的单调性及初等函数的一些性 质，属于容易题 ·20·