1.3 函数的值域和最值 题源1 求函数值域与最值的常用方法-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

§1.3函数的值域和最值 考纲·题型解读 1.函数的值域和最值问题是每年高考必考内容.一般情况下，不会对值域和最值单独命题，通常是结合其他知识综合在一 起考查，特别是实际应用问题，都涉及最值问题，再就是求变量的取值范围主要是考查值域和最值的基本方法，有时也会单独命 制这方面的小题， 2,在解题中，关键是要熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求值域的问题，应首先考虑有哪几种基本方法，一般方法是什 么？特殊方法是什么？在多种方法中选出最优方法，求函数值域没有通用方法和固定模式，要靠自已积累经验，掌握规律，函数 的值域问题常常化归为求函数的最值问题，要注意利用基本不等式、二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的作用.求函 数值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用， 五年高考母题题源揭秘 题源1求函数值域与最值的常用方法 (7)判别式法： 把函数转化成关于x的二次方程F(xy)=0,通过方程有 解题模型 实根，判别式△≥0，从而求得原函数的值域，形如y (1)观察法： a+bz十(a1:不同时为0)的函数的值城常用此法 有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域 azx2+bax+c2 及不等式的性质直接观察出函数的值域，如函数y= 求得 (8)单调性法： 2的维为0≤} 1 通过确定函数在定义城内（或某个定义城的子集上） (2)反函数法： 的单调性求出函数值域的方法为单调性法. 用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求 (9)数形结合法 反函数的定义城而得到原函数的值城如求y= x+d(a 利用函数所表示的几何意义，借助几何方法或图象来 ax+b 求函数的值城. ≠0)的函数值域可用此法」 【注意】求函数值域没有通用的方法和固定的模式， (3)换元法： 要靠在学习过程中不断积累，掌握规律，所以要记住各种 运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确 基本函数的值域：要记住什么结构特点的函数用什么样的 定的另一函数，从而求得原函数的值城.形如：y=ax十b士 方法求值域，即熟悉求函数值域的几种常用方法，但在解 √cx十d(a、b、c、d均为常数，且ac≠0)的函数常用此法 决求值域问题时要注意选择最优解法， 求值域。 x (4)配方法： [真题1】(2019·浙江)函数y=x+x∈R)的值域 二次函数可转化为形如F(x)=af(x)十bf(x）十c 类的函数求值城问题，均可用配方法，而后面的函数要注 意f(x)的范围. [解析] y==六由 y≥0→0≤y (5)不等式法： <1 利用基本不等式：a十b≥2√ab,a+b+c≥39abc. [真题2](2022·山东)函数f(x)=log(3+1)的值域为 用此法求函数值域时，要注意条件“一正二定三相等”如利 用a十b≥2√ab求某些函数值域（或最值）时，应满足三个 A.(0,+∞) B.[0,+o∞) 条件：(1)a>0,b>0:(2)a+b(或ab)为定值；(3)取等号条 C.(1,+o∞) D.[1,+∞) 件a=b.三个条件缺一不可. [解析]3+1>1，∴.log(3+1)>0,选A. (6)导数法： [真题3](2019·浙江)设f(x)= a2,x|≥1 设y=f(x)的导数为f'(x),由f'(x)=0可求得极 ,x<1g(x)是 值点坐标，若函数定义战为[a,b],则最值必定为极值，点和 二次函数.若f(g(x)的值域是[0，十o∞)，则g(x)的值域是 区间端，点中函数值的最大值和最小值】 ( A.(-o∞，-1]U[1,+∞) B.(-o∞，-1]U[0,+∞) C.[0,+∞) 14 D.[1,+o∞) 题源2 有关最值的综合题 [解析]令t=g(x),f(g(x)=f(t) t≥1 1,注意到g(红)为二次函数， 解题模型 g(x)的值域是连续的单个区间，结合图象可 (1)与解析几何有关的最值问题，例如，求面积的最 知要使f(t)的值域为[0，十o∞)，只能取t∈ 值；(2)与函数、不等式、导数的综合运用. [0,十o),故选C. [真题4打（2020·江西)若函数y=f()的值线是[子， [真题6](2020·浙江)已知a是实数，函数f(x)=√ (x-a) 3],则函数F(x)=f(x)+ 1 r)的值域是 (1)求函数f(x)的单调区间： (2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值. A B[2, (i)写出g(a)的表达式； (i)求a的取值范围，使得-6≤g(a)≤-2. c D.Ca. [解析](1)函数f(x)的定义域为[0，十∞)，f'(x)=√元 [解析]令f(x)=u,则F(x)=u十 +-3r二(x>0),若a≤0，则f'(x)>0,f(x)有单调递 2√E2√E x)=1- 当u∈时F(0,画数F)为： 增区间[0，十∞)： 当u∈(1,3]时，F'(x)>0,函数F(x)为增函数，当u=1时， 若a>0,令fu)=0得x=号， F)a=2:当=号时，F(）号 当0<r<号时(e)<0, 当u=3时，F(3)= >r() F(x)的值域为 当x>时，f'(x)>0, 3 2,]应选B f(x)有单词递减区间[0，弩]，单调递增区间（号，十©）。 [真题5(Qa020·上海)已知双自线C:号y=1,P是C (2)(1)若a≤0，f(x)在[0,2]上单调递增，所以g(a)= f(0)=0: 上的任意点. (I)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是 若0<a<6f)在[0，号]上单调递减，在（学，2]上单调 一个常数： (Ⅱ)设点A的坐标为(3,0)，求PA|的最小值. 3 [解析](I)设P(x1,y1)是双曲线上任意一点，该双曲线 若a≥6，f(x)在[0,2]上单调递减，所以g(a)=f(2)=√2(2-a). 的两条渐近线方程分别是x一2y=0和x十2y=0. f0,a0, 点P(1y)到两条渐近线的距离分别是工一2和 综上所述，g(a)= 2a a √5 ,0<a6, 3W3 +2,它们的乘积是21-2·工+2 2(2-a),a≥6. 5 5 5 (i)令-6g(a)一2， Ixi-4y4 若a≤0，无解； 5 若0<a<6,解得3≤a<6; ∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个 若a≥6，解得6≤a≤2+3√2. 常数. (Ⅱ)设P的坐标为(xy),则 综上可知，a的取值范围为3≤a≤2十3√2」 |PA12=(x-3)+y2 [评析]本题主要考查函数性质、利用导数研究函数的单 =(-3)+-1 调性、解不等式等基础知识，同时考查了分类讨论思想以及综合 4 运用所学知识分析问题和解决问题的能力，用导数来研究含参 =)+ 数的单调性、极值、最值时，解方程∫'(x)=0后，对此方程的根 的讨论是分类讨论的依据. ≥2当=号时，PA的最小孩为行字1PA 25 的最小值为 ·15·