2.3二次函数与一元二次方程、不等式（分层作业·练知识）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，分层设计清晰，覆盖9个知识点，从基础巩固到高考衔接，梯度合理，培养数学推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|单一知识点（如一元二次不等式解法、分式不等式）|基础选择填空，夯实概念与运算| |B组能力进阶|综合应用（含参不等式、根的分布）|解答题与多选题，提升推理能力| |C组思维拔高|复杂情境（整数解问题、实际应用）|情境应用题，培养数学眼光| |拓展链接高考|高考真题对接|高考题型，强化应用意识|

分层作业 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 参考答案 ( 知识点0 1 )一元二次不等式 1．B；2．D；3．C；4．D ( 知识点0 2 )分式不等式、绝对值不等式 1．C；2．B；3．A；4．B ( 知识点0 3 )一元二次不等式的解集求参 1．B；2．A；3．BC；4．ACD ( 知识点0 4 )求含参一元二次不等式的解 1．【答案】（1）由题意知，和是方程的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为，. 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 2．【答案】（1）由题可知，，解得． （2）由题得，， 当，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 综上所述，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为． 3．【答案】（1）， 当时，恒成立； 当时，由，得或； 当时，由，得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. （2），，得， 又，， ， 当且仅当，即，时，等号成立. 的最小值为. 4．【答案】（1）因为不等式的解集为或， 可知与是方程的两个实数根，且， 则，解得：，， 令，解得或， 所以函数的零点为1和2. （2）由（1）知不等式即为，即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． ( 知识点0 5 )一元二次方程根的分布 1．B；2．B；3．C；4．ABD；5． ( 知识点0 6 )一元二次不等式中恒成立问题 1．；2． 3．【答案】（1）当时，，当时，，解得， 所以的解集为. （2）由题意，只有1个根， 若，，解得，只有1个解，满足要求， 若，，解得， 综上，或1. （3），即的解集为， 当时，，解得，不符合要求， 当时，需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 4．【答案】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （3）由对一切实数恒成立， 即对恒成立， 当时，，所以， ∵，∴， 当且仅当时，即时等号成立，∴． ( 知识点0 7 )一元二次不等式中能成立问题 1．D；2．C；3．C；4． 5．【答案】（1）若，不等式，即，解得， 所以不等式解集为. （2）对任意恒成立，即对任意恒成立， ①当，则对任意恒成立，即满足题意； ②当时，函数的图像抛物线开口向上， 对任意不恒成立，所以不满足题意； ③当，函数的图像抛物线开口向下， 要使得对任意恒成立，即，解得. 综上由①②③可得的取值范围为. （3）不等式，即，因为， 故存在使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. ( 知识点0 8 )一元二次不等式中整数解个数问题 1．D；2．D；3．A；4．ACD ( 知识点09 )一元二次不等式在几何和实际中的应用 1．ABC；2．24；3． 4．【答案】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 一、单选题 1．B；2．C；3．C；4．A；5．D；6．A 二、多选题 7．AD；8．AD 三、填空题 9． 10． 四、解答题 11．【答案】（1）设每个区域的长与宽分别为米和米，由题意可得，， 则彩带总长，当且仅当，即，时，彩带的总长最小. 所以每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为. （2）①由题意，（）； ②因为，即， 所以，解得或，又因为，所以， 所以的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半. 12．【答案】（1）当时，， 则，解得：或， 即不等式的解集为：； （2）因为二次函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以 当，即时，在上单调递减， 所以. 综上可得：； 1．D 2．ACD 3． 4．【答案】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 5．【答案】（1）当时，， 的图象的对称轴为，故在上单调递减， 当时，；当时，， 故在上的值域为； （2）当时，，由得：； 当时，， 当时，，由得：； 当时，即，由得：或； 当时，即，，由得：解得； 当时，即，由得：或； 综上：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； （3）由得， 即，由于 得： 即，因，故， 故， 令，现求在上的最小值，即， 设，则，代入得： 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号）. 此时对应，不等式可取等号， 故， 故，即的取值范围为. 6．【答案】（1）不等式的解集为 即的解集为， 可知方程的两个根为，且， 由根与系数的关系可得，解得， 则； （2）由，即， 得， 当时，解得，不等式的解集为； 当时，解得； 当时，解得，不等式的解集为. 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为空集； 当时，不等式的解集为. （3）不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令， 若时，即或， 当时，满足， 当时，不成立，不满足， 若，需满足，解得，且， 综上可知：实数的取值范围为. 1．C；2．C；3．C；4．A；5．C；6．A；7．C；8．A；9．C； 10．；；11．；12． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 目 录 A组 巩固过关 知识点01 一元二次不等式 知识点02 分式不等式、绝对值不等式 知识点03 一元二次不等式解集求参 知识点04 求含参一元二次不等式的解 知识点05 一元二次方程根的分布 知识点06 一元二次不等式中恒成立问题 知识点07 一元二次不等式中能成立问题 知识点08 一元二次不等式中整数解个数问题 知识点09 一元二次不等式在几何和实际中的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )一元二次不等式 1．（25-26高二下·江苏徐州·期末）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·二模）使得式子有意义的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则关于的不等式的解集为（ ） A． B．或 C．或 D． ( 知识点0 2 )分式不等式、绝对值不等式 1．（25-26高一下·四川南充·期中）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·上海·三模），是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·重庆·一模）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·山东威海·期中）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ( 知识点0 3 )一元二次不等式的解集求参 1．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知，关于x的不等式的解集为，则（ ） A．3 B．2 C． D． 2．（25-26高一上·山东淄博·期末）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为.则（ ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 ( 知识点0 4 )求含参一元二次不等式的解 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式的解集为. (1)求的值； (2)解不等式. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知． (1)若的解集为，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 3．（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知函数，. (1)讨论关于的不等式的解集； (2)当，时，有，求的最小值. 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． ( 知识点0 5 )一元二次方程根的分布 1．（25-26高一上·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．或 B． C． D．或 3．（23-24高一下·云南昭通·阶段检测）若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·重庆·期末）（多选）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（ ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 5．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）方程有两个正实根，则实数的取值范围为__________． ( 知识点0 6 )一元二次不等式中恒成立问题 1．（25-26高一下·上海宝山·期末）若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是____________． 2．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 3．（25-26高一上·上海松江·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 4．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； ( 知识点0 7 )一元二次不等式中能成立问题 1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北保定·期中）若存在，，则实数的最大值为___________． 5．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数 (1)若，求的解集； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. ( 知识点0 8 )一元二次不等式中整数解个数问题 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有4个，则（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东德州·期末）（多选）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（ ） A． B．3 C． D． ( 知识点09 )一元二次不等式在几何和实际中的应用 1．（25-26高一上·四川·阶段检测）社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 2．（25-26高一上·上海·期中）甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 3．（25-26高一上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，那么要使矩形花坛的面积大于27，则的取值范围为____________． 4．（25-26高一上·北京顺义·期末）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 一、单选题 1．（25-26高一上·河南周口·期末）不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C． D． 2．（25-26高一下·浙江·开学考试）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河南开封·开学考试）若不等式的解集为，则（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 8．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（ ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 三、填空题 9．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 10．（24-25高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是____________. 四、解答题 11．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 12．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； 1．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 3．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）若不等式对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 5．（25-26高一上·天津·阶段检测）设函数 (1)当时，求在上的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 6．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)若，解关于的不等式； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．（2006·福建·高考真题）全集，且，，则（ ）. A． B． C． D． 3．（2013·陕西·高考真题）在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于的内接矩形花园(阴影部分),则其边长(单位m)的取值范围是（ ） A．[15,20] B．[12,25] C．[10,30] D．[20,30] 4．（2006·江西·高考真题）当时，不等式的解是（ ） A．或 B． C．或 D．或 5．（2005·辽宁·高考真题）若在上定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ） A． B． C． D． 6．（2013·重庆·高考真题）关于x的不等式的解集为，且：，则（ ） A． B． C． D． 7．（2009·天津·高考真题）已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则（ ） A． B． C． D． 8．（2009·重庆·高考真题）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．（2006·江西·高考真题）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ） A．0 B． C． D． 10．（2005·北京·高考真题）若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是____________；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________． 11．（2014·江苏·高考真题）已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为________________. 12．（2012·福建·高考真题）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 目 录 A组 巩固过关 知识点01 一元二次不等式 知识点02 分式不等式、绝对值不等式 知识点03 一元二次不等式解集求参 知识点04 求含参一元二次不等式的解 知识点05 一元二次方程根的分布 知识点06 一元二次不等式中恒成立问题 知识点07 一元二次不等式中能成立问题 知识点08 一元二次不等式中整数解个数问题 知识点09 一元二次不等式在几何和实际中的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )一元二次不等式 1．（25-26高二下·江苏徐州·期末）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原不等式等价于. 解得或， 即原不等式的解集为. 2．（25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，所以不等式的解集为 3．（2026·陕西咸阳·二模）使得式子有意义的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，即，然后求解这个不等式即可得到的取值范围. 【详解】，即，解得. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则关于的不等式的解集为（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，解得． ( 知识点0 2 )分式不等式、绝对值不等式 1．（25-26高一下·四川南充·期中）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】将不等式移项得，通分得，即， 等价于，解得，故C正确. 2．（2026·上海·三模），是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】， ， 显然当成立时，不一定成立，例如， 当成立时，显然一定成立， 所以，是的必要不充分条件. 3．（2026·重庆·一模）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解 【详解】因为，所以，解得， 由， 因为是的真子集， 所以是成立的充分不必要条件. 4．（25-26高一上·山东威海·期中）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． ( 知识点0 3 )一元二次不等式的解集求参 1．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知，关于x的不等式的解集为，则（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】把一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，再利用韦达定理构造方程求出，进而求解． 【详解】已知关于x的不等式的解集为，则或是方程的两个根， 由韦达定理得，解得， ，故B正确． 故选：B． 2．（25-26高一上·山东淄博·期末）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系得，，进而转化为解不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是 所以，方程的两个实数根 所以，，即， 所以， 因为， 所以，分解因式，解得 所以不等式的解集为 故选：A 3．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为.则（ ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】A选项，转化为为一元二次方程的两个根，且，由韦达定理得到答案；B选项，根据得到B不正确；C选项，在A基础上不等式变形为，解出解集；D选项，不等式变形为，求出解集. 【详解】A选项，由题意得为一元二次方程的两个根，且， 故，即，A正确； B选项，，B不正确； C选项，由A选项可知，，解得，C正确； D选项，， 又，故，解得或，D正确. 故选：ACD ( 知识点0 4 )求含参一元二次不等式的解 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式的解集为. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知，和是方程的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为，. 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知． (1)若的解集为，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与判别式的关系即可求解； （2）根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）由题可知，，解得． （2）由题得，， 当，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 综上所述，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为． 3．（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知函数，. (1)讨论关于的不等式的解集； (2)当，时，有，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）含参一元二次不等式，首先分解因式，然后讨论根的大小； （2）化简已知方程可得，然后常数代换，转化为均值不等式求解. 【详解】（1）， 当时，恒成立； 当时，由，得或； 当时，由，得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. （2），，得， 又，， ， 当且仅当，即，时，等号成立. 的最小值为. 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)1和2 (2)答案见详解 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理可得，令求解即可； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 可知与是方程的两个实数根，且， 则，解得：，， 令，解得或， 所以函数的零点为1和2. （2）由（1）知不等式即为，即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． ( 知识点0 5 )一元二次方程根的分布 1．（25-26高一上·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到不等式，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有实根， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：B 2．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即，解得. 故选：B. 3．（23-24高一下·云南昭通·阶段检测）若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由韦达定理求出两根之和与两根之积，根据判别式大于零，结合列不等式组求解即可. 【详解】因为关于的方程的两个不相等实数根满足， 所以，由根与系数的关系得：， 结合题意得： 即， 解得或， 即实数的取值范围是， 故选：C. 4．（25-26高一上·重庆·期末）（多选）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（ ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 5．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）方程有两个正实根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】若一元二次方程有两个正实根，则需满足，直接列不等式求解即可. 【详解】因为方程有两个正实根， 所以，解得； 实数的取值范围为. 故答案为：. ( 知识点0 6 )一元二次不等式中恒成立问题 1．（25-26高一下·上海宝山·期末）若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 2．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有， 解得. 即实数a的取值范围为. 3．（25-26高一上·上海松江·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或1 (3) 【分析】（1）解一元一次不等式可得结果； （2）分和，结合根的判别式得到不等式，即可得到的值； （3）分和，结合二次函数的图象性质得到不等式，即可得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，当时，，解得， 所以的解集为. （2）由题意，只有1个根， 若，，解得，只有1个解，满足要求， 若，，解得， 综上，或1. （3），即的解集为， 当时，，解得，不符合要求， 当时，需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 4．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）代入得到二次函数，解一元二次不等式（分析开口方向、判别式）； （2）整理不等式为，分、、讨论（结合因式分解、根的大小比较）； （3）分离参数，再通过化简，利用基本不等式求取值范围. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （3）由对一切实数恒成立， 即对恒成立， 当时，，所以， ∵，∴， 当且仅当时，即时等号成立，∴． ( 知识点0 7 )一元二次不等式中能成立问题 1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 2．（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 3．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化成“小于或等于的最大值”，再利用配方法求最大值即可. 【详解】因为， 所以， 要存在，使得不等式成立，则小于或等于的最大值， 因为，当时，取“”， 所以， 故选：C. 4．（25-26高一上·河北保定·期中）若存在，，则实数的最大值为___________． 【答案】 【分析】分离参数，根据存在得到，再利用换元法求出的最大值即可. 【详解】原不等式化为 存在 只需， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， ，则实数的最大值为 5．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数 (1)若，求的解集； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入函数解析式，解不等式即可； （2）分类讨论解决不等式恒成立问题； （3）问题等价于存在使得成立，求在时的最大值即可得实数的取值范围. 【详解】（1）若，不等式，即，解得， 所以不等式解集为. （2）对任意恒成立，即对任意恒成立， ①当，则对任意恒成立，即满足题意； ②当时，函数的图像抛物线开口向上， 对任意不恒成立，所以不满足题意； ③当，函数的图像抛物线开口向下， 要使得对任意恒成立，即，解得. 综上由①②③可得的取值范围为. （3）不等式，即，因为， 故存在使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. ( 知识点0 8 )一元二次不等式中整数解个数问题 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对实数的取值进行分类讨论，再由解集中不含有整数列出不等式可得结果. 【详解】不等式可分解为， 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 当，不等式为，此时解集为空集，符合题意； 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D 2．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据一元二次方程两根的大小关系，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可. 【详解】， 当时，原不等式的解集为空集，不符合题意； 当时，原不等式的解集为， 因为原不等式恰有两个整数解， 所以这两个正整数一定为，因此； 当时，原不等式的解集为， 因为原不等式恰有两个整数解， 所以这两个正整数一定为，因此， 综上所述：实数的取值范围为或， 故选：D 3．（25-26高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有4个，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变形为，进而可得，解该不等式可得，继而可得整数解为，根据即可求解. 【详解】由，得，由于该不等式的解集中的整数恰有个，有， 由不等式可得， 又由于，故，解得， 由于，且时，满足不等式， 故该不等式的4个整数解为， 因此，得且， 结合，因此且，解得， 故选：A. 4．（25-26高一上·山东德州·期末）（多选）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. ( 知识点0 9 )一元二次不等式在几何和实际中的应用 1．（25-26高一上·四川·阶段检测）社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】ABC 【分析】设矩形的另一边长为，由三角形相似得出的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式即可求解. 【详解】设矩形的另一边长为，如图： 由与相似得且， 所以，又矩形的面积， 所以即，解得， 故边长可以取10，20，30，即ABC符合题意，D不符合题意. 故选：ABC 2．（25-26高一上·上海·期中）甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 【答案】24 【分析】设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费，根据题意列不等式组，可得，运算求解即可. 【详解】设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费， 则，即， 可得，即， 设，则，可得， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可得，此时，符合题意， 所以甲公司应投入24万元宣传费. 故答案为：24. 3．（25-26高一上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，那么要使矩形花坛的面积大于27，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】根据三角形相似，求出线段之间的关系，列出不等式求出参数范围. 【详解】设，根据矩形的性质，易知，可得, 代入可得，解得， 则矩形花坛的面积为， 令，则，解得或， 综上，或. 故答案为：. 4．（25-26高一上·北京顺义·期末）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】(1)万元； (2)台； (3)台. 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【详解】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 一、单选题 1．（25-26高一上·河南周口·期末）不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 所以不等式的解集为或 2．（25-26高一下·浙江·开学考试）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为且，求解即可 【详解】等价于，解得 所以不等式的解集是 3．（25-26高一下·河南开封·开学考试）若不等式的解集为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得是方程的两个根， 则，解得，则. 4．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组，求得的值，得出不等式，即可求解. 【详解】因为乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为， 且乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值， 可得，解得，所以不等式为， 又由，解得， 即不等式的解集为 5．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 6．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法以及韦达定理，可得参数的值，利用分式不等式的解法，可得答案. 【详解】由不等式的解集为， 则方程的解为或，且， 可得，， 由不等式等价于，即， 则，可得，解得或. 故选：A. 二、多选题 7．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【分析】根据已知有是方程的两个根，且，利用根与系数关系得，进而依次判断各项的正误. 【详解】由题设是方程的两个根，且，A对， 所以，可得，则，C错， 由，B错， 由，可得或，D对. 故选：AD 8．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（ ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据图象得出参数，进而计算判断A，B，C选项，再代入化简计算一元二次不等式判断D. 【详解】函数的零点为和1，则， 又因为图象开口向下，所以， 对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项错误； 对于D：关于的不等式的解集为，D选项正确； 故选：AD 三、填空题 9．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 10．（24-25高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则，此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题 11．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 【答案】(1)和时，彩带的总长最小值为 (2)①；② 【分析】（1）先根据题意列出等式，然后根据基本不等式的性质求出彩带的总长的最小值. （2）①根据矩形面积公式列出函数解析式即可；②根据题意要求列出不等式，然后求解集即可. 【详解】（1）设每个区域的长与宽分别为米和米，由题意可得，， 则彩带总长，当且仅当，即，时，彩带的总长最小. 所以每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为. （2）①由题意，（）； ②因为，即， 所以，解得或，又因为，所以， 所以的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半. 12．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式即可； （2）利用对称轴分为三类区间来讨论二次函数的单调性，然后求出最小值； 【详解】（1）当时，， 则，解得：或， 即不等式的解集为：； （2）因为二次函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以 当，即时，在上单调递减， 所以. 综上可得：； 1．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）若不等式对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【分析】分二次项系数和两种情况讨论，当时结合一元二次不等式恒成立的条件求解参数范围. 【详解】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. 4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 5．（25-26高一上·天津·阶段检测）设函数 (1)当时，求在上的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； (3). 【分析】（1）代入得到二次函数解析式，由对称轴求出单调区间，从而求出值域； （2）对分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法要求，得出对应解集； （3）由不等式化简后整理得到，求出的最小值即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 的图象的对称轴为，故在上单调递减， 当时，；当时，， 故在上的值域为； （2）当时，，由得：； 当时，， 当时，，由得：； 当时，即，由得：或； 当时，即，，由得：解得； 当时，即，由得：或； 综上：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； （3）由得， 即，由于 得： 即，因，故， 故， 令，现求在上的最小值，即， 设，则，代入得： 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号）. 此时对应，不等式可取等号， 故， 故，即的取值范围为. 6．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)若，解关于的不等式； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由三个二次的关系以及韦达定理求解即可； （2）通过，，讨论求解即可； （3）令，由求解即可. 【详解】（1）不等式的解集为 即的解集为， 可知方程的两个根为，且， 由根与系数的关系可得，解得， 则； （2）由，即， 得， 当时，解得，不等式的解集为； 当时，解得； 当时，解得，不等式的解集为. 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为空集； 当时，不等式的解集为. （3）不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令， 若时，即或， 当时，满足， 当时，不成立，不满足， 若，需满足，解得，且， 综上可知：实数的取值范围为. 1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 2．（2006·福建·高考真题）全集，且，，则（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先解绝对值不等式、一元二次不等式，再求集合A、B的交集. 【详解】由，得或， ∴. 由，得，即， ∴. 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的运算，绝对值不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题. 3．（2013·陕西·高考真题）在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于的内接矩形花园(阴影部分),则其边长(单位m)的取值范围是（ ） A．[15,20] B．[12,25] C．[10,30] D．[20,30] 【答案】C 【详解】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则，所以，又，所以，即，解得. 【考点定位】本题考查平面几何知识和一元二次不等式的解法，对考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求.属于中档题. 4．（2006·江西·高考真题）当时，不等式的解是（ ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由，或， 由，或， 所以不等式的解是或， 故选：A 5．（2005·辽宁·高考真题）若在上定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定义运算得到二次不等式恒成立问题，利用判别式来解答即可. 【详解】由已知得， 则对任意实数恒成立 整理得对任意实数恒成立， ， 解得. 故选：C. 6．（2013·重庆·高考真题）关于x的不等式的解集为，且：，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，又， 所以， 解得，因为，所以. 故选：A. 7．（2009·天津·高考真题）已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，整理可得（1－）－2bx+>0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－<0，此时>1，而0<b<1+a，故a>1， 由不等式<0解得 即要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<<－2，由<－2得－b<－2（a－1），则有a<+1，即a<+1<+1，解得a<3，由－3<得3a－3>b>0，解得a>1，则1<a<3． 8．（2009·重庆·高考真题）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对任意x恒成立， 所以． 9．（2006·江西·高考真题）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】采用分离参数将问题转化为“对一切恒成立”，再利用基本不等式求解出的最小值，由此求解出的取值范围. 【详解】因为不等式对于一切恒成立， 所以对一切恒成立， 所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以，所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法. 10．（2005·北京·高考真题）若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是____________；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据不等式与方程的关系，分别计算和，解不等式得到答案. 【详解】不等式的解集为，则，解得； 不等式的解集不是空集，即， 故，解得或. 故答案为：； 11．（2014·江苏·高考真题）已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为________________. 【答案】 【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线， 所以要使对于任意的都有成立， ，解得， 所以实数的取值范围为． 【考点】二次函数的性质． 12．（2012·福建·高考真题）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【详解】因为不等式在R上恒成立． ∴△=，解得， 故答案为（0，8） 考点：一元二次不等式的应用，以及恒成立问题 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $