2027届高考数学一轮复习讲义----16.2_双曲线

该高中数学讲义聚焦双曲线高考核心考点，涵盖定义、标准方程、几何性质、焦点三角形及焦半径公式，按“定义-方程-性质-应用”逻辑架构梳理知识联系。通过知识梳理、典型例题分类讲解、真题训练等环节，帮助学生突破定义理解、方程推导、性质应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义采用分层例题设计与核心素养导向教学，如在焦点三角形面积计算中结合余弦定理推导公式，培养学生数学思维与推理能力。通过“知识梳理+方法总结+真题演练”模式，设置基础到综合的例题梯度，帮助学生快速构建解题模型，提升数学语言表达与应用意识，为教师把控复习节奏、学生高效备考提供有力支撑。

解析几何 16.2 双曲线 学习目标 ● 理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程的推导和应用 ● 掌握双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率 ● 熟练运用焦点三角形和焦半径公式解决相关问题 ● 能综合运用双曲线的定义与性质解决高考常见题型 知识点一 双曲线的定义与标准方程 1. 知识梳理 （一）双曲线的定义 平面内到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 2a（）的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点 、 叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离 叫做焦距。 定义的数学表达：设 P 为双曲线上任意一点，则 ，其中 。 若 ，轨迹为以 、 为端点的两条射线；若 ，轨迹不存在。 （二）双曲线的标准方程 以两焦点所在直线为坐标轴，两焦点中点为原点建立直角坐标系。设 ，，由定义化简得： 其中 ，b > 0。注意与椭圆不同，双曲线中 c > a，。 焦点在 y 轴上的标准方程为： 同样满足 。 两个标准方程的区别在于：焦点在 x 轴时， 项为正；焦点在 y 轴时， 项为正。 （三）焦点位置的判断 判断双曲线焦点在哪个轴上，只需看哪个变量的系数为正： 若 的系数为正（即 项前面是正号），则焦点在 x 轴上；若 的系数为正（即 项前面是正号），则焦点在 y 轴上。 即"哪个系数为正，焦点就在哪个轴上"。 （四）等轴双曲线 当 a = b 时，双曲线叫做等轴双曲线（也叫等边双曲线）。 等轴双曲线的标准方程为 （焦点在 x 轴）或 （焦点在 y 轴）。 等轴双曲线的渐近线为 ，离心率 。 📌 提示：双曲线的标准方程中，a、b、c 满足 ，这与椭圆的 不同。求双曲线方程时，关键是确定 a、b 的值。注意双曲线中 a 和 b 没有大小关系（a 可以大于、等于或小于 b），而椭圆中 a > b。 2. 典型例题 例1 （已知焦点和双曲线上一点求方程） 已知双曲线的焦点为 和 ，且双曲线过点 ，求双曲线的标准方程。 【解析】 由焦点坐标知 ，焦点在 x 轴上，设双曲线方程为： 其中 。 将点 代入方程： 令 （）： 两边乘以 ： 因为 ，取 t = 3，即 ，。 验证：将 代入 ，得 。✓ 答：双曲线的标准方程为 。 例2 （已知渐近线和过一点求方程） 已知双曲线的渐近线为 ，且双曲线过点 ，求双曲线的方程。 【解析】 渐近线为 ，即 ，所以 a = b，双曲线为等轴双曲线。 设双曲线方程为 。 将点 代入：，得 。 验证：点 在双曲线上，且渐近线为 。✓ 答：双曲线方程为 。 例3 （已知离心率和焦距求方程） 已知双曲线的离心率为 2，焦距为 8，求双曲线的标准方程。 【解析】 焦距 2c = 8，所以 c = 4。 离心率 ，所以 。 题目未指定焦点位置，双曲线方程有两种可能。 答：双曲线方程为 （焦点在 x 轴）或 （焦点在 y 轴）。 例4 （焦点三角形面积） 已知双曲线 ，P 为双曲线上一点，，求 的面积。 【解析】 由双曲线方程知 ，，，即 a = 2，c = 3。 双曲线焦点三角形面积公式：，其中 。 答： 的面积为 。 例5 （焦点在哪个轴的判断） 判断双曲线 的焦点在哪个轴上，并求焦点坐标。 【解析】 化为标准方程，两边除以 36： 的系数为正，所以焦点在 x 轴上。 答：焦点在 x 轴上，焦点坐标为 和 。 知识点二 双曲线的几何性质 1. 知识梳理 （一）范围 由标准方程 （焦点在 x 轴），因为 ，所以： 即 或 ，双曲线由左、右两支组成。 y 的取值范围为全体实数，没有限制。 （二）对称性 双曲线关于 x 轴、y 轴、原点都对称。 x 轴和 y 轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心（也叫双曲线的中心）。 （三）顶点 双曲线与实轴的交点叫做顶点。 对于 ，两个顶点为 和 。 线段 叫做实轴，长为 2a；线段 （其中 ，）叫做虚轴，长为 2b。 a 是半实轴长，b 是半虚轴长。 （四）渐近线 双曲线 的渐近线方程为： 渐近线是双曲线无限接近但不相交的直线。当双曲线上的点沿曲线趋向无穷远时，该点到渐近线的距离趋向于零。 焦点在 y 轴上的双曲线 的渐近线方程为 。 📌 渐近线斜率不存在的特殊情况：当双曲线的实轴在 y 轴上且 b = 0 时（退化情形），渐近线为 x = 0（即 y 轴）。但在标准双曲线中 b > 0，渐近线斜率始终存在。 （五）离心率 双曲线的离心率定义为： 离心率反映了双曲线的开口程度：e 越大，双曲线的开口越大（即渐近线的夹角越大）。 当 时，a = b，双曲线为等轴双曲线，渐近线互相垂直。 （六）焦半径公式 设 为双曲线 上一点，焦点在 x 轴上。 当 P 在右支（）时： 当 P 在左支（）时： 其中 为左焦点 ， 为右焦点 。 统一写法：，。 两个焦半径之差：（双曲线定义）。 📌 提示：双曲线的焦半径公式与椭圆类似，但需注意双曲线有左、右两支，公式中涉及绝对值。对于右支上的点，|PF₁| > |PF₂|；对于左支上的点，|PF₁| < |PF₂|。 2. 典型例题 例1 （求渐近线方程） 已知双曲线 ，求其渐近线方程。 【解析】 由方程知 a = 2，b = 3，渐近线方程为： 答：渐近线方程为 。 例2 （求离心率） 已知双曲线 ，求其离心率。 【解析】 由方程知 ，，所以 ，c = 3。 答：离心率为 。 例3 （渐近线与双曲线的关系） 已知双曲线 ，求双曲线上任意一点到其渐近线的距离的最小值。 【解析】 渐近线方程为 和 。 设 为双曲线上一点，P 到渐近线 的距离为： 利用双曲线的参数方程，令 ，（t 为实数），则： 当 时，，所以 。 因此 可以任意接近 0，即距离 d 可以任意接近 0。 距离的最小值趋向于 0，但双曲线上的点永远不会落在渐近线上，所以距离 d > 0。 答：双曲线上点到渐近线的距离可以任意小，最小值趋向于 0（但不等于 0）。 例4 （焦半径应用） 已知双曲线 ，P 为双曲线右支上横坐标为 4 的点，求 和 。 【解析】 a = 2，c = 3，，（右支）。 由焦半径公式： 验证：。✓ 答：，。 例5 （双曲线与直线位置关系） 已知直线 与双曲线 有两个不同的交点，求 k 的取值范围。 【解析】 联立方程： 代入消去 y： 两边乘以 12： 有两个不同交点，需满足： ① （否则退化为一次方程）； ② 判别式 。 即 。 又 ，即 。 当 时，直线平行于渐近线，检验：若 ，方程变为 ，有唯一解，即直线与双曲线只有一个交点。 当 （即 ）时， 恒成立，方程有两解。 综合：当 且 时，有两个不同交点。 答：k 的取值范围为 且 。 知识点三 焦点三角形与焦半径公式深入 1. 知识梳理 （一）焦点三角形面积公式 设 P 为双曲线上一点，（），则 的面积为： 推导：由 ，在 中用余弦定理： 而 ，代入得： 面积 ，代入化简得 。 注意：双曲线的焦点三角形面积公式与椭圆不同，椭圆为 ，双曲线为 。 （二）焦点三角形中的余弦定理 在焦点三角形 中，由余弦定理： 结合 和 ，可以求出 ： 利用此公式和 ，可以解出 和 的具体值。 （三）焦点到渐近线的距离 双曲线的焦点到渐近线的距离等于 b。 证明：渐近线方程为 ，焦点 到渐近线的距离为： 这是一个非常优美的结论，在解题中经常用到。 📌 提示：双曲线焦点三角形面积公式 S = b²/tan(θ/2) 与椭圆的 S = b²·tan(θ/2) 互为倒数关系，注意区分。焦点到渐近线距离等于 b 是一个简洁优美的结论，可用于快速求解相关问题。 2. 典型例题 例1 （焦点三角形面积计算） 已知双曲线 ，P 为双曲线上一点，，求 的面积。 【解析】 ，，由焦点三角形面积公式： 答： 的面积为 。 例2 （焦点三角形中求角度） 已知双曲线 ，P 为双曲线上一点，，求 。 【解析】 。 由 ： 答：。 例3 （焦半径与离心率综合） 已知双曲线 ， 为双曲线上一点，求 。 【解析】 验证 P 在双曲线上：。✓ a = 2，，（右支）。 由焦半径公式： 答：。 例4 （双曲线上点到焦点距离最值） 已知双曲线 ， 为左焦点，求双曲线上点到 距离的最小值。 【解析】 a = 2，c = 3，，。 由焦半径公式 ： 当 P 在右支时（）：，在 时取最小值 5。 当 P 在左支时（）：，在 时取最小值 1。 因此，双曲线上点到 距离的最小值为 1（当 P 为左顶点时取到）。 答：最小值为 1。 例5 （综合应用） 已知双曲线 ，、 为两焦点，P 为双曲线上一点，。求 的取值范围及 面积的取值范围。 【解析】 a = 2，，c = 3。 中，。 当 P 在实轴顶点（如右顶点 ）时，P、、 三点共线，。 当 P 沿双曲线趋向无穷远时，（但 不能取 0°，因为双曲线不经过渐近线交点）。 因此 的取值范围为 。 面积 。 当 时，，。 当 时，，（此时三点共线，三角形退化为线段）。 答： 的取值范围为 ， 面积的取值范围为 。 教学建议与知识总结 一、本节核心要点 ● 双曲线的定义 与椭圆的 形成对比，教学中应强调"差"与"和"的区别。 ● 双曲线的 与椭圆的 是学生最容易混淆的地方，建议通过图形帮助记忆：椭圆中 ，双曲线中 c > a。 ● 渐近线是双曲线独有的性质，教学中应让学生理解"渐近"的含义，并掌握渐近线方程的求法。 ● 离心率 刻画双曲线的开口程度，e 越大开口越大。等轴双曲线 是一个重要的特殊情形。 ● 焦半径公式涉及绝对值，需要根据点在左支还是右支分别讨论，这是学生容易出错的地方。 ● 焦点三角形面积公式 与椭圆的 形式相似但不同，教学中应通过对比帮助学生区分。 二、常见学生错误 ● 混淆 a、b、c 的关系：误写为 （这是椭圆的关系）。 ● 渐近线方程写错：焦点在 x 轴时应为 ，焦点在 y 轴时应为 ，学生容易搞混。 ● 焦半径公式忘记绝对值：，不能直接写 （当 P 在左支时 ）。 ● 离心率范围记错：e > 1 是双曲线， 是椭圆。 ● 焦点三角形面积公式与椭圆搞混：双曲线是 ，椭圆是 。 ● 误认为双曲线的 a 一定大于 b：双曲线中 a 和 b 没有大小关系，这与椭圆不同。 三、课时建议 本节内容建议安排 3 课时： ● 第 1 课时：知识点一（双曲线的定义与标准方程） ● 第 2 课时：知识点二（双曲线的几何性质） ● 第 3 课时：知识点三（焦点三角形与焦半径公式深入） 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何 16.2 双曲线 学习目标 ● 理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程的推导和应用 ● 掌握双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率 ● 熟练运用焦点三角形和焦半径公式解决相关问题 ● 能综合运用双曲线的定义与性质解决高考常见题型 知识点一 双曲线的定义与标准方程 1. 知识梳理 （一）双曲线的定义 平面内到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 2a（）的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点 、 叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离 叫做焦距。 定义的数学表达：设 P 为双曲线上任意一点，则 ，其中 。 若 ，轨迹为以 、 为端点的两条射线；若 ，轨迹不存在。 （二）双曲线的标准方程 以两焦点所在直线为坐标轴，两焦点中点为原点建立直角坐标系。设 ，，由定义化简得： 其中 ，b > 0。注意与椭圆不同，双曲线中 c > a，。 焦点在 y 轴上的标准方程为： 同样满足 。 两个标准方程的区别在于：焦点在 x 轴时， 项为正；焦点在 y 轴时， 项为正。 （三）焦点位置的判断 判断双曲线焦点在哪个轴上，只需看哪个变量的系数为正： 若 的系数为正（即 项前面是正号），则焦点在 x 轴上；若 的系数为正（即 项前面是正号），则焦点在 y 轴上。 即"哪个系数为正，焦点就在哪个轴上"。 （四）等轴双曲线 当 a = b 时，双曲线叫做等轴双曲线（也叫等边双曲线）。 等轴双曲线的标准方程为 （焦点在 x 轴）或 （焦点在 y 轴）。 等轴双曲线的渐近线为 ，离心率 。 📌 提示：双曲线的标准方程中，a、b、c 满足 ，这与椭圆的 不同。求双曲线方程时，关键是确定 a、b 的值。注意双曲线中 a 和 b 没有大小关系（a 可以大于、等于或小于 b），而椭圆中 a > b。 2. 典型例题 例1 （已知焦点和双曲线上一点求方程） 已知双曲线的焦点为 和 ，且双曲线过点 ，求双曲线的标准方程。 例2 （已知渐近线和过一点求方程） 已知双曲线的渐近线为 ，且双曲线过点 ，求双曲线的方程。 例3 （已知离心率和焦距求方程） 已知双曲线的离心率为 2，焦距为 8，求双曲线的标准方程。 例4 （焦点三角形面积） 已知双曲线 ，P 为双曲线上一点，，求 的面积。 例5 （焦点在哪个轴的判断） 判断双曲线 的焦点在哪个轴上，并求焦点坐标。 知识点二 双曲线的几何性质 1. 知识梳理 （一）范围 由标准方程 （焦点在 x 轴），因为 ，所以： 即 或 ，双曲线由左、右两支组成。 y 的取值范围为全体实数，没有限制。 （二）对称性 双曲线关于 x 轴、y 轴、原点都对称。 x 轴和 y 轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心（也叫双曲线的中心）。 （三）顶点 双曲线与实轴的交点叫做顶点。 对于 ，两个顶点为 和 。 线段 叫做实轴，长为 2a；线段 （其中 ，）叫做虚轴，长为 2b。 a 是半实轴长，b 是半虚轴长。 （四）渐近线 双曲线 的渐近线方程为： 渐近线是双曲线无限接近但不相交的直线。当双曲线上的点沿曲线趋向无穷远时，该点到渐近线的距离趋向于零。 焦点在 y 轴上的双曲线 的渐近线方程为 。 📌 渐近线斜率不存在的特殊情况：当双曲线的实轴在 y 轴上且 b = 0 时（退化情形），渐近线为 x = 0（即 y 轴）。但在标准双曲线中 b > 0，渐近线斜率始终存在。 （五）离心率 双曲线的离心率定义为： 离心率反映了双曲线的开口程度：e 越大，双曲线的开口越大（即渐近线的夹角越大）。 当 时，a = b，双曲线为等轴双曲线，渐近线互相垂直。 （六）焦半径公式 设 为双曲线 上一点，焦点在 x 轴上。 当 P 在右支（）时： 当 P 在左支（）时： 其中 为左焦点 ， 为右焦点 。 统一写法：，。 两个焦半径之差：（双曲线定义）。 📌 提示：双曲线的焦半径公式与椭圆类似，但需注意双曲线有左、右两支，公式中涉及绝对值。对于右支上的点，|PF₁| > |PF₂|；对于左支上的点，|PF₁| < |PF₂|。 2. 典型例题 例1 （求渐近线方程） 已知双曲线 ，求其渐近线方程。 例2 （求离心率） 已知双曲线 ，求其离心率。 例3 （渐近线与双曲线的关系） 已知双曲线 ，求双曲线上任意一点到其渐近线的距离的最小值。 例4 （焦半径应用） 已知双曲线 ，P 为双曲线右支上横坐标为 4 的点，求 和 。 例5 （双曲线与直线位置关系） 已知直线 与双曲线 有两个不同的交点，求 k 的取值范围。 知识点三 焦点三角形与焦半径公式深入 1. 知识梳理 （一）焦点三角形面积公式 设 P 为双曲线上一点，（），则 的面积为： 推导：由 ，在 中用余弦定理： 而 ，代入得： 面积 ，代入化简得 。 注意：双曲线的焦点三角形面积公式与椭圆不同，椭圆为 ，双曲线为 。 （二）焦点三角形中的余弦定理 在焦点三角形 中，由余弦定理： 结合 和 ，可以求出 ： 利用此公式和 ，可以解出 和 的具体值。 （三）焦点到渐近线的距离 双曲线的焦点到渐近线的距离等于 b。 证明：渐近线方程为 ，焦点 到渐近线的距离为： 这是一个非常优美的结论，在解题中经常用到。 📌 提示：双曲线焦点三角形面积公式 S = b²/tan(θ/2) 与椭圆的 S = b²·tan(θ/2) 互为倒数关系，注意区分。焦点到渐近线距离等于 b 是一个简洁优美的结论，可用于快速求解相关问题。 2. 典型例题 例1 （焦点三角形面积计算） 已知双曲线 ，P 为双曲线上一点，，求 的面积。 例2 （焦点三角形中求角度） 已知双曲线 ，P 为双曲线上一点，，求 。 例3 （焦半径与离心率综合） 已知双曲线 ， 为双曲线上一点，求 。 例4 （双曲线上点到焦点距离最值） 已知双曲线 ， 为左焦点，求双曲线上点到 距离的最小值。 例5 （综合应用） 已知双曲线 ，、 为两焦点，P 为双曲线上一点，。求 的取值范围及 面积的取值范围。 参考答案汇总 知识点一 例1答案：。 例2答案：。 例3答案：（焦点在 x 轴）或 （焦点在 y 轴）。 例4答案：。 例5答案：焦点在 x 轴上，焦点坐标为 和 。 知识点二 例1答案：渐近线方程为 。 例2答案：离心率为 。 例3答案：双曲线上点到渐近线的距离可以任意小，最小值趋向于 0（但不等于 0）。 例4答案：，。 例5答案：k 的取值范围为 且 。 知识点三 例1答案：。 例2答案：。 例3答案：32。 例4答案：最小值为 1。 例5答案： 的取值范围为 ，面积的取值范围为 。 学科网（北京）股份有限公司 $