第53讲 直线与双曲线的位置关系 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦直线与双曲线位置关系这一高考核心考点，按基础回顾（位置关系判定、弦长公式）、分题型突破（位置关系、弦长、中点弦、综合问题）到真题回顾的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导（如根与系数关系、点差法）、真题训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，针对性突破难点。 资料采用分层例题设计（涵盖高二检测到高考真题），突出数学思维培养，如中点弦问题通过点差法引导学生推理弦所在直线斜率与中点关系，强化运算能力与逻辑推理。设置基础到综合的练习梯度，配合真题实战，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第53讲 直线与双曲线的位置关系 题型一 直线与双曲线的位置关系 2 题型二 弦长问题 6 题型三 双曲线中点弦问题 12 题型四 直线与双曲线的综合问题 20 【真题回顾】 32 【基础回顾】 知识点1．直线与双曲线的位置关系 将直线的方程y＝kx＋m与双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)联立组成方程组，消元转化为关于x的方程(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0． (1)若b2－a2k2＝0(m≠0)，即k＝±时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)若b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线无公共点． 知识点2．直线与双曲线的相交弦 设直线y＝kx＋m交双曲线－＝1(a>0，b>0)于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则 |P1P2|＝＝＝|x1－x2|， 同理，可得|P1P2|＝|y1－y2|(k≠0)． 这里|x1－x2|，|y1－y2|的求法通常使用根与系数的关系，需作以下变形： |x1－x2|＝， |y1－y2|＝． 【必备知识】 1．与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线． 2．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的弦为实轴，其长为2a． 题型一 直线与双曲线的位置关系 通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式． (1)在a≠0的情况下，考察方程的判别式 ①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点； ②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点； ③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． (2)当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 【例题精讲】 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线与双曲线有两个不同的交点转化为方程有两个不同的根，再用一元二次方程根的判别式解得. 【详解】将直线代入双曲线中，整理得， 因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以,，解得， 所以斜率的取值范围是. 故选：C. 2．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线与双曲线方程联立，转化为方程没有实数根，求参数的取值范围. 【详解】联立方程，消去后整理为， 当时，或， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 所以不满足条件； 当时，有，可得或. 故选：B 3．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可求解. 【详解】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是. 故选：A. 4．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立双曲线与直线的方程，利用列式求解即可. 【详解】，可得， 当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意， 当时，即时，， 即，解得. 故选：B. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线，过原点的直线的倾斜角为，且，若与没有交点，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出双曲线的渐近线，根据条件计算直线的斜率，因为直线与双曲线没有交点得到不等式，最后根据双曲线的离心率求得范围； 【详解】易知渐近线方程为， 因为，所以． 又l与C没有交点，所以，则，所以． 故选：C. 6．（23-24高二下·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，求得的坐标和渐近线方程，得到，进而得到直线与双曲线的交点个数. 【详解】因为双曲线的离心率为，且右焦点为， 所以 ，所以，， 所以的坐标为，且双曲线的渐近线方程为， 又因为，所以直线与双曲线的交点个数为2个． 故选：C 7．（25-26高三下·安徽芜湖·阶段检测）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、，利用双曲线的渐近线方程与线段的中点坐标计算可得、两点坐标，再利用斜率公式计算即可得. 【详解】由已知得的渐近线方程为， 设在上，在上， 则，由线段的中点坐标为， 则，，即， 则，， 则，， 故直线的斜率为. 8．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知直线与双曲线的左右两支各交于一点，则b的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意直线过点且双曲线的右顶点为， 又双曲线的渐近线方程为， 因此由题意，解得， 所以b的取值范围为. 9．（25-26高二下·上海·期中）如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______. 【答案】 【分析】联立直线与双曲线方程，得到关于的方程，通过分析方程得判别式确定交点个数，进而求出的取值范围. 【详解】联立直线与双曲线方程，整理可得， 直线与双曲线有两个不同的交点，所以， 解得且，所以斜率k的取值范围是 10．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先由判别式及根与系数的关系可得或，再由可得所求值的范围. 【详解】联立与，消去，得. 双曲线与直线相交于互异两点， 等价于同时成立. 解不等式,解得或. 因为正数为双曲线一条渐近线的斜率，所以. 当时，；当时，. 所以正数的取值范围是. 题型二 弦长问题 1．距离公式法 当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． 2．弦长公式法 当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解． 【例题精讲】 1．（2026·天津·模拟预测）已知双曲线左顶点为，焦距为，过点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为则的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由，，又，解得， 双曲线的标准方程为，其渐近线方程为. 如图任选一条渐近线，因可得， 又，所以， 故. 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 3．（2026·山西朔州·二模）已知双曲线的实轴和虚轴的长度相等，的左、右顶点分别为，，为上位于第一象限内的一点，设，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出双曲线方程，再利用斜率公式及和角的正切求出点的纵坐标即可. 【详解】由双曲线的实轴和虚轴的长度相等，得，， 则，设，则，， ，由，得， 因此，则，又， 所以. 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，的一条渐近线与直线：交于点，若的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】设双曲线的实轴长为，则. 根据双曲线的对称性，不妨取的渐近线， 与联立，得点的坐标为， 所以，解得， 从而，故离心率为． 5．（25-26高三上·湖北武汉·期末）设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由点到轴的距离结合双曲线定义，得到，利用焦半径公式及可求解. 【详解】因为点到轴的距离， 所以点到两焦点的距离之和， 由焦半径公式，所以， 所以，得，又由焦点坐标可知， 所以，解得， 故选：C. 6．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】由题意可知点P的轨迹是双曲线，通过联立方程组利用弦长公式求解. 【详解】由知，点P的轨迹E是以为焦点的双曲线， 设轨迹E的方程为，因为，所以， 故轨迹E的方程为， 设，由可得， 则则． 7．（25-26高三上·四川成都·期末）双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，且、、成等差数列，则等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据题意得，再结合双曲线的定义得，代入整理即可得答案. 【详解】由题知， 因为、、成等差数列，所以， 由双曲线的定义得：①，②， 得， 又因为， 所以 故选：B 8．（2026·甘肃金昌·三模）双曲线的右焦点为，右顶点为是的一条渐近线，点到的距离为，点到的距离为，直线与交于点，则__________. 【答案】30 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式列式求得，求得双曲线的标准方程，将直线与双曲线方程联立，结合弦长公式求得答案. 【详解】设，渐近线的方程为， 则到的距离，到的距离， 所以，又，所以， 所以双曲线的标准方程为. 由，得， 设，则， ，所以， 所以. 9．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，平行于轴的直线交于、两点，长轴位于轴上的椭圆经过、、三点，其右焦点为．若的周长为10，则其面积为__________． 【答案】 【分析】设，可得，由椭圆定义可得，则可得，从而可得，即可求出面积. 【详解】由双曲线可得，设，则，有， 由该椭圆过点且长轴位于轴上，故该椭圆长轴长为， 由、两点关于轴对称，故与到椭圆左焦点距离相等， 故，因为的周长为10，所以， 则，有，解得， 故. 10．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知双曲线的标准方程为，直线过双曲线的右焦点，且与交于，两点，若，则满足条件的直线的条数为________． 【答案】3 【分析】分直线斜率不存在和斜率存在进行讨论，先判断当直线斜率不存在时符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，借助韦达定理与弦长公式计算求出直线方程，进而判断直线条数即可. 【详解】由题，双曲线方程为，右焦点坐标为， 当直线的斜率不存在时，，，满足题意； 如图，当直线的斜率存在时，设直线斜率为， 设，联立， 消去y得， ， 设，则， 由弦长公式得 ． 则，解得，即，满足， 故直线的方程为 ，或， 得到满足条件的直线的条数为3. 故答案为：3 题型三 双曲线中点弦问题 解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法 方法一：根与系数的关系法。联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解。 方法二：点差法。设直线与圆锥曲线的交点坐标为A（x1,y1），B（x2,y2），将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量。 方法三：垂径定理。弦AB中点为M，原点为O。 【例题精讲】 1．（2026·天津河东·二模）已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由点差法即可求解． 【详解】由双曲线方程得，渐近线方程为，则直线的斜率， 设，代入双曲线方程得， 两式相减得，， 所以， 因为弦中点为，所以， 当时，， 当时，， 又因为点在第一象限，所以， 所以． 2．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及中点坐标求得，即可得直线方程. 【详解】设直线的方程为，即， 联立方程组，消元得， 且，可得， 所以，解得，显然满足， 直线的方程为. 故选：C 3．（25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得中点弦的斜率，依题意需使，推得取值范围. 【详解】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得； 故选：C 4．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 5．（25-26高二上·江苏·期末）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式作差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 6．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据点差法求出关系，即可求解. 【详解】设，， 则，①；，②， ①-②得， 则 弦中点坐标为 直线的斜率为 ，即, 则. 故选：B. 7．（25-26高二上·浙江·期中）双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设，利用设而不求点差法求得，再根据的中垂线与直线垂直建立方程得，求解即可. 【详解】由题意，设， 则，相减得， 因为点为线段的中点，所以， 所以，所以， 因为的中点为，结合， 所以的中垂线斜率为， 由题意，即，解得，即的横坐标为3. 故选：C 8．（多选）（25-26高二上·湖北黄冈·期末）已知点为曲线上的动点，则下列结论正确的有（   ） A．点的轨迹为双曲线的一支 B．设，则使的点有个 C．设为原点，则直线的斜率 D．曲线以为中点的弦所在直线的方程为 【答案】ACD 【分析】利用双曲线的定义可判断A选项；化简曲线的方程，利用两点间的距离公式求出点的坐标，可判断B选项；利用直线与双曲线的位置关系可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，记点、， 则， 由双曲线的定义可知，点的轨迹为双曲线的右支，A对； 对于B选项，设曲线的方程为， 则，可得，又因为，故， 所以曲线的方程为， ， 解得，故，故满足的点只有一个，且，B错； 对于C选项，若直线的斜率不存在，且该直线为轴，此时直线与曲线无公共点， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立可得， 关于的方程有正根，所以，解得，C对； 对于D选项，设以为中点的弦的端点为、， 若直线的斜率不存在，则、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率存在，由， 这两个等式作差得， 由题意可得，， 所以， 此时直线的方程为，即， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，，即、都为正数，符合题意. 综上所述，曲线以为中点的弦所在直线的方程为，D对. 故选：ACD. 9．（多选）（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线，其左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于P，Q两点，下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率为2 B．存在点P，使的面积为6 C．点M为线段的中点，若，则 D．不存在过点的直线与双曲线交于A，B两点，使得点N为弦AB的中点 【答案】ABD 【分析】根据题意，求得，由离心率的定义，可判定A正确；由，令，求得，可判定B正确；根据，求得，利用双曲线的定义，求得的值，可判定C错误；结合“点差法”求得直线的方程为，联立方程组，由，可判定D正确. 【详解】由双曲线，可得，则，可得， 对于A，由，所以双曲线的离心率为，所以A正确； 对于B，由，则的面积为， 令，可得，即，所以，代入双曲线方程，可得， 所以双曲线上存在四个点，使得的面积为，所以B正确； 对于C，在中，为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 又由双曲线的定义，可得，可得， 解得或（舍去），因为，所以C错误； 对于D，假设存在过点的直线，使得点为弦的中点， 设，可得 又由 ，两式相减得， 即，即， 可得，即的斜率为，所以直线的方程为， 联立方程组，整理得，此时， 所以直线与双曲线没有公共点， 所以不存在过点的直线，使得点为弦的中点，所以D正确. 故选：ABD. 10．（多选）（2026·江西上饶·一模）对任意有序正实数对，若存在过点的直线与双曲线交于两点，且为线段的中点，则称该数对为有效数对，否则称为无效数对，则下列数对中是有效数对的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分别设出后代入到双曲线方程，使用点差法，将之作差并结合中点坐标即可得到，分别把选项代入，求得的直线与双曲线联立，需要满足化简后的式子有2个解，即化简后的二次函数，以此判断选项是否满足题意即可. 【详解】设直线的斜率为，， 则有，， 两式相减得，即， 又为的中点，即，且， 所以，且直线与双曲线有两个交点， 对于A：此时数对为，则，直线，双曲线， 联立，得， ，满足直线与双曲线有两个交点，故A正确； 对于B：此时数对为，则，直线，双曲线， 联立，此时无解，不满足直线与双曲线有两个交点，故B错误； 对于C：此时数对为，则，直线，双曲线， 联立，得， ，不满足直线与双曲线有两个交点，故C错误； 对于D：此时数对为，则，直线，双曲线， 联立，得， ，满足直线与双曲线有两个交点，故D正确； 故选：AD. 题型四 直线与双曲线的综合问题 利用双曲线的定义、几何性质来研究直线与双曲线的位置关系时：如果判断直线与双曲线的位置关系，可以通过联立方程，利用方程组的解的个数来判断；如果涉及弦长问题，可以利用弦长公式解决；如果涉及面积问题，往往需要利用弦长公式、面积公式、构建目标函数来解决问题． 【例题精讲】 1．（2026·四川内江·二模）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1) (2)假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）略 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件，列方程求出，可得双曲线标准方程； （2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【详解】（1）由题意知，则，所以， 因为点在双曲线的一条渐近线上， 所以点在双曲线的渐近线上，所以， 综上可得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左焦点为， 由题意设直线的方程为， 由直线，得， 设，则，又， 所以 ， 由，得，其中， 则，，，所以. 因为，所以， 所以 . 即为定值. 3．（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 4．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：（，）上有两点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由点，在双曲线上，列出方程组，联立求解，即可得到双曲线的方程； （2）设直线的方程为，与双曲线联立，结合韦达定理，代入直线与的斜率之积，化简即可证明. 【详解】（1）由题意，因为点，在双曲线：（，）上， 所以，解得， 故的方程为. （2）证明：由题意，易知的斜率不为0， 设的方程为，，， 与双曲线联立，即，化简可得， 则，，. 故直线与的斜率之积为 . 即直线与的斜率之积为定值. 5．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据双曲线的性质及点到直线的距离公式求解即可. （2）根据两点间的距离公式，与双曲线方程联立求解即可. （3）设出直线：，，，与双曲线方程联立得到，结合题意得到，即且，求出，，结合向量数量积的坐标运算及函数值域的求解方法求解即可. 【详解】（1）双曲线：，其中，，右顶点. 渐近线方程为：，取， 所以右顶点到一条渐近线的距离为. （2）设 ，则，即 因为、、为一个等腰三角形的三个顶点，所以或或. 若，则，即， 整理得，解得或（舍去）. 若，点应在中垂线上，此时无实根. 若，，即， 整理得，解得或（舍去）. 综上，或，即点的横坐标为或. （3）由题意易知，直线的斜率存在，设方程为. 联立，整理得， 则，所以且. 设，，则，. 所以， 则. 当时，所以，，故； 当时，所以，，故. 综上，实数的取值范围为. 6．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 【答案】(1)双曲线C的标准方程为，渐近线方程为 (2)不存在，理由如下： 由题意可得直线的方程为，设、， 联立，消去可得， 则，且， 若，则，即有， 即，则该方程无解，故不存在这样的； (3) 【分析】（1）借助焦距与渐近线方程定义计算即可得； （2）表示出直线的方程，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合计算可得不存在； （3）结合双曲线定义与双曲线最短焦半径计算即可得. 【详解】（1）由双曲线的焦距为，则， 即双曲线C：，则渐近线方程为； （2）略 （3）由双曲线定义可得，则， 由，故. 7．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知双曲线的标准方程为．若虚轴长为，且双曲线上的任意一点到左右两个焦点和距离之差的绝对值为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，求的取值范围； (3)若斜率为k的直线过右焦点，且与的右支相交于、两点，问：在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，使． 【分析】（1）由已知可得，计算即可求得双曲线C的方程； （2）利用两点间距离公式，结合二次函数性质即可求得结果； （3）由题意，分直线斜率存在与不存在两种情况，设直线方程，联立方程，写韦达定理，根据向量数量积的坐标公式，整理方程，可得答案. 【详解】（1）由题意得，解得， 则双曲线． （2）设，，，或， 则， 令（或）， 当，单调递减，所以在上， 当，单调递增，所以在上， 所以，所以的取值范围为. （3）存在． 双曲线的右焦点， 当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消y得， 所以，得，且． 设， 假设存在实数m，使得，则对任意恒成立． 所以，解得． 当直线l的斜率不存在时，此时， 存在，，，结论也成立． 综上，存在，使． 8．（2026·河南开封·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，斜率为的直线交于，两点，且的中点为． (1)求的方程； (2)是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）先设出弦的端点坐标并代入双曲线方程，两式相减后，结合弦中点坐标与直线斜率，推导出双曲线参数与的关系，再利用焦点条件求出参数值，得到双曲线方程； （2）先设出直线斜截式方程，与双曲线联立得到一元二次方程，通过判别式保证直线与双曲线有两个交点；将转化为向量数量积为0，展开后代入韦达定理的整体表达式，解出直线参数，再结合中点坐标求出的值，验证后得出存在性结论即可. 【详解】（1）如图，作出符合题意的图形， 设，，则，， 两式相减得，即，则．     又，所以，故C的方程为． （2）设直线的方程为， 由得， 则，且，， 假设存在，使，则． 因为，，且，， 所以， 故，整理得，解得．   由，解得．故存在，使． 9．（2026·湖南永州·三模）在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程： (2)已知点，，过点作斜率为的直线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，若，，成等差数列，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用双曲线定义求出点的轨迹方程，再利用坐标代换法求出曲线的方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率公式列式求解. 【详解】（1）由，得点的轨迹是以为左右焦点，实轴长为2的双曲线， 实半轴长，半焦距，虚半轴长， 因此点的轨迹方程为，设，由，得， 于是，即，所以曲线的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，， 由消去得，， 则，，， 由，，成等差数列，得，即， 则，即，所以. 10．（2026·湖南长沙·三模）已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为． (1)求的标准方程； (2)过的直线交的右支于，两点，过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，证明：． 【答案】(1) (2)设，，直线的方程为， 过且与平行的直线可写为， 联立，解得， 过且与平行的直线可写为， 联立，解得， 当时，，，此时 ， 则直线和均垂直于轴且不重合，所以， 当时，联立得， 易知，且，， ，所以， 又，，，四点不共线，所以. 【详解】（1）由渐近线方程知，，由焦点坐标可知，， 联立，解得，故的方程为. （2）略. 【真题回顾】 【例题精讲】 1．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确； 故选：D. 2．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 3．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解； （2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案； （3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案. 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 4．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)当时，； (3)的最大值为. 【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. 【详解】（1）由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. （3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】(1) (2) 由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）略 【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第53讲 直线与双曲线的位置关系 题型一 直线与双曲线的位置关系 2 题型二 弦长问题 3 题型三 双曲线中点弦问题 4 题型四 直线与双曲线的综合问题 6 【真题回顾】 8 【基础回顾】 知识点1．直线与双曲线的位置关系 将直线的方程y＝kx＋m与双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)联立组成方程组，消元转化为关于x的方程(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0． (1)若b2－a2k2＝0(m≠0)，即k＝±时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)若b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线无公共点． 知识点2．直线与双曲线的相交弦 设直线y＝kx＋m交双曲线－＝1(a>0，b>0)于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则 |P1P2|＝＝＝|x1－x2|， 同理，可得|P1P2|＝|y1－y2|(k≠0)． 这里|x1－x2|，|y1－y2|的求法通常使用根与系数的关系，需作以下变形： |x1－x2|＝， |y1－y2|＝． 【必备知识】 1．与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线． 2．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的弦为实轴，其长为2a． 题型一 直线与双曲线的位置关系 通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式． (1)在a≠0的情况下，考察方程的判别式 ①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点； ②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点； ③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． (2)当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 【例题精讲】 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线，过原点的直线的倾斜角为，且，若与没有交点，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 7．（25-26高三下·安徽芜湖·阶段检测）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知直线与双曲线的左右两支各交于一点，则b的取值范围为________． 9．（25-26高二下·上海·期中）如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______. 10．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________. 题型二 弦长问题 1．距离公式法 当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． 2．弦长公式法 当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解． 【例题精讲】 1．（2026·天津·模拟预测）已知双曲线左顶点为，焦距为，过点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为则的面积（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西朔州·二模）已知双曲线的实轴和虚轴的长度相等，的左、右顶点分别为，，为上位于第一象限内的一点，设，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，的一条渐近线与直线：交于点，若的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C．4 D．2 5．（25-26高三上·湖北武汉·期末）设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 6．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（25-26高三上·四川成都·期末）双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，且、、成等差数列，则等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 8．（2026·甘肃金昌·三模）双曲线的右焦点为，右顶点为是的一条渐近线，点到的距离为，点到的距离为，直线与交于点，则__________. 9．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，平行于轴的直线交于、两点，长轴位于轴上的椭圆经过、、三点，其右焦点为．若的周长为10，则其面积为__________． 10．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知双曲线的标准方程为，直线过双曲线的右焦点，且与交于，两点，若，则满足条件的直线的条数为________． 题型三 双曲线中点弦问题 解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法 方法一：根与系数的关系法。联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解。 方法二：点差法。设直线与圆锥曲线的交点坐标为A（x1,y1），B（x2,y2），将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量。 方法三：垂径定理。弦AB中点为M，原点为O。 【例题精讲】 1．（2026·天津河东·二模）已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏·期末）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 7．（25-26高二上·浙江·期中）双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．（多选）（25-26高二上·湖北黄冈·期末）已知点为曲线上的动点，则下列结论正确的有（   ） A．点的轨迹为双曲线的一支 B．设，则使的点有个 C．设为原点，则直线的斜率 D．曲线以为中点的弦所在直线的方程为 9．（多选）（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线，其左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于P，Q两点，下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率为2 B．存在点P，使的面积为6 C．点M为线段的中点，若，则 D．不存在过点的直线与双曲线交于A，B两点，使得点N为弦AB的中点 10．（多选）（2026·江西上饶·一模）对任意有序正实数对，若存在过点的直线与双曲线交于两点，且为线段的中点，则称该数对为有效数对，否则称为无效数对，则下列数对中是有效数对的有（   ） A． B． C． D． 题型四 直线与双曲线的综合问题 利用双曲线的定义、几何性质来研究直线与双曲线的位置关系时：如果判断直线与双曲线的位置关系，可以通过联立方程，利用方程组的解的个数来判断；如果涉及弦长问题，可以利用弦长公式解决；如果涉及面积问题，往往需要利用弦长公式、面积公式、构建目标函数来解决问题． 【例题精讲】 1．（2026·四川内江·二模）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 3．（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 4．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：（，）上有两点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值. 5．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 6．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 7．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知双曲线的标准方程为．若虚轴长为，且双曲线上的任意一点到左右两个焦点和距离之差的绝对值为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，求的取值范围； (3)若斜率为k的直线过右焦点，且与的右支相交于、两点，问：在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．（2026·河南开封·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，斜率为的直线交于，两点，且的中点为． (1)求的方程； (2)是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 设，，则，， 两式相减得，即，则．     又，所以，故C的方程为． 9．（2026·湖南永州·三模）在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程： (2)已知点，，过点作斜率为的直线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，若，，成等差数列，求． 10．（2026·湖南长沙·三模）已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为． (1)求的标准方程； (2)过的直线交的右支于，两点，过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，证明：． 【真题回顾】 【例题精讲】 1．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 3．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 4．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $