2027届高考数学一轮复习讲义----16.3_抛物线

该高中数学讲义围绕抛物线高考核心考点，按定义与标准方程、几何性质、焦点弦与焦半径公式的逻辑层次展开，通过知识梳理、方法指导及高考真题训练，帮助学生系统构建知识网络，突破焦半径计算、焦点弦性质等难点。 资料以高考真题为载体，突出实战价值，如在焦半径公式教学中引导学生用定义推导公式培养数学思维，通过2023年新高考Ⅱ卷焦点弦问题训练数学语言表达。设置分层例题，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升学生应考能力。

解析几何 16.3 抛物线 学习目标 ● 理解抛物线的定义，掌握四种标准方程及其对应的焦点、准线 ● 掌握抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率 ● 熟练运用焦半径公式和焦点弦性质解决相关问题 ● 能综合运用抛物线的定义与性质解决高考常见题型 知识点一 抛物线的定义与标准方程 1. 知识梳理 （一）抛物线的定义 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l（F 不在 l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。 定义的数学表达：设 P 为抛物线上任意一点，d 为 P 到准线 l 的距离，则 。 （二）抛物线的标准方程 设焦点到准线的距离为 p（p > 0），以焦点到准线的垂线段的中点为原点建立直角坐标系。 抛物线有四种标准方程： 焦点 ，准线 ，开口向右。 焦点 ，准线 ，开口向左。 焦点 ，准线 ，开口向上。 焦点 ，准线 ，开口向下。 （三）p 的几何意义 p 的几何意义是焦点到准线的距离，即焦准距。p 越大，抛物线的开口越大。 📌 提示：抛物线标准方程中 p > 0，由方程形式即可判断开口方向： 项决定左右开口（系数正→右，负→左）， 项决定上下开口（系数正→上，负→下）。求抛物线方程时关键是确定 p 的值。 2. 典型例题 例1 （2023·全国乙卷·第13题） 已知点 在抛物线 上，则 A 到 C 的准线的距离为____。 【解析】 将 代入 ： 所以 ，焦点 ，准线 。 A 到准线的距离为： 答：。 例2 （2024·北京·第11题） 抛物线 的焦点坐标为____。 【解析】 由 知 2p = 16，p = 8。 焦点为 。 答：。 例3 （2024·上海） 已知抛物线 上有一点 P 到准线的距离为 9，那么点 P 到 x 轴的距离为____。 【解析】 由 知 2p = 4，p = 2，准线 。 设 ，由抛物线定义 。 P 到准线的距离 ，所以 。 代入 ：，。 答：。 例4 （2020·全国I卷·第9题） 已知 A 为抛物线 （p > 0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p =（　　） A. 2　　B. 3　　C. 6　　D. 9 【解析】 设 ，到 y 轴的距离 。 由抛物线定义，A 到焦点的距离 。 答：C。 例5 （2019·全国II卷） 若抛物线 （p > 0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p =（　　） A. 2　　B. 3　　C. 4　　D. 8 【解析】 椭圆 中，，，。 椭圆焦点在 x 轴上，焦点为 。 抛物线 的焦点为 。 由题意 ，两边平方： 答：D。 知识点二 抛物线的几何性质 1. 知识梳理 （一）范围 对于 （p > 0），因为 ，所以 。 y 的取值范围为全体实数。抛物线在 y 轴右侧，向右无限延伸。 （二）对称性 抛物线关于 x 轴对称（对于 型），抛物线的对称轴就是 x 轴。 抛物线只有一个对称轴，没有对称中心（不同于椭圆和双曲线）。 （三）顶点 抛物线与其对称轴的交点叫做顶点。 对于所有标准方程，顶点都在原点 。 （四）离心率 抛物线的离心率恒为： e = 1 这是抛物线区别于椭圆（）和双曲线（e > 1）的重要特征。 （五）焦点弦长公式 过抛物线焦点的弦叫做焦点弦。设焦点弦 AB 的倾斜角为 ，则： 当 时（即弦垂直于对称轴），，此时的弦叫做通径，是过焦点最短的弦。 （六）焦半径公式 设 为抛物线 （p > 0）上一点，F 为焦点，则： 即抛物线上一点到焦点的距离等于该点到准线的距离（抛物线定义的直接应用）。 📌 提示：抛物线的焦半径公式 是抛物线定义的直接体现，比椭圆和双曲线的焦半径公式简单得多。解题时优先考虑用定义（到焦点距离 = 到准线距离）转化，往往比坐标运算更简洁。 2. 典型例题 例1 （2023·新高考Ⅱ卷·第10题） 设 O 为坐标原点，直线 过抛物线 （p > 0）的焦点，且与 C 交于 M、N 两点，l 为 C 的准线，则（　　） A. p = 2　　B. 　　C. 以 MN 为直径的圆与 l 相切　　D. 为等腰三角形 【解析】 直线 过点 ，斜率为 。 抛物线焦点为 ，由直线过焦点得 ，p = 2。A 正确。 抛物线方程为 ，焦点 ，准线 。 联立 与 ： 由焦点弦公式 。B 错误。 以 MN 为直径的圆的圆心横坐标为 。 圆心到准线 的距离为 。 半径 。距离等于半径，圆与 l 相切。C 正确。 ，，，不是等腰三角形。D 错误。 答：AC。 例2 （2024·新高考Ⅱ卷·第10题） 抛物线 的准线为 l，P 为 C 上的动点，过 P 作 的一条切线，Q 为切点，过 P 作 l 的垂线，垂足为 B，则（　　） A. l 与 相切　　B. 当 P、A、B 三点共线时，　　C. 当 时，　　D. 满足 的点 P 有且仅有 2 个 【解析】 准线 ，圆心 ，半径 r = 1。 圆心 A 到准线 l 的距离 ，所以 l 与 相切。A 正确。 当 P、A、B 三点共线时，P 在 y 轴上，（顶点），。 ，。B 正确。 当 时，由抛物线定义 ，P 的横坐标 ，。 ，。验证 ：，，。C 错误。 即 P 到 的距离等于 P 到准线 的距离，即 P 到 A 的距离等于 P 到焦点 的距离。这是线段 AF 的垂直平分线与抛物线的交点。AF 中点 ，斜率 ，垂直平分线斜率 ，与抛物线有 2 个交点。D 正确。 答：ABD。 例3 （2022·新高考Ⅰ卷·第11题） 已知 O 为坐标原点，点 在抛物线 （p > 0）上，过点 的直线交 C 于 P、Q 两点，则（　　） A. C 的准线为 　　B. 直线 AB 与 C 相切　　C. 　　D. 【解析】 将 代入 ：1 = 2p，。 ，准线 。A 错误。 直线 AB：过 和 ，斜率 k = 2，方程 。 联立 与 ：，，。 有两个交点，直线 AB 与 C 相交而非相切。B 错误。 C 选项验证：设过 的直线为 ，与 联立得 。 ，。由 得 。 。利用 ：。 ，。 需验证 ，即 。 令 。当 时 ，当 时 。 ，。存在 使 。 当 时 C 成立，当 时 C 不成立。本题在一般条件下 C 不恒成立。 D 选项验证：。 。需 ，即 ，。 当 时 D 不成立。 答：CD。（注：C、D 在 k 取适当值时成立，需结合题设条件判断。） 例4 （2023·北京·第6题） 已知抛物线 的焦点为 F，点 P 在 C 上。若 P 到直线 的距离为 5，则 （　　） A. 7　　B. 6　　C. 5　　D. 4 【解析】 由 知 2p = 8，p = 4，焦点 ，准线 。 设 ，P 到直线 的距离 ，所以 。 由抛物线定义 。 答：D。 例5 （2020·北京·第8题） 设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l。P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 作 于 Q，则线段 FQ 的垂直平分线（　　） A. 经过点 O　　B. 经过点 P　　C. 平行于直线 OP　　D. 垂直于直线 OP 【解析】 设抛物线 （p > 0），，准线 。 设 ，则 。 由抛物线定义 。 FQ 的中点 M：，。 FQ 的垂直平分线过 M，且 FQ 为水平线段（y 坐标相同），垂直平分线为竖直线 x = 0（即 y 轴）。 P 不一定在 y 轴上，排除 B。O 在 y 轴上，垂直平分线经过 O。A 正确。 答：A。 知识点三 焦点弦与焦半径公式深入 1. 知识梳理 （一）焦点弦的性质 设 AB 是过抛物线 （p > 0）焦点 F 的弦，，，倾斜角为 。 ① 弦长公式： ② 韦达定理关系： ③ 焦半径公式（用倾斜角表示）： ④ 焦点弦倒数和： （二）通径 过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径。 对于 ，通径长为 2p。 通径是过焦点的弦中最短的一条。 （三）焦点弦与准线的关系 以焦点弦为直径的圆与准线相切。 证明：设 AB 中点为 M，M 到准线的距离 （等于半径）。 📌 提示：焦点弦问题是高考高频考点。解题时灵活选用弦长公式 或 ，前者适合联立方程，后者适合已知倾斜角的情形。 2. 典型例题 例1 （2022·全国乙卷·第8题） 设 F 为抛物线 的焦点，点 A 在 C 上，点 ，若 ，则 （　　） A. 2　　B. 　　C. 3　　D. 【解析】 由 知 p = 2，焦点 。 ，所以 。 由焦半径公式 ，。验证：， 在抛物线上。✓ 答：A。 例2 （2018·全国I卷·第10题） 设抛物线 的焦点为 F，过点 且斜率为 的直线与 C 交于 M、N 两点，则 （　　） A. 5　　B. 6　　C. 7　　D. 8 【解析】 直线方程：，即 。 联立 ：。 ，。对应 ，。 ，，。 答：D。 例3 （2020·新高考I卷·第13题） 斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与 C 交于 A、B 两点，则 ____。 【解析】 由 知 p = 2，焦点 。 倾斜角 满足 ，，。 由焦点弦公式： 答：。 例4 （2021·新高考I卷·第14题） 已知 O 为坐标原点，抛物线 （p > 0）的焦点为 F，M 为 C 上一点，MF 与 x 轴垂直，N 为 x 轴上一点，且 。若 ，则 C 的准线方程为____。 【解析】 由 轴知 。代入 ：，，即 。 若 ，则 M 不在 x 轴上。MF 为竖直方向， 要求 MN 水平， 故 N 的纵坐标应与 M 相同，即 ，这与 N 在 x 轴上（）矛盾。 故 ，即 M 与原点 O 重合。此时 MF 沿 x 轴方向， 要求 MN 竖直， N 在 x 轴上且与 M 重合，，p = 12。准线 。 答：。 例5 （2017·全国I卷·第10题） 已知 F 为抛物线 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 、，直线 与 C 交于 A、B 两点，直线 与 C 交于 D、E 两点，则 的最小值为（　　） A. 16　　B. 14　　C. 12　　D. 10 【解析】 由 知 p = 2，焦点 。 设 的倾斜角为 ，则 的倾斜角为 。 由焦点弦公式： 当 （即 ）时， 取最小值 16。 答：A。 教学建议与知识总结 一、本节核心要点 ● 抛物线的定义 （到焦点距离 = 到准线距离）是最核心的工具，很多问题用定义转化比坐标运算更简洁。 ● 四种标准方程对应四种开口方向，由方程形式即可判断： 项决定左右， 项决定上下。 ● 焦半径公式 是定义的直接应用，比椭圆和双曲线的焦半径公式简单。 ● 焦点弦公式 是高频考点，需熟练掌握其推导和应用。 ● 以焦点弦为直径的圆与准线相切，这是一个优美的几何性质，在选择题中经常出现。 二、常见学生错误 ● 混淆 p 与 ：p 是焦点到准线的距离，焦点坐标为 ，不是 。 ● 准线方程符号搞错： 的准线是 ，不是 。 ● 焦半径公式忘记加 ：，不是 。 ● 焦点弦公式中 与 搞混：，不是 。 三、课时建议 本节内容建议安排 2 课时： ● 第 1 课时：知识点一（抛物线的定义与标准方程）+ 知识点二（几何性质） ● 第 2 课时：知识点三（焦点弦与焦半径公式深入） 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何 16.3 抛物线 学习目标 ● 理解抛物线的定义，掌握四种标准方程及其对应的焦点、准线 ● 掌握抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率 ● 熟练运用焦半径公式和焦点弦性质解决相关问题 ● 能综合运用抛物线的定义与性质解决高考常见题型 知识点一 抛物线的定义与标准方程 1. 知识梳理 （一）抛物线的定义 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l（F 不在 l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。 定义的数学表达：设 P 为抛物线上任意一点，d 为 P 到准线 l 的距离，则 。 （二）抛物线的标准方程 设焦点到准线的距离为 p（p > 0），以焦点到准线的垂线段的中点为原点建立直角坐标系。 抛物线有四种标准方程： 焦点 ，准线 ，开口向右。 焦点 ，准线 ，开口向左。 焦点 ，准线 ，开口向上。 焦点 ，准线 ，开口向下。 （三）p 的几何意义 p 的几何意义是焦点到准线的距离，即焦准距。p 越大，抛物线的开口越大。 📌 提示：抛物线标准方程中 p > 0，由方程形式即可判断开口方向： 项决定左右开口（系数正→右，负→左）， 项决定上下开口（系数正→上，负→下）。求抛物线方程时关键是确定 p 的值。 2. 典型例题 例1 （2023·全国乙卷·第13题） 已知点 在抛物线 上，则 A 到 C 的准线的距离为____。 例2 （2024·北京·第11题） 抛物线 的焦点坐标为____。 例3 （2024·上海） 已知抛物线 上有一点 P 到准线的距离为 9，那么点 P 到 x 轴的距离为____。 例4 （2020·全国I卷·第9题） 已知 A 为抛物线 （p > 0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p =（　　） A. 2　　B. 3　　C. 6　　D. 9 例5 （2019·全国II卷） 若抛物线 （p > 0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p =（　　） A. 2　　B. 3　　C. 4　　D. 8 知识点二 抛物线的几何性质 1. 知识梳理 （一）范围 对于 （p > 0），因为 ，所以 。 y 的取值范围为全体实数。抛物线在 y 轴右侧，向右无限延伸。 （二）对称性 抛物线关于 x 轴对称（对于 型），抛物线的对称轴就是 x 轴。 抛物线只有一个对称轴，没有对称中心（不同于椭圆和双曲线）。 （三）顶点 抛物线与其对称轴的交点叫做顶点。 对于所有标准方程，顶点都在原点 。 （四）离心率 抛物线的离心率恒为： e = 1 这是抛物线区别于椭圆（）和双曲线（e > 1）的重要特征。 （五）焦点弦长公式 过抛物线焦点的弦叫做焦点弦。设焦点弦 AB 的倾斜角为 ，则： 当 时（即弦垂直于对称轴），，此时的弦叫做通径，是过焦点最短的弦。 （六）焦半径公式 设 为抛物线 （p > 0）上一点，F 为焦点，则： 即抛物线上一点到焦点的距离等于该点到准线的距离（抛物线定义的直接应用）。 📌 提示：抛物线的焦半径公式 是抛物线定义的直接体现，比椭圆和双曲线的焦半径公式简单得多。解题时优先考虑用定义（到焦点距离 = 到准线距离）转化，往往比坐标运算更简洁。 2. 典型例题 例1 （2023·新高考Ⅱ卷·第10题） 设 O 为坐标原点，直线 过抛物线 （p > 0）的焦点，且与 C 交于 M、N 两点，l 为 C 的准线，则（　　） A. p = 2　　B. 　　C. 以 MN 为直径的圆与 l 相切　　D. 为等腰三角形 例2 （2024·新高考Ⅱ卷·第10题） 抛物线 的准线为 l，P 为 C 上的动点，过 P 作 的一条切线，Q 为切点，过 P 作 l 的垂线，垂足为 B，则（　　） A. l 与 相切　　B. 当 P、A、B 三点共线时，　　C. 当 时，　　D. 满足 的点 P 有且仅有 2 个 例3 （2022·新高考Ⅰ卷·第11题） 已知 O 为坐标原点，点 在抛物线 （p > 0）上，过点 的直线交 C 于 P、Q 两点，则（　　） A. C 的准线为 　　B. 直线 AB 与 C 相切　　C. 　　D. 例4 （2023·北京·第6题） 已知抛物线 的焦点为 F，点 P 在 C 上。若 P 到直线 的距离为 5，则 （　　） A. 7　　B. 6　　C. 5　　D. 4 例5 （2020·北京·第8题） 设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l。P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 作 于 Q，则线段 FQ 的垂直平分线（　　） A. 经过点 O　　B. 经过点 P　　C. 平行于直线 OP　　D. 垂直于直线 OP 知识点三 焦点弦与焦半径公式深入 1. 知识梳理 （一）焦点弦的性质 设 AB 是过抛物线 （p > 0）焦点 F 的弦，，，倾斜角为 。 ① 弦长公式： ② 韦达定理关系： ③ 焦半径公式（用倾斜角表示）： ④ 焦点弦倒数和： （二）通径 过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径。 对于 ，通径长为 2p。 通径是过焦点的弦中最短的一条。 （三）焦点弦与准线的关系 以焦点弦为直径的圆与准线相切。 证明：设 AB 中点为 M，M 到准线的距离 （等于半径）。 📌 提示：焦点弦问题是高考高频考点。解题时灵活选用弦长公式 或 ，前者适合联立方程，后者适合已知倾斜角的情形。 2. 典型例题 例1 （2022·全国乙卷·第8题） 设 F 为抛物线 的焦点，点 A 在 C 上，点 ，若 ，则 （　　） A. 2　　B. 　　C. 3　　D. 例2 （2018·全国I卷·第10题） 设抛物线 的焦点为 F，过点 且斜率为 的直线与 C 交于 M、N 两点，则 （　　） A. 5　　B. 6　　C. 7　　D. 8 例3 （2020·新高考I卷·第13题） 斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与 C 交于 A、B 两点，则 ____。 例4 （2021·新高考I卷·第14题） 已知 O 为坐标原点，抛物线 （p > 0）的焦点为 F，M 为 C 上一点，MF 与 x 轴垂直，N 为 x 轴上一点，且 。若 ，则 C 的准线方程为____。 例5 （2017·全国I卷·第10题） 已知 F 为抛物线 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 、，直线 与 C 交于 A、B 两点，直线 与 C 交于 D、E 两点，则 的最小值为（　　） A. 16　　B. 14　　C. 12　　D. 10 参考答案汇总 知识点一 例1答案：。 例2答案：。 例3答案：。 例4答案：C（p = 6）。 例5答案：D（p = 8）。 知识点二 例1答案：AC。 例2答案：ABD。 例3答案：CD。 例4答案：D（）。 例5答案：A。 知识点三 例1答案：A（）。 例2答案：D（）。 例3答案：。 例4答案：。 例5答案：A（最小值为 16）。 学科网（北京）股份有限公司 $