第12讲 圆锥曲线与三角形四心专题讲义-2027届高考数学一轮复习抛物线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线与三角形四心（重心、外心、内心、垂心）专题，按四心分题型系统整合椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形问题，构建“几何特征翻译—代数关系转化—联立韦达求解”的解题逻辑链，通过高考分析、知识梳理、策略指导、例题精讲及分层训练，帮助学生突破综合难点。 讲义创新融合几何性质与解析几何方法，如内心问题用焦点三角形横坐标定值结论秒杀，垂心问题优先向量垂直避免漏解，培养数学眼光与思维，设置分层练习配合反馈，确保学生高效掌握通法，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第12讲 圆锥曲线与三角形四心专题 目 录 高考分析 1 知识要点 1 解题策略 3 题型归纳 4 题型01：圆锥曲线重心问题 4 题型02：圆锥曲线外心问题 10 题型03：圆锥曲线内心问题 15 题型04：圆锥曲线垂心问题 22 1. 题型定位：高考圆锥曲线压轴高频题型，常结合焦点三角形、动弦三角形考查，融合平面几何四心性质+解析几何联立韦达，综合性极强 2. 考查对象：椭圆、双曲线焦点三角形四心，抛物线内接三角形四心 3. 解题核心：几何条件代数翻译，把四心的几何特征，全部转化为坐标关系、向量关系、垂直关系、中点关系，再结合联立韦达计算 4. 通用解题流程：识图定位四心→翻译几何条件→设点设直线→联立方程韦达代入→化简求值/求轨迹/求离心率范围 知识点一：三角形四心核心基础 （一）四心定义 1.重心G 三条中线交点，中线2:1分点 若A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)，则G( ,)； 中点坐标、横纵坐标分别求和除以3，最简单，考频最高 2.垂心H 三条高线交点，三边互相垂直 AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB；斜率乘积=-1（斜率存在时）；向量点积=0（通用无漏洞） 核心：两组向量垂直即可列式，不用三条高线全写 3.外心O 三边中垂线交点，外接圆圆心，到三顶点距离相等 OA=OB=OC；中垂线斜率与底边斜率乘积=-1；横坐标纵坐标满足距离等式 核心：距离相等，焦点三角形外心常在y轴上 4.内心I 三条角平分线交点，内切圆圆心，到三边距离相等 角平分线斜率关系；焦半径比例关系；焦点三角形内心横坐标定值（圆锥曲线专属结论） 焦点三角形内心有固定轨迹，无需复杂联立，直接套结论 （二）避坑提醒 1. 斜率不存在时，禁止用k1k2=-1，统一改用向量数量积为0，零失误 2. 圆锥曲线绝大多数四心考题，只考焦点三角形（曲线上一点+左右两个焦点构成三角形） 知识点二：三大圆锥曲线四心专属秒杀结论 1. 椭圆焦点三角形 ①重心：设P(x₀,y₀)为椭圆上动点，△PF₁F₂重心G(x,y)，则x=，y=，轨迹方程：+=1 ②内心：△PF₁F₂内心I的横坐标恒为定值a-c，轨迹为垂直于x轴的定直线x=a-c ③外心：外心始终在y轴上，横坐标恒为0 ④垂心：P在椭圆上运动，垂心轨迹可通过垂直向量直接求解 2. 双曲线焦点三角形 ①动点P在右支，内心轨迹：直线x=a；动点P在左支，内心轨迹：直线x=-a ②外心依旧在y轴，坐标计算和椭圆高度一致 3. 抛物线内接三角形（y²=2px） ①抛物线内接直角三角形，直角顶点在原点，垂心恒在抛物线上 ②动弦中点结合重心，直接套用重心坐标公式即可快速解题 四大题型解题策略 题型一：重心问题（最简单，必考基础题） 例题1：椭圆焦点三角形重心轨迹 已知椭圆+=1，左右焦点F₁、F₂，点P为椭圆上任意动点，求△PF₁F₂重心G的轨迹方程。 解： 由题意得：a²=4，b²=3，c²=1，F₁(-1,0)，F₂(1,0) 设P(x₀,y₀)，G(x,y)，根据重心坐标公式：G( ,) 即x₀=3x，y₀=3y 又点P在椭圆上，满足x₀²/4+y₀²/3=1 代入得：+=1，化简：+3y²=1 补充限制条件：三角形三点不共线，y₀≠0，故y≠0 综上，重心轨迹方程：+3y²=1（y≠0） 解题模板：重心坐标代换→反解动点坐标→代入原曲线方程→剔除共线无效点 题型二：垂心问题（高频压轴，核心考垂直向量） 例题2：抛物线垂心定值问题 已知抛物线y²=4x，原点O，A、B在抛物线上，且OA⊥OB，求证：△OAB垂心H在定直线上。 解： 设直线AB：x=ty+m，联立y²=4x，得y²-4ty-4m=0 韦达定理：y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m 由OA⊥OB，，即x₁x₂+y₁y₂=0，解得m=4 直线AB：x=ty+4，恒过定点M(4,0) 设垂心H(x,y)，根据垂心定义：OH⊥AB，BH⊥OA OH⊥AB：化简可得横坐标恒为4 故垂心H恒在定直线x=4上 解题模板：两组垂直向量列式→消去参数→得到定直线/定点 题型三：内心问题（秒杀题型，不用联立） 例题3：椭圆焦点三角形内心横坐标定值 椭圆+=1，P为椭圆上动点，求△PF₁F₂内心I的横坐标。 解： a=5，c=3，根据椭圆焦点三角形内心结论：横坐标x=a-c=2 即内心始终在定直线x=2上，横坐标恒为2（定值） 补充双曲线结论：双曲线 - =1，右支动点P，内心横坐标恒为4 题型四：外心问题（中垂线+距离相等） 例题4：椭圆焦点三角形外心位置证明 求证：椭圆焦点三角形PF₁F₂的外心始终在y轴上。 证明： F₁(-c,0)，F₂(c,0)，线段F₁F₂中点为坐标原点，且F₁F₂在x轴上 F₁F₂的垂直平分线为y轴，三角形外心在三边垂直平分线上 因此△PF₁F₂外心一定落在y轴上，横坐标为0 四心通用解题避坑清单 1. 重心：千万不要忘记剔除三点共线的情况，轨迹一定要写y≠0 2. 垂心：优先向量垂直，不要用斜率，避免斜率不存在漏解 3. 内心：焦点三角形直接背定值，不用联立方程，节省考场时间 4. 外心：焦点三角形默认中垂线为y轴，直接用横坐标为0快速计算 题型01：圆锥曲线重心问题 【典型例题1】已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【解析】分别为椭圆的左、右焦点， 设，G点是三角形的重心，则，得， 又是椭圆E上一动点，，即， 又G点是三角形的重心，，所以点G的轨迹方程为，故选：B 【典型例题2】已知为抛物线上的三个点，焦点F是的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为，则（    ） A．线段BC的中点坐标为 B．直线BC的方程为 C． D． 【解析】设，因为F为重心， 所以，设BC中点，则， ，由重心分中线得，即， 又因为A在抛物线上，所以，所以，即，故A正确； ， 直线，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； ，同理， 所以，故D正确． 故选：ABD 【典型例题3】已知抛物线，过定点的动直线与抛物线交于两点，是坐标平面内的动点，且的重心为坐标原点.若的最小值为1，则 . 【解析】设，则，， 因为共线，则，化简得， 因为是的重心，于是得， 因此，， 即，当且仅当a+b=0时取“=”，即， 而的最小值为1，则，即，所以. 【典型例题4】已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上. (1)求抛物线C的方程； (2)记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值. 【解析】（1）由题知，焦点，显然直线的斜率存在， 设直线，，，， 联立消去得，则△， 则，所以， 所以且，故， 即，整理得对任意的恒成立，故， 故所求抛物线的方程为． （2）由题知，，，，，，则. 又弦AB的中点为M，的重心为G，则，故，所以.    点D到直线AB的距离， ， 所以四边形DEMG的面积 当且仅当，即时取等号， 此时四边形DEMG面积的最小值为. 一、单选题 【变式训练1-1】已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练1-3】已知点为双曲线的虚轴的上顶点，为双曲线的右焦点，存在斜率为的直线交双曲线于点两点，且的重心为点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练1-4】已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练1-5】椭圆的右焦点为，上顶点为，若存在直线与椭圆交于不同两点，重心为，直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-6】设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-7】已知F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上的三点，O为坐标原点，，，面积分别为 ，若F为的重心，且，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-8】抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、多选题 【变式训练1-9】椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是，的角平分线交x轴于点（m，0），下列说法正确的有（     ） A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．的长度范围是 C．取值范围是 D． 【变式训练1-10】已知为抛物线上的三个点，焦点F是的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为，则（    ） A．线段BC的中点坐标为 B．直线BC的方程为 C． D． 【变式训练1-11】设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（    ） A．的离心率的取值范围为 B．的离心率的取值范围为 C．直线斜率的取值范围为 D．直线斜率的取值范围为 【变式训练1-12】若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（  ） A．双曲线的离心率为 B．点的运动轨迹为双曲线的一部分 C．若，，则. D．存在点，使得 三、填空题 【变式训练1-13】已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为 ． 【变式训练1-14】已知抛物线上三点满足： 的重心是，则直线的斜率之和为 ． 【变式训练1-15】已知，是双曲线的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上一点，设I，G分别为的内心和重心，若IG与y轴平行，则 ． 四、解答题 【变式训练1-16】已知抛物线上的任意一点到的距离比到x轴的距离大1． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求重心G的轨迹方程． 【变式训练1-17】已知曲线在轴上方，它上面的每一点到点的距离减去到轴的距离的差都是2.若点分别在该曲线上，且点在轴右侧，点在轴左侧，的重心在轴上，直线交轴于点且满足，直线交轴于点.记的面积分别为 (1)求曲线方程； (2)求的取值范围. 【变式训练1-18】已知，为的两个顶点，为的重心，边，上的两条中线长度之和为6. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与曲线相交于点、，若线段的中点是，求直线的方程； (3)已知点，，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上. 【变式训练1-19】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，A，B为E上两点，且点A的纵坐标为，F恰好是的重心. (1)求E的方程； (2)若，P，Q为抛物线上相异的两个动点，且，求的最小值. 【变式训练1-20】已知双曲线C：的渐近线方程为，其左右焦点为，，点D为双曲线上一点，且的重心G点坐标为. (1)求该双曲线的标准方程； (2)过x轴上一动点作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为（与B不重合），连接并延长交x轴于点Q，问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 题型02：圆锥曲线外心问题 【典型例题1】已知椭圆：，过其左焦点作直线l交椭圆于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B.若G点为的外心，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上都不对 【解析】根据题意可得，显然直线的斜率存在，故可设其方程为， 联立椭圆方程可得：，设， 故，，， 故， 设的中点为，则其坐标为， 显然轴垂直平分，故可设，又直线方程为：， 令，解得，故，故.故选：C. 【典型例题2】（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，由，得，得， 由，得，得，由，得，得， ， ，， 若为重心、为外心、为垂心，则， 所以，化简得，此时双曲线的离心率， 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得不成立； 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得，此时双曲线的离心率， 若为重心，为垂心、为外心，则， ，化简得，此时双曲线的离心率； 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得或， 此时双曲线的离心率或， 若为重心，为垂心、为外心，则， 所以，化简得或都不成立. 综上所述：或或或. 故选：ABD 【典型例题3】在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点．若D为直线外一点，且的外心M在C上，则M的坐标为 ． 【解析】联立得， 设，，则，，设线段AB的中点为， 则，， 则线段AB的中垂线方程为，即， 联立得，解得或4， 从而的外心M的坐标为或． 【典型例题4】已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于， (1)若垂直l于点，且，求AF的长 (2)为坐标原点，求的外心C的轨迹方程. 【解析】（1）由得，； （2）设，直线， 由，得， ，即有， 易得OA､OB的中垂线方程分别为， 联立可得， 外心C的轨迹方程为. 一、单选题 【变式训练2-1】中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【变式训练2-2】已知双曲线M：的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x 【变式训练2-4】已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D．5 【变式训练2-5】设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练2-6】已知点、、，直线上有两个动点、，始终使，三角形的外心轨迹为曲线，为曲线在一象限内的动点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-7】已知双曲线的左、右焦点恰为椭圆的两个顶点，设椭圆E的上焦点为P，过点的直线l交双曲线C右支于点A、B，若点A在第一象限，的外心Q恰好落在y轴上，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 【变式训练2-8】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，点为线段AB的中点，且，则下列结论正确的为（    ） A．N为的外心 B．M可以为C的焦点 C．l的斜率为 D．可以小于2 【变式训练2-9】已知的三个顶点均在抛物线上，则下列命题正确的有（    ） A．若直线BC过点，则存在点A使为直角三角形； B．若直线BC过点，则存在使抛物线的焦点恰为的重心； C．存在，使抛物线的焦点恰为的外心； D．若边AC的中线轴，，则的面积为 【变式训练2-10】设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（    ） A．点的中点在轴上 B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上 C．当的垂心在抛物线上时， D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形 三、填空题 【变式训练2-11】设椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点．设过点作轴的垂线交于另一点，若是的外心，则的值为 ． 【变式训练2-12】已知双曲线的右焦点为，过点斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，点，若的外心的横坐标为0，则直线的方程为 . 【变式训练2-13】已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为 . 4、 解答题 【变式训练2-14】已知椭圆的左右焦点分别是，是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，已知的内切圆半径的最大值是椭圆的离心率是. （1）求椭圆的方程； （2）过作斜率不为0的直线交椭圆于两点，过作垂直于轴的直线交椭圆于另一点，连接，设的外心为，求证：为定值. 【变式训练2-15】已知抛物线C：，点P为y轴左侧一点，A，B为抛物线C上两点，当直线过抛物线C焦点F且垂直于x轴时，面积为2． （1）求抛物线C标准方程； （2）若直线为抛物线C的两条切线，设的外心为M（点M不与焦点F重合），求的所有可能取值． 【变式训练2-16】已知从曲线的左、右焦点分别为，实轴长为、一条渐近线方程为，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，若的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程． 【变式训练2-17】在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为，，平面内两点G，M同时满足以下3个条件：①G是△ABC三条边中线的交点：②M是△ABC的外心；③ (1)求△ABC的顶点C的轨迹方程； (2)若点P（2，0）与（1）中轨迹上的点E，F三点共线，求的取值范围 【变式训练2-18】已知在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与它到直线的距离之比为2.记M的轨迹为曲线E. (1)求E的方程； (2)若P是曲线E上一点，且点P不在x轴上，作PQ⊥l于点Q，证明：曲线E在点P处的切线过△PQA的外心. 题型03：圆锥曲线内心问题 【典型例题1】已知，分别为双曲线的左､右焦点，且，点P为双曲线右支上一点，M为的内心，若成立，则λ的值为（    ） A． B． C．2 D． 【解析】因为，所以，即， 所以，所以离心率，设的内切圆半径为， 则，又， 所以，即， 所以，所以.故选：B. 【典型例题2】已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（    ） A． B．椭圆的离心率是 C．的最小值为 D．的值为 【解析】对于A，因为椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，则，，，， 因为抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点， 所以由椭圆与抛物线的对称性可得，两点关于轴对称，不妨设，，， 因为四边形是菱形，所以的中点是的中点， 所以由中点坐标公式得，则， 将代入抛物线方程得，， 所以，则，所以，故A正确； 对于B，由选项A得，再代入椭圆方程得， 化简得，则，故，所以，故B错误； 对于C，由选项B得，所以，则， 所以，不妨设，则，且， 所以， 当且仅当且，即，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，连接和，如图， 因为的内心为，所以为的平分线，则有， 同理：，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 【典型例题3】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点为的内心，若，则的面积为 ． 【解析】延长交轴于点，设，则， ，因此，，得，因此． 设，，则内切圆的半径． 又，所以，即． 因为，所以，（椭圆的定义的应用） 由，可得，即，所以，故，（角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例） 因此，，由余弦定理得， 因此， 所以，故的面积为． 【典型例题4】已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明. 【解析】（1）圆的圆心为，半径， 因为，所以，又因为，所以， 所以， 所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上， 设双曲线的方程为，则，. 所以，， 又不可能在轴上，所以曲线的方程为.    （2）在轴上存在定点，使得的内心在一条定直线上. 证明如下：由条件可设：.代入， 得，设，，则 ，得， 所以 所以，取， 则 又，都在轴上方，所以的平分线为定直线， 所以在轴上存在定点，使得的内心在定直线上. 一、单选题 【变式训练3-1】已知点，分别是椭圆：的左、右焦点，点P是椭圆E上的一点，若的内心是G，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且 ，若为的内心，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练3-4】已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】设为椭圆上的动点，为椭圆的焦点，为的内心，则直线和直线的斜率之积（　　） A．是定值 B．非定值，但存在最大值 C．非定值，但存在最小值 D．非定值，且不存在最值 【变式训练3-7】已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 【变式训练3-8】已知，分别为双曲线的左、右焦点，M为C的右顶点，过的直线与C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设点P，Q分别为，的内心，R，r分别为，内切圆的半径，则（    ） A．点M在直线PQ上 B．点M在直线PQ的左侧 C． D． 【变式训练3-9】已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线的离心率为 C． D． 【变式训练3-10】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线交双曲线C的右支于A，B两点，I为的内心，O为坐标原点，则下列结论成立的是（    ） A．若C的离心率，则的取值范围是 B．若且，则C的离心率 C．若C的离心率，则 D．过作，垂足为P，若I的横坐标为m，则 三、填空题 【变式训练3-11】已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点在双曲线的右支上，点到直线的距离为1．当时， 的内心恰好是点，则双曲线的方程 ． 【变式训练3-12】已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C在第一象限上的一点，且直线的斜率为，点B为的内心，直线PB交x轴于点A，且，则双曲线C的渐近线方程为 ． 【变式训练3-13】已知双曲线的左、右焦点分别为，，M是双曲线C右支上一点，记的重心为G，内心为I．若，则双曲线C的离心率为 ． 四、解答题 【变式训练3-14】已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率是，为椭圆上异于长轴端点的一点，，设的内心为，且． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知直线过定点，若椭圆上存在两点关于直线对称，求直线斜率的取值范围． 【变式训练3-15】已知椭圆C：，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，的重心为G，内心为I，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线过定点，求实数k的取值范围． 【变式训练3-16】已知椭圆，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆相切，为其左右焦点，为椭圆上的任意一点，的重心为，内心为，且, （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知为椭圆上的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于两点，若的斜率满足，求直线的方程． 【变式训练3-17】已知点是双曲线的左、右焦点，是右支上一点，的周长为，为的内心，且满足. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线与双曲线的右支交于两点，与轴交于点，满足（其中），求的取值范围. 【变式训练3-18】已知椭圆的右焦点为，点A，B在椭圆C上，点到直线的距离为，且的内心恰好是点D． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知O为坐标原点，M，N为椭圆上不重合两点，且M，N的中点H在直线上，求面积的最大值． 题型04：圆锥曲线垂心问题 【典型例题1】已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解析】由点是抛物线上的两点，且， 根据抛物线的对称性，可得关于轴对称， 设直线的方程为，则， 因为的垂心恰好是抛物线的焦点， 所以，可得，即， 解得，即直线的方程为.故选：C.    【典型例题2】设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（    ） A．点的中点在轴上 B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上 C．当的垂心在抛物线上时， D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形 【解析】对于A选项，抛物线的焦点为，准线方程为， 设点，则点，所以，线段的中点为，A对； 对于B选项，由抛物线的定义可知，则为等腰三角形， 因为为的中点，则，所以，的重心、垂心、外心、内心都在直线上， ，则直线的方程为， 联立可得，则， 所以，直线与抛物线相切，B错； 对于C选项，设点为第一象限内的点， 若的垂心在抛物线上时，设点，其中， 将点的坐标代入抛物线方程可得，可得，即点， 由题意可知，、、三点共线，，， 由可得，整理可得，解得， 所以，，即点，所以，，，C对； 对于D选项，当的垂心在抛物线上时，点，则轴，则， 此时，为直角三角形，D错. 故选：AC. 【典型例题3】已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，若椭圆的右焦点恰好为的垂心，则直线的方程为 ． 【解析】易知，，直线的斜率为，因椭圆的右焦点恰好为的垂心，则，从而直线的斜率为2．设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立有， 消去y得：． 由，得，设，， 由韦达定理有：，．右焦点恰好为的垂心，故． 又，则 .解得或． 当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意； 当时，经检验知和椭圆相交，符合题意．故直线的方程为． 【典型例题4】如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.    (1)求抛物线C的标准方程； (2)求证：点P在定直线上. 【解析】（1）设直线l的方程为，，. 由得. 所以，.由抛物线定义，得 . 当直线l的倾斜角为30°时，，. 所以，即抛物线C的标准方程为. （2）由（1），得，. 因为的垂心为原点O，所以，. 因为，所以. 所以直线AP的方程为，即. 同理可得，直线BP的方程为. 联立方程解得 即.所以点P在定直线上. 一、单选题 【变式训练4-1】已知抛物线上有三点，，，的垂心在轴上，，两点的纵坐标分别为，，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在直线上的射影为，若的垂心在抛物线上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】设双曲线：的左顶点与右焦点分别为，，以线段为底边作一个等腰，且边上的高.若的垂心恰好在的一条渐近线上，且的离心率为，则下列判断正确的是（     ） A．存在唯一的，且 B．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内 C．存在唯一的，且 D．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内 【变式训练4-6】已知双曲线 的右焦点为，以坐标原点为圆心、为 半径作圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点，设为的垂心，恰有，则双曲线的离心率应满足（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-7】记椭圆：的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，，，处的切线交于点，设的垂心为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 【变式训练4-8】已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（    ） A．若中点纵坐标为2，则的斜率为2 B．若点恰为的垂心，则的周长为 C．若与的倾斜角互补，则的斜率恒为 D．若，则点纵坐标的取值范围是 【变式训练4-9】双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（    ） A．外心的轨迹是一条直线 B．当变化时，外心的轨迹方程为 C．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上 D．若分别是中点，则的外接圆过定点 【变式训练4-10】瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 【变式训练4-11】若曲线：上一点，是否存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为．则直线的方程为 ． 【变式训练4-12】已知抛物线方程为，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线的焦点F为（O为坐标原点）的垂心，则实数的值为 ． 【变式训练4-13】已知点在椭圆C：上， 过点作直线交椭圆C于点的垂心为，若垂心在y轴上．则实数的取值范围是 ． 四、解答题 【变式训练4-14】已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，O为坐标原点，若的面积为，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 【变式训练4-15】若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”． （1）求椭圆C2的方程； （2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点) 【变式训练4-16】已知分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线（斜率为）交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得射线平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式训练4-17】已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点. (1)求双曲线的方程 (2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上. 【变式训练4-18】已知抛物线：过点，为其焦点，过且不垂直于轴的直线交抛物线于，两点，动点满足的垂心为原点. （1）求抛物线的方程； （2）求证：动点在定直线上，并求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 圆锥曲线与三角形四心专题 目 录 高考分析 1 知识要点 1 解题策略 3 题型归纳 4 题型01：圆锥曲线重心问题 4 题型02：圆锥曲线外心问题 21 题型03：圆锥曲线内心问题 38 题型04：圆锥曲线垂心问题 57 1. 题型定位：高考圆锥曲线压轴高频题型，常结合焦点三角形、动弦三角形考查，融合平面几何四心性质+解析几何联立韦达，综合性极强 2. 考查对象：椭圆、双曲线焦点三角形四心，抛物线内接三角形四心 3. 解题核心：几何条件代数翻译，把四心的几何特征，全部转化为坐标关系、向量关系、垂直关系、中点关系，再结合联立韦达计算 4. 通用解题流程：识图定位四心→翻译几何条件→设点设直线→联立方程韦达代入→化简求值/求轨迹/求离心率范围 知识点一：三角形四心核心基础 （一）四心定义 1.重心G 三条中线交点，中线2:1分点 若A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)，则G( ,)； 中点坐标、横纵坐标分别求和除以3，最简单，考频最高 2.垂心H 三条高线交点，三边互相垂直 AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB；斜率乘积=-1（斜率存在时）；向量点积=0（通用无漏洞） 核心：两组向量垂直即可列式，不用三条高线全写 3.外心O 三边中垂线交点，外接圆圆心，到三顶点距离相等 OA=OB=OC；中垂线斜率与底边斜率乘积=-1；横坐标纵坐标满足距离等式 核心：距离相等，焦点三角形外心常在y轴上 4.内心I 三条角平分线交点，内切圆圆心，到三边距离相等 角平分线斜率关系；焦半径比例关系；焦点三角形内心横坐标定值（圆锥曲线专属结论） 焦点三角形内心有固定轨迹，无需复杂联立，直接套结论 （二）避坑提醒 1. 斜率不存在时，禁止用k1k2=-1，统一改用向量数量积为0，零失误 2. 圆锥曲线绝大多数四心考题，只考焦点三角形（曲线上一点+左右两个焦点构成三角形） 知识点二：三大圆锥曲线四心专属秒杀结论 1. 椭圆焦点三角形 ①重心：设P(x₀,y₀)为椭圆上动点，△PF₁F₂重心G(x,y)，则x=，y=，轨迹方程：+=1 ②内心：△PF₁F₂内心I的横坐标恒为定值a-c，轨迹为垂直于x轴的定直线x=a-c ③外心：外心始终在y轴上，横坐标恒为0 ④垂心：P在椭圆上运动，垂心轨迹可通过垂直向量直接求解 2. 双曲线焦点三角形 ①动点P在右支，内心轨迹：直线x=a；动点P在左支，内心轨迹：直线x=-a ②外心依旧在y轴，坐标计算和椭圆高度一致 3. 抛物线内接三角形（y²=2px） ①抛物线内接直角三角形，直角顶点在原点，垂心恒在抛物线上 ②动弦中点结合重心，直接套用重心坐标公式即可快速解题 四大题型解题策略 题型一：重心问题（最简单，必考基础题） 例题1：椭圆焦点三角形重心轨迹 已知椭圆+=1，左右焦点F₁、F₂，点P为椭圆上任意动点，求△PF₁F₂重心G的轨迹方程。 解： 由题意得：a²=4，b²=3，c²=1，F₁(-1,0)，F₂(1,0) 设P(x₀,y₀)，G(x,y)，根据重心坐标公式：G( ,) 即x₀=3x，y₀=3y 又点P在椭圆上，满足x₀²/4+y₀²/3=1 代入得：+=1，化简：+3y²=1 补充限制条件：三角形三点不共线，y₀≠0，故y≠0 综上，重心轨迹方程：+3y²=1（y≠0） 解题模板：重心坐标代换→反解动点坐标→代入原曲线方程→剔除共线无效点 题型二：垂心问题（高频压轴，核心考垂直向量） 例题2：抛物线垂心定值问题 已知抛物线y²=4x，原点O，A、B在抛物线上，且OA⊥OB，求证：△OAB垂心H在定直线上。 解： 设直线AB：x=ty+m，联立y²=4x，得y²-4ty-4m=0 韦达定理：y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m 由OA⊥OB，，即x₁x₂+y₁y₂=0，解得m=4 直线AB：x=ty+4，恒过定点M(4,0) 设垂心H(x,y)，根据垂心定义：OH⊥AB，BH⊥OA OH⊥AB：化简可得横坐标恒为4 故垂心H恒在定直线x=4上 解题模板：两组垂直向量列式→消去参数→得到定直线/定点 题型三：内心问题（秒杀题型，不用联立） 例题3：椭圆焦点三角形内心横坐标定值 椭圆+=1，P为椭圆上动点，求△PF₁F₂内心I的横坐标。 解： a=5，c=3，根据椭圆焦点三角形内心结论：横坐标x=a-c=2 即内心始终在定直线x=2上，横坐标恒为2（定值） 补充双曲线结论：双曲线 - =1，右支动点P，内心横坐标恒为4 题型四：外心问题（中垂线+距离相等） 例题4：椭圆焦点三角形外心位置证明 求证：椭圆焦点三角形PF₁F₂的外心始终在y轴上。 证明： F₁(-c,0)，F₂(c,0)，线段F₁F₂中点为坐标原点，且F₁F₂在x轴上 F₁F₂的垂直平分线为y轴，三角形外心在三边垂直平分线上 因此△PF₁F₂外心一定落在y轴上，横坐标为0 四心通用解题避坑清单 1. 重心：千万不要忘记剔除三点共线的情况，轨迹一定要写y≠0 2. 垂心：优先向量垂直，不要用斜率，避免斜率不存在漏解 3. 内心：焦点三角形直接背定值，不用联立方程，节省考场时间 4. 外心：焦点三角形默认中垂线为y轴，直接用横坐标为0快速计算 题型01：圆锥曲线重心问题 【典型例题1】已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【解析】分别为椭圆的左、右焦点， 设，G点是三角形的重心，则，得， 又是椭圆E上一动点，，即， 又G点是三角形的重心，，所以点G的轨迹方程为，故选：B 【典型例题2】已知为抛物线上的三个点，焦点F是的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为，则（    ） A．线段BC的中点坐标为 B．直线BC的方程为 C． D． 【解析】设，因为F为重心， 所以，设BC中点，则， ，由重心分中线得，即， 又因为A在抛物线上，所以，所以，即，故A正确； ， 直线，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； ，同理， 所以，故D正确． 故选：ABD 【典型例题3】已知抛物线，过定点的动直线与抛物线交于两点，是坐标平面内的动点，且的重心为坐标原点.若的最小值为1，则 . 【解析】设，则，， 因为共线，则，化简得， 因为是的重心，于是得， 因此，， 即，当且仅当a+b=0时取“=”，即， 而的最小值为1，则，即，所以. 【典型例题4】已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上. (1)求抛物线C的方程； (2)记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值. 【解析】（1）由题知，焦点，显然直线的斜率存在， 设直线，，，， 联立消去得，则△， 则，所以， 所以且，故， 即，整理得对任意的恒成立，故， 故所求抛物线的方程为． （2）由题知，，，，，，则. 又弦AB的中点为M，的重心为G，则，故，所以.    点D到直线AB的距离， ， 所以四边形DEMG的面积 当且仅当，即时取等号， 此时四边形DEMG面积的最小值为. 一、单选题 【变式训练1-1】已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【解析】分别为椭圆的左、右焦点， 设，G点是三角形的重心，则，得， 又是椭圆E上一动点，，即， 又G点是三角形的重心，，所以点G的轨迹方程为，故选：B 【变式训练1-2】已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【解析】依题意，设，，，由，在轴上方，故，，    因为抛物线为，所以， 则，所以，则， 注意到，故，即， 又，代入可得， 故，即，解得， 当且仅当时，等号成立，因而.故选：B. 【变式训练1-3】已知点为双曲线的虚轴的上顶点，为双曲线的右焦点，存在斜率为的直线交双曲线于点两点，且的重心为点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【解析】，设，设斜率为的直线为， 联立，消去并整理得， ，，即， 设，，则， ， 因为的重心为点，所以，， 所以，，所以，， 消去得，得，得， 得，得，得， 得，.故选：A 【变式训练1-4】已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（    ） A． B． C．2 D． 【解析】 由椭圆可得，， 如图，设的内切圆与三边分别相切与，，， ，分别为的重心和内心．则，，， 所以， 所以 ，故选：D 【变式训练1-5】椭圆的右焦点为，上顶点为，若存在直线与椭圆交于不同两点，重心为，直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】设椭圆的半焦距为，由已知，，设， 因为重心为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以直线的斜率，当且仅当时等号成立， 又，所以直线的斜率取值范围是，故选：B. 【变式训练1-6】设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意，双曲线的右焦点为，且， 设点为的中点，因为为的重心，所以， 即，解得，即， 因为直线与的右支交于两点，则满足， 整理得，解得或（舍去）， 当离心率为时，即时，可得，此时， 设，可得， 又由，两式相减可得， 即直线的斜率为， 又因为，所以，此时四点共线，此时不满足题意， 综上可得，双曲线 的离心率的取值范围为.故选：A. 【变式训练1-7】已知F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上的三点，O为坐标原点，，，面积分别为 ，若F为的重心，且，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】设、、三点的坐标分别为，，，，，， 抛物线的焦点的坐标为,，， ， 、、在抛物线上，，，， 由此可得：，点是的重心， ，可得, 因此，,解得 （负值舍去）， 故该抛物线的方程为，故选：． 【变式训练1-8】抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为 A． B． C． D． 【解析】由题意知，抛物线的焦点为，设点、、， 由重心的坐标公式得，，， 设直线的方程为，由，消去得， ，由韦达定理得，， 所以，， 故，， 将点的坐标代入抛物线的方程得，得， 则，得， 则. 不在直线上，则，此时，，则. 因此，的取值范围是.故选：A. 二、多选题 【变式训练1-9】椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是，的角平分线交x轴于点（m，0），下列说法正确的有（     ） A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．的长度范围是 C．取值范围是 D． 【解析】设重心，又， ∴ ，即，又是椭圆上一点， ∴，即，故A正确； ∵G的轨迹是椭圆的一部分，长半轴长为，短半轴长为，∴，故B错误； 根据内角平分线定理可知，， 又，∴，故C正确； 同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，， ∴，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练1-10】已知为抛物线上的三个点，焦点F是的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为，则（    ） A．线段BC的中点坐标为 B．直线BC的方程为 C． D． 【解析】设，因为F为重心， 所以，设BC中点，则， ，由重心分中线得，即， 又因为A在抛物线上，所以，所以，即，故A正确； ， 直线，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； ，同理， 所以，故D正确． 故选：ABD 【变式训练1-11】设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（    ） A．的离心率的取值范围为 B．的离心率的取值范围为 C．直线斜率的取值范围为 D．直线斜率的取值范围为 【解析】设为的中点，根据重心性质可得， 因为，则， 因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部， 故有，解得， 当直线斜率不存在时，的中点在轴上，故三点不共线，不符合题意舍， 设直线斜率为，设，所以，， 因为在双曲线上，所以，两式相减可得：， 即，即有成立， 即有，因为不共线，即，即，即， 所以的离心率的取值范围为， 因为， 因为，即，所以， 所以.故选：AC 【变式训练1-12】若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（  ） A．双曲线的离心率为 B．点的运动轨迹为双曲线的一部分 C．若，，则. D．存在点，使得 【解析】由题意，双曲线，可得， 则离心率为，所以A正确； 设，的内切圆与边切于点，与边切于点， 与边切于点，可得， 由双曲线的定义可得，即， 又由，解得，则的横坐标为， 由与的横坐标相同，可得的横坐标为，可得在定直线上运动，所以B不正确； 由且，解得， 则，可得， 所以，同理可得， 设直线，直线，联立方程组，求得， 设的内切圆的半径为，则， 解得，即有，可得， 由，可得，解得，可得，所以C正确； 设，则， 设的内切圆的半径为，则， 于是，可得， 若，可得，即，又由，联立可得， 因此，解得，即存在点，使得，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 【变式训练1-13】已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为 ． 【解析】设，．由点G为的重心，得，所以． 又在抛物线上，所以，即． 又点A不在直线BC上，所以，即，所以所求轨迹方程为． 【变式训练1-14】已知抛物线上三点满足： 的重心是，则直线的斜率之和为 ． 【解析】设抛物线上三点， 由的重心是，得，即有， 直线的斜率分别为，， 所以直线的斜率之和. 【变式训练1-15】已知，是双曲线的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上一点，设I，G分别为的内心和重心，若IG与y轴平行，则 ． 【解析】由题意知. 如图，为的内切圆，切点分别为A、B、C，设， 则，由双曲线的定义知， ，即， 又，所以， 得，即. 又的重心G与内心I的连线平行与y轴，即轴于点A，所以. 因为，所以， 代入双曲线方程，得，解得，即， 又，所以， 所以. 四、解答题 【变式训练1-16】已知抛物线上的任意一点到的距离比到x轴的距离大1． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求重心G的轨迹方程． 【解析】（1）由抛物线的定义可得，∴抛物线的方程为； （2）由题意可得直线的斜率存在，设其为k，设，则直线的方程为； 代入抛物线方程得，则有， ∵，∴，∴，即① 同理可得②，①-②有，得，∴．∴ 又，设，则， 消k得，所以G的轨迹方程为． 【变式训练1-17】已知曲线在轴上方，它上面的每一点到点的距离减去到轴的距离的差都是2.若点分别在该曲线上，且点在轴右侧，点在轴左侧，的重心在轴上，直线交轴于点且满足，直线交轴于点.记的面积分别为 (1)求曲线方程； (2)求的取值范围. 【解析】（1）曲线上每一点到点的距离减去到轴的距离的差都是2，即曲线上每一点到点的距离与到直线的距离相等，所以曲线为抛物线，； （2）设点， 为的重心，， 由相似三角形可知且， 可得， 令， 因为，所以，故， ，. 【变式训练1-18】已知，为的两个顶点，为的重心，边，上的两条中线长度之和为6. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与曲线相交于点、，若线段的中点是，求直线的方程； (3)已知点，，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上. 【解析】（1）因为为的重心，且边，上的两条中线长度之和为6， 所以， 故由椭圆的定义可知的轨迹是以，为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）， 故设点的轨迹的方程为，所以，，所以， 所以的轨迹的方程为； （2）设，， 若直线的斜率不存在，根据椭圆的对称性可得线段的中点在轴上，不满足题意； 故设直线：，与：联立，整理得：， 由整理得：，故，， 由题意知，解得：，，满足，故直线： （3）设直线的方程为：，，， 联立方程得：， 由整理得：，即或， 则，，所以， 又直线的方程为：， 又直线的方程为：， 联立方程得：， 把代入上式得：， 所以当点运动时，点恒在定直线上 【变式训练1-19】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，A，B为E上两点，且点A的纵坐标为，F恰好是的重心. (1)求E的方程； (2)若，P，Q为抛物线上相异的两个动点，且，求的最小值. 【解析】（1）由已知可得，，设 F恰好是的重心，，解得， 将代入，得，，解得，E的方程为； （2）设直线PQ的方程为，，， 由方程组，得 ，即，且，， ，， ，， ，即， ，， ，或， 若，直线PQ过N点，不合题意，舍去， ，此时，， 则， 当时，有最小值为11. 【变式训练1-20】已知双曲线C：的渐近线方程为，其左右焦点为，，点D为双曲线上一点，且的重心G点坐标为. (1)求该双曲线的标准方程； (2)过x轴上一动点作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为（与B不重合），连接并延长交x轴于点Q，问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为， 设，因为的重心点的坐标为， 所以，解得，所以，则代入得， 所以双曲线的标准方程为 （2）由题意知直线的斜率必存在，设的方程为， ，则，联立， 化简得， 则，且， 由韦达定理得，， 则直线的方程为：， 令，则 ，故.   . 题型02：圆锥曲线外心问题 【典型例题1】已知椭圆：，过其左焦点作直线l交椭圆于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B.若G点为的外心，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上都不对 【解析】根据题意可得，显然直线的斜率存在，故可设其方程为， 联立椭圆方程可得：，设， 故，，， 故， 设的中点为，则其坐标为， 显然轴垂直平分，故可设，又直线方程为：， 令，解得，故，故.故选：C. 【典型例题2】（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，由，得，得， 由，得，得，由，得，得， ， ，， 若为重心、为外心、为垂心，则， 所以，化简得，此时双曲线的离心率， 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得不成立； 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得，此时双曲线的离心率， 若为重心，为垂心、为外心，则， ，化简得，此时双曲线的离心率； 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得或， 此时双曲线的离心率或， 若为重心，为垂心、为外心，则， 所以，化简得或都不成立. 综上所述：或或或. 故选：ABD 【典型例题3】在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点．若D为直线外一点，且的外心M在C上，则M的坐标为 ． 【解析】联立得， 设，，则，，设线段AB的中点为， 则，， 则线段AB的中垂线方程为，即， 联立得，解得或4， 从而的外心M的坐标为或． 【典型例题4】已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于， (1)若垂直l于点，且，求AF的长 (2)为坐标原点，求的外心C的轨迹方程. 【解析】（1）由得，； （2）设，直线， 由，得， ，即有， 易得OA､OB的中垂线方程分别为， 联立可得， 外心C的轨迹方程为. 一、单选题 【变式训练2-1】中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【解析】设，， 以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系， ，，，则，，，，则， 设，则，，，即， 即点的轨迹方程为， 而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线， 根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心，故选：A. 【变式训练2-2】已知双曲线M：的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【解析】离心率为，则有： 又有：可得：，此时两条渐近线垂直，即，且直线和直线均与轴的夹角均为，则的外心为在线段的中点 若双曲线M经过点，根据双曲线的对称性可知：当且仅当轴时，且点为双曲线的顶点 此时有：，，的面积为12，则有：， 解得：，故双曲线的实轴长为：，故选：C 【变式训练2-3】在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x 【解析】由△PF1F2的外心M，知：， ∴在△中，，即，故∠F1PF2＝， 在△中，，而， ∴，即， ∴，而， ∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．故选：D． 【变式训练2-4】已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D．5 【解析】不妨设点在第二象限，设，， 由为的中点，、、三点共线知直线垂直平分，则， 故有，且，解得，， 将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即，当点在第三象限时，同理可得.故选：C. 【变式训练2-5】设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【解析】由题,因为,所以、、三点共线, 因为点为线段的中点,的外心为,所以,即, 设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点, 则在中,,即,所以是直角三角形,所以, 因为,由双曲线定义可得,所以, 则,因为,整理可得, 所以,则,故选:D 【变式训练2-6】已知点、、，直线上有两个动点、，始终使，三角形的外心轨迹为曲线，为曲线在一象限内的动点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】设点、， 设的外心为，则，可得出， 因为，则， 将代入并化简得， 即，在中，由余弦定理， 即， 整理可得，所以，， 即，① 将、代入①可得， 整理可得，即的外心轨迹方程为， 设点，则，即， 而，，则， 又，所以， 因此，.故选：C. 【变式训练2-7】已知双曲线的左、右焦点恰为椭圆的两个顶点，设椭圆E的上焦点为P，过点的直线l交双曲线C右支于点A、B，若点A在第一象限，的外心Q恰好落在y轴上，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】由椭圆可得：， 故椭圆E的左、右顶点分别为，椭圆E的上焦点， 则，故双曲线， 设双曲线的焦距为，则，即，故， 当直线l斜率不存在时，直线方程为，则，AB边上中垂线为x轴， 若外心Q落在y轴上，则， 但此时，由，则不符合题意； 当直线l斜率存在时，设， 联立消去y可得， 则，， 因为A，B位于双曲线C的右支，则或， 则， 设AB的中点，则Q在AB的中垂线上， 所以，解得，所以， 由，可得，整理得， 由，得或（舍去）， 综上所述：直线方程为．故选：D． 二、多选题 【变式训练2-8】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，点为线段AB的中点，且，则下列结论正确的为（    ） A．N为的外心 B．M可以为C的焦点 C．l的斜率为 D．可以小于2 【解析】 由可得，则N为的外心，A正确； 易得直线斜率不为0，设，，联立可得， ，则，则，由可得， 即，则，则焦点为，B错误； 由作差得，即，C正确； ，则，D错误. 故选：AC. 【变式训练2-9】已知的三个顶点均在抛物线上，则下列命题正确的有（    ） A．若直线BC过点，则存在点A使为直角三角形； B．若直线BC过点，则存在使抛物线的焦点恰为的重心； C．存在，使抛物线的焦点恰为的外心； D．若边AC的中线轴，，则的面积为 【解析】设三点坐标分别为， A选项，直线BC过点，设BC方程为， 联立，消去x得，，， ，， 所以，而点O在抛物线上，故A正确； B选项，直线BC过点，设BC方程为， 联立，消去x，得，， 抛物线的焦点恰为的重心， ，， 将A点坐标代入抛物线方程，则，所以， 当时，，故B正确； C选项，设以抛物线焦点为圆心的圆半径为r， 其方程为，与抛物线方程联立得：，， 方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点， 不存在，使抛物线的焦点恰为的外心，故C不正确； D选项，AC的方程为，代入抛物线方程得， ，， 设AC中点轴，， ，代入抛物线方程得， ，，故D不正确. 故选：AB. 【变式训练2-10】设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（    ） A．点的中点在轴上 B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上 C．当的垂心在抛物线上时， D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形 【解析】对于A选项，抛物线的焦点为，准线方程为， 设点，则点，所以，线段的中点为，A对； 对于B选项，由抛物线的定义可知，则为等腰三角形， 因为为的中点，则，所以，的重心、垂心、外心、内心都在直线上， ，则直线的方程为， 联立可得，则， 所以，直线与抛物线相切，B错； 对于C选项，设点为第一象限内的点， 若的垂心在抛物线上时，设点，其中， 将点的坐标代入抛物线方程可得，可得，即点， 由题意可知，、、三点共线，，， 由可得，整理可得，解得， 所以，，即点，所以，，，C对； 对于D选项，当的垂心在抛物线上时，点，则轴，则， 此时，为直角三角形，D错. 故选：AC. 三、填空题 【变式训练2-11】设椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点．设过点作轴的垂线交于另一点，若是的外心，则的值为 ． 【解析】由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 代入得， 设，则，，则的中点坐标为 ∴ ∵是的外心，∴是线段的垂直平分线与的垂直平分线的交点， 的垂直平分线为，令，得， 即，，∴． 【变式训练2-12】已知双曲线的右焦点为，过点斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，点，若的外心的横坐标为0，则直线的方程为 . 【解析】由知，设直线的方程为， 联立方程组得， 由直线与双曲线右支交于两点可得     解得，即或. 设，则，因为， 所以线段的中点为， 且. 设，因为在线段的垂直平分线上，所以， 得，即，故. 因为，且， 所以，化简得， 得或（舍去），所以直线的方程为， 即直线的方程为或. 【变式训练2-13】已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为 . 【解析】取的中点为C，连接BC、、，如图所示： 因为，所以， 又C为的中点，所以为等腰三角形且， 因为点恰好为的外心，所以点在直线BC上，且， 由双曲线的定义知，则， 所以为等边三角形，则， 在中，即，化简得， 同时除以可得，解得或(舍去). 4、 解答题 【变式训练2-14】已知椭圆的左右焦点分别是，是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，已知的内切圆半径的最大值是椭圆的离心率是. （1）求椭圆的方程； （2）过作斜率不为0的直线交椭圆于两点，过作垂直于轴的直线交椭圆于另一点，连接，设的外心为，求证：为定值. 【解析】（1）由题意知∶，∴a=2c，， 设△的内切圆半径为r， 则. 故当面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时， 所以，把a=2c，代入，解得∶a=2，， 所以椭圆方程为 （2）由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB为， 代入椭圆方程得.， 设，则，，因此可得 所以AB的中点坐标为(，) 因为G是△ABQ的外心，所以G是线段AB的垂直平分线与线段BQ的垂直平分线的交点， 由题意可知B，Q关于y轴对称，故， AB的垂直平分线方程为 令y=0，得，即G(，0)，所以 又= 故，所以为定值，定值为4. 【变式训练2-15】已知抛物线C：，点P为y轴左侧一点，A，B为抛物线C上两点，当直线过抛物线C焦点F且垂直于x轴时，面积为2． （1）求抛物线C标准方程； （2）若直线为抛物线C的两条切线，设的外心为M（点M不与焦点F重合），求的所有可能取值． 【解析】（1）当直线过抛物线焦点F且垂直于x轴时，A，B两点横坐标为， 代入抛物线方程，可得，故，，得， 故抛物线C标准方程为． （2）设．直线的方程为： 联立得 ，得，所以直线，同理直线， 联立得则的中垂线方程分别为： ：，：． 联立解得：， 由于，故， ， 故，所以，则的所有可能取值为1． 【变式训练2-16】已知从曲线的左、右焦点分别为，实轴长为、一条渐近线方程为，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，若的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程． 【解析】（1）由题意，则，由渐近线方程，即，则，解得， 故双曲线. （2）已知，由（1）可知，，则，即， ①当直线斜率不存在时，直线方程为，将其代入双曲线方程， 可得，解得，则， 此时，为等腰三角形，边上中垂线为轴，若外心的横坐标，则，但此时，，，，由，则不符合题意； ②当直线斜率存在时，设， 联立可得，消去可得：， 设，则，， 由于位于双曲线的右支，则直线与渐近线方程应满足或， ，记的中点， 设，则在的中垂线上，设直线的斜率为，则， ，显然，则，可得， 由，则，又因， 可得， 整理可得：， ， ，，由，则， 直线方程为，即或. 【变式训练2-17】在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为，，平面内两点G，M同时满足以下3个条件：①G是△ABC三条边中线的交点：②M是△ABC的外心；③ (1)求△ABC的顶点C的轨迹方程； (2)若点P（2，0）与（1）中轨迹上的点E，F三点共线，求的取值范围 【解析】（1）设C（x，y），G（，），M（，）， 因为M是△ABC的外心，所以 所以M在线段AB的中垂线上，所以， 因为，所以， 又G是△ABC三条边中线的交点，所以G是△ABC的重心， 所以， 所以，又， 所以，化简得， 所以顶点C的轨迹方程为； （2）因为，，三点共线，所以，，三点所在直线斜率存在且不为0， 设所在直线的方程为，联立得． 由，得．设，， 则 所以 ． 又，所以，所以． 故的取值范围为． 【变式训练2-18】已知在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与它到直线的距离之比为2.记M的轨迹为曲线E. (1)求E的方程； (2)若P是曲线E上一点，且点P不在x轴上，作PQ⊥l于点Q，证明：曲线E在点P处的切线过△PQA的外心. 【解析】（1）解:设动点坐标为,则根据题意得, 两边同时平方,化简可得,所以曲线的方程为; （2）由题设点,因为点不在轴上,即, 所以曲线在点的切线斜率存在,设为,则在点的切线方程为:, 联立方程组:,整理得:, 因为双曲线的渐近线为,所以, ,令,得． 因为点在双曲线上,所以,即, 所以,因为，所以两边同时除以,解得． 所以在点的切线方程为,即． 因为,,所以, 所以直线中垂线方程为,即, 因为,,所以直线的斜率为,线段的中点为, 所以直线中垂线的斜率为, 所以直线中垂线的方程为． 联立直线与直线, 得外心坐标． 将外心横坐标代入过点的切线方程, 化简得到,与外心的纵坐标相等． 所以曲线在点的切线经过的外心． 题型03：圆锥曲线内心问题 【典型例题1】已知，分别为双曲线的左､右焦点，且，点P为双曲线右支上一点，M为的内心，若成立，则λ的值为（    ） A． B． C．2 D． 【解析】因为，所以，即， 所以，所以离心率，设的内切圆半径为， 则，又， 所以，即， 所以，所以.故选：B. 【典型例题2】已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（    ） A． B．椭圆的离心率是 C．的最小值为 D．的值为 【解析】对于A，因为椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，则，，，， 因为抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点， 所以由椭圆与抛物线的对称性可得，两点关于轴对称，不妨设，，， 因为四边形是菱形，所以的中点是的中点， 所以由中点坐标公式得，则， 将代入抛物线方程得，， 所以，则，所以，故A正确； 对于B，由选项A得，再代入椭圆方程得， 化简得，则，故，所以，故B错误； 对于C，由选项B得，所以，则， 所以，不妨设，则，且， 所以， 当且仅当且，即，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，连接和，如图， 因为的内心为，所以为的平分线，则有， 同理：，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 【典型例题3】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点为的内心，若，则的面积为 ． 【解析】延长交轴于点，设，则， ，因此，，得，因此． 设，，则内切圆的半径． 又，所以，即． 因为，所以，（椭圆的定义的应用） 由，可得，即，所以，故，（角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例） 因此，，由余弦定理得， 因此， 所以，故的面积为． 【典型例题4】已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明. 【解析】（1）圆的圆心为，半径， 因为，所以，又因为，所以， 所以， 所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上， 设双曲线的方程为，则，. 所以，， 又不可能在轴上，所以曲线的方程为.    （2）在轴上存在定点，使得的内心在一条定直线上. 证明如下：由条件可设：.代入， 得，设，，则 ，得， 所以 所以，取， 则 又，都在轴上方，所以的平分线为定直线， 所以在轴上存在定点，使得的内心在定直线上. 一、单选题 【变式训练3-1】已知点，分别是椭圆：的左、右焦点，点P是椭圆E上的一点，若的内心是G，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解析】设点G到各边的距离为，由，得，    即，由椭圆定义知，， 于是，所以椭圆E的离心率.故选：B 【变式训练3-2】已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且 ，若为的内心，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由椭圆的方程可得，，， 设内切圆的半径为，则，可得， 而，所以，所以， 所以，因为， 所以，即．故选：C． 【变式训练3-3】若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【解析】   如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为，则 设△内切圆的半径为，则， ， ∴，不妨设，则， ∴，因为椭圆的离心率为， ∴，故选：A. 【变式训练3-4】已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【解析】如下图示，延长到且，延长到且， 所以，即， 故是△的重心，即，又， 所以，而是的内心，则， 由，则，故，即.故选：D 【变式训练3-5】已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意， 在中，根据焦点到渐近线的距可得，离心率为2， ∴，解得：，∴ ∴双曲线的方程为.    记的内切圆在边，，上的切点分别为， 则，横坐标相等，，， 由，即， 得，即，记的横坐标为，则， 于是，得，同理内心的横坐标也为，故轴. 设直线的倾斜角为，则，（Q为坐标原点）， 在中，， 由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为， ∴，即，∴的范围是.故选：D. 【变式训练3-6】设为椭圆上的动点，为椭圆的焦点，为的内心，则直线和直线的斜率之积（　　） A．是定值 B．非定值，但存在最大值 C．非定值，但存在最小值 D．非定值，且不存在最值 【解析】连接并延长交轴于， 则由内角平分线定理可得：，，； 设，，，则，， ，则，又，则． ，则，，， 则， 直线和直线的斜率之积是定值．故选：A． 【变式训练3-7】已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】 由双曲线方程得：，，则，设内切圆与三边相切于点， ，，，， 又，，， 设，则，解得：，即； 同理可知：内切圆与轴相切于点； 分别为的角平分线，， 又，∽，则，设内切圆半径分别为， ，，即， ， 双曲线的渐近线斜率，直线的倾斜角， ，则， ，解得：， 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，； ，.故选：A. 二、多选题 【变式训练3-8】已知，分别为双曲线的左、右焦点，M为C的右顶点，过的直线与C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设点P，Q分别为，的内心，R，r分别为，内切圆的半径，则（    ） A．点M在直线PQ上 B．点M在直线PQ的左侧 C． D． 【解析】先证明一个结论：焦点在x轴上的双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标为. 过的直线与C的右支交于A，B两点，设点P为的内心， 设圆P与的切点分别为，则， 则，解之得 则切点的坐标为.切点与双曲线C的右顶点M重合， 则圆P与x轴的切点为双曲线C的右顶点M， 同理可得圆Q与x轴的切点为双曲线C的右顶点M.则直线的方程为， 双曲线C的右顶点M的坐标为，则点M在直线PQ上. 则选项A判断正确；选项B判断错误； 选项C：.判断正确； 选项D：由直线的方程为，可得.判断正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用椭圆与抛物线的对称性，可设的坐标，再由菱形的性质与中点坐标公式推得，从而求得的值，由此得解. 【变式训练3-9】已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线的离心率为 C． D． 【解析】 因为为正三角形，所以，所以， 所以，故A正确 将点坐标代入双曲线方程可得， 即，即， 即，即，设（），则， 解之得：或（舍）， 所以，所以，故B正确， ，故C错误， ， 设的内切圆半径为，则，，， ，， 所以，即，故D正确 故选：ABD 【变式训练3-10】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线交双曲线C的右支于A，B两点，I为的内心，O为坐标原点，则下列结论成立的是（    ） A．若C的离心率，则的取值范围是 B．若且，则C的离心率 C．若C的离心率，则 D．过作，垂足为P，若I的横坐标为m，则 【解析】对于选项A，当时，双曲线的渐近线方程为，其倾斜角分别为，，因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，所以的取值范围是，故A错误． 对于选项B，由双曲线的定义可知，又，故，，由，得，所以，连接 ，则，由得，在中，由余弦定理得， 得，故，故B正确． 对于选项C，因为C的离心率，所以，设的内切圆I的半径为r， 则，故C正确． 对于选项D，设，因为，AP为的平分线，所以为等腰三角形，，，则，在中，OP为中位线，所以．设的内切圆I与，，相切的切点分别为D，N，M，则， 又所以，，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 【变式训练3-11】已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点在双曲线的右支上，点到直线的距离为1．当时， 的内心恰好是点，则双曲线的方程 ． 【解析】当时，， 由于点到直线的距离为，所以直线的斜率， 因为点为的内心，故是双曲线上关于轴对称的两点， 所以轴，不妨设直线交轴于点，则，所以点的坐标为， 所以两点的横坐标均为，把代入直线的方程：，得， 所以两点的坐标分别为：， 设双曲线方程为：，把点的坐标代入方程得到， 所以双曲线方程为：. 【变式训练3-12】已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C在第一象限上的一点，且直线的斜率为，点B为的内心，直线PB交x轴于点A，且，则双曲线C的渐近线方程为 ． 【解析】如图所示，设内切圆与的三边分别相切于三点， 过P作轴于M点，因为，，， 又由双曲线定义得，即，由，故，即点横坐标为，因为直线的斜率为，所以，， 又因为，所以，故直线的方程为，令，可得，即， 因为，且，所以，故， 可得，， 在中，由余弦定理得， 即，化简得， 即，解得，或（舍去），所以， 故双曲线C的渐近线方程为或． 故答案为：或． 【变式训练3-13】已知双曲线的左、右焦点分别为，，M是双曲线C右支上一点，记的重心为G，内心为I．若，则双曲线C的离心率为 ． 【解析】如图，连接MG，MI并延长，与分别交于点O，D， 设双曲线C的焦距为2c，由题意，得， 因为，且G为重心，则，所以， 因为I为的内心，所以MD为的平分线， 所以，所以， 又，所以，， 设的内切圆半径为r，则M到x轴的距离为3r， 因为，， 所以，所以，所以双曲线C的离心率． 四、解答题 【变式训练3-14】已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率是，为椭圆上异于长轴端点的一点，，设的内心为，且． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知直线过定点，若椭圆上存在两点关于直线对称，求直线斜率的取值范围． 【解析】（Ⅰ）因为的内心为，且，所以，又因为， 所以，即椭圆的方程为. （Ⅱ）（ⅰ）由题意当时，显然合题意； （ⅱ）当时，设直线， 中点是， 由，得， 由得，    ① 由，得， 所以在直线上， 即，所以    ② ①②得，所以且． 综合（ⅰ）（ⅱ）即直线斜率的取值范围是． 【变式训练3-15】已知椭圆C：，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，的重心为G，内心为I，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线过定点，求实数k的取值范围． 【解析】（1）设，则，设，则由，可得， ∵，∴ ∴，即， ∵直线y与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切 ∴，∴，∴椭圆的方程为； （2）设，则直线方程代入椭圆方程可得， 由，可得，即， ∵，∴， ∴线段AB的中点R的坐标为， ∵线段AB的垂直平分线的方程为，R在直线上， ∴，∴m，∴， ∴，∴或． 【变式训练3-16】已知椭圆，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆相切，为其左右焦点，为椭圆上的任意一点，的重心为，内心为，且, （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知为椭圆上的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于两点，若的斜率满足，求直线的方程． 【解析】 （Ⅰ）设，，则 又，，， ，故． 又直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆相切，， ，．． （Ⅱ）若直线斜率不存在，显然不合题意； 则直线的斜率存在． 设直线为，直线和椭圆交于，． 将代入中得到： , 依题意：, 由韦达定理可知： 又 而 从而 求得,故所求直线的方程为：，即 【变式训练3-17】已知点是双曲线的左、右焦点，是右支上一点，的周长为，为的内心，且满足. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线与双曲线的右支交于两点，与轴交于点，满足（其中），求的取值范围. 【解析】（1）设内切圆半径为， 由题意. 所以，因为的周长为， 所以，所以， 所以，所以双曲线的标准方程为. （2）由题知，直线斜率存在且不为，可设其方程为， ，联立，整理得 因为直线与双曲线右支交于两点，则有， 解得，所以， 因为，所以， 所以，即，同理， 所以，① ② 两式相除得. 因为， 当与渐近线平行时，，此时， 因为与双曲线右支交于两点，所以，.所以，所以， 即的取值范围为. 【变式训练3-18】已知椭圆的右焦点为，点A，B在椭圆C上，点到直线的距离为，且的内心恰好是点D． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知O为坐标原点，M，N为椭圆上不重合两点，且M，N的中点H在直线上，求面积的最大值． 【解析】（1）设椭圆的左焦点为，则， 故点到直线的距离等于，因为的内心恰好是点D， 所以点到直线的距离相等且为，则即为点到直线的距离， 所以，即轴，由，令，则， 不妨取，则，故直线的方程为，即， 则点到直线的距离为，即， 又，所以，所以椭圆C的标准方程为；    （2）设，则， 因为M，N为椭圆上不重合两点， 则有，两式相减得， 则，即， 设直线的方程为， 联立，消得， ，解得， 所以，， 则， 原点到直线的距离，， 故， 当且仅当，即时，取等号，所以面积的最大值为． 题型04：圆锥曲线垂心问题 【典型例题1】已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解析】由点是抛物线上的两点，且， 根据抛物线的对称性，可得关于轴对称， 设直线的方程为，则， 因为的垂心恰好是抛物线的焦点， 所以，可得，即， 解得，即直线的方程为.故选：C.    【典型例题2】设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（    ） A．点的中点在轴上 B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上 C．当的垂心在抛物线上时， D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形 【解析】对于A选项，抛物线的焦点为，准线方程为， 设点，则点，所以，线段的中点为，A对； 对于B选项，由抛物线的定义可知，则为等腰三角形， 因为为的中点，则，所以，的重心、垂心、外心、内心都在直线上， ，则直线的方程为， 联立可得，则， 所以，直线与抛物线相切，B错； 对于C选项，设点为第一象限内的点， 若的垂心在抛物线上时，设点，其中， 将点的坐标代入抛物线方程可得，可得，即点， 由题意可知，、、三点共线，，， 由可得，整理可得，解得， 所以，，即点，所以，，，C对； 对于D选项，当的垂心在抛物线上时，点，则轴，则， 此时，为直角三角形，D错. 故选：AC. 【典型例题3】已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，若椭圆的右焦点恰好为的垂心，则直线的方程为 ． 【解析】易知，，直线的斜率为，因椭圆的右焦点恰好为的垂心，则，从而直线的斜率为2．设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立有， 消去y得：． 由，得，设，， 由韦达定理有：，．右焦点恰好为的垂心，故． 又，则 .解得或． 当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意； 当时，经检验知和椭圆相交，符合题意．故直线的方程为． 【典型例题4】如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.    (1)求抛物线C的标准方程； (2)求证：点P在定直线上. 【解析】（1）设直线l的方程为，，. 由得. 所以，.由抛物线定义，得 . 当直线l的倾斜角为30°时，，. 所以，即抛物线C的标准方程为. （2）由（1），得，. 因为的垂心为原点O，所以，. 因为，所以. 所以直线AP的方程为，即. 同理可得，直线BP的方程为. 联立方程解得 即.所以点P在定直线上. 一、单选题 【变式训练4-1】已知抛物线上有三点，，，的垂心在轴上，，两点的纵坐标分别为，，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【解析】点在抛物线上，纵坐标为，则，同理可得，设点，垂心，则，，即，化简得：，消去可得，解得或(舍)，故选：B 【变式训练4-2】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解析】如图所示： 双曲线的渐近线方程为，与抛物线联立， 解得或，所以，， 因为的垂心为的焦点，所以， 即，即，所以，故选：A 【变式训练4-3】在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（     ） A． B． C． D． 【解析】抛物线的焦点的坐标为， 设所在的直线方程为所在的直线方程为， 由得∴点的坐标为， ∵是的垂心，∴，∴ ∴﹒故选：C﹒ 【变式训练4-4】设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在直线上的射影为，若的垂心在抛物线上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解析】设点，则点，设点在第一象限， 抛物线的焦点为，设的垂心为， 由于，则点的横坐标为，可得点， ，则，，， ，解得， 所以，点的坐标为，所以，，.故选：B. 【变式训练4-5】设双曲线：的左顶点与右焦点分别为，，以线段为底边作一个等腰，且边上的高.若的垂心恰好在的一条渐近线上，且的离心率为，则下列判断正确的是（     ） A．存在唯一的，且 B．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内 C．存在唯一的，且 D．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内 【解析】由题意可设，设的垂心，则，，由可得，解得，故. 因为的垂心恰好在的一条渐近线上，所以，即，化简可得，设，则. 作出与的图象，因为当时，，当时，，故存在唯一的，且，使得当. 即存在唯一的，且，使得.故选：A. 【变式训练4-6】已知双曲线 的右焦点为，以坐标原点为圆心、为 半径作圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点，设为的垂心，恰有，则双曲线的离心率应满足（    ） A． B． C． D． 【解析】 连接交于，由题意知，，，，，， 在中，，，，所以，， 因为，，所以， ，，所以，整理得， 即，整理得， 设，，则，对称轴为，所以在单调递增，又，所以当时，，即在上单调递增，又，，所以.故选：B. 【变式训练4-7】记椭圆：的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，，，处的切线交于点，设的垂心为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解析】椭圆的左右焦点为，， 由题意，易知直线的斜率存在，（若斜率不存在，则三点共线，不能构成三角形），设直线的方程为，，， 对两边同时求关于的导数，得，则， 则椭圆在点处的切线斜率为， 则椭圆在点处的切线方程为， 即，即； 同理，椭圆在点处的切线方程为， 由得， 则， 所以，即； 又的垂心为，则，， 即轴，则的横坐标也为，记的纵坐标为， 由得，所以，则， 因此，因为过点，所以直线与椭圆必有两个交点，故且， 则， 当且仅当，即时，等号成立.故选：D. 二、多选题 【变式训练4-8】已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（    ） A．若中点纵坐标为2，则的斜率为2 B．若点恰为的垂心，则的周长为 C．若与的倾斜角互补，则的斜率恒为 D．若，则点纵坐标的取值范围是 【解析】对于选项A，设，，则由，在抛物线上可得，， 所以，当中点纵坐标为2时，，所以，A错误； 对于选项B，若点恰为的垂心，则由，可得，关于轴对称，所以， 则，，又由可得，所以， 则，，所以，，则的周长为，B正确； 对于选项C，若与倾斜角互补，则，即， 所以，则，故C错误； 对于选项D，若，由可得，即， 即（，与2互不相等）， 将看作关于的一元二次方程，令，解得， 又当时，，当时，方程无解，所以点纵坐标，故D正确， 故选：BD. 【变式训练4-9】双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（    ） A．外心的轨迹是一条直线 B．当变化时，外心的轨迹方程为 C．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上 D．若分别是中点，则的外接圆过定点 【解析】因为已知的内心到轴的距离为1，双曲线的虚轴长为2， 所以的内心横坐标，双曲线方程：，，渐近线. 设. 当点在双曲线上时： 设直线与双曲线交两点    当直线与双曲线相切时，此时切点满足： 切线 设直线与渐近线交两点    切点正是线段的中点， ∴；线段中垂线是. 中垂线与轴交于点，且. 可设 一方面，；另一方面，线段中点是 考虑到 ∴ ，点    确系之外心！其轨迹是直线.选项A正确！ 依（1）设 线段中点是 线段中垂线是，即 线段中垂线是，即 ∴ ，即外心的轨迹方程为.故选项B错！ （3）对来讲，若垂心在渐近线上可设坐标是，进而 化简得 ∴ 把代入并化简得： 考虑到不在渐近线上得，故 ∴，这不可能！垂心不能在上，同理不能在上，选项C错误； （4）设 共圆！ 的外接圆过定点原点，选项D对. 故选：AD 【变式训练4-10】瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，由，得，得， 由，得，得， 由，得，得， ， ， ， 若为重心、为外心、为垂心，则， 所以，化简得，此时双曲线的离心率， 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得不成立； 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得，此时双曲线的离心率， 若为重心，为垂心、为外心，则， ，化简得，此时双曲线的离心率； 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得或， 此时双曲线的离心率或， 若为重心，为垂心、为外心，则， 所以，化简得或都不成立. 综上所述：或或或. 故选：ABD 三、填空题 【变式训练4-11】若曲线：上一点，是否存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为．则直线的方程为 ． 【解析】把代入中，得，即， 假设存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为， 设，显然直线的斜率为， 则直线的斜率为，设直线的方程是，由，消去化简得： ，即∵的垂心为， ∴即 ，或 当时，直线的方程是，过点，不合题意，舍去， ∴存在这样的直线，其方程是 【变式训练4-12】已知抛物线方程为，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线的焦点F为（O为坐标原点）的垂心，则实数的值为 ． 【解析】由题意知， ,设，，则 ， 故 ，则，∴ 【变式训练4-13】已知点在椭圆C：上， 过点作直线交椭圆C于点的垂心为，若垂心在y轴上．则实数的取值范围是 ． 【解析】（1）当直线斜率不存在时，设， 此时，则，∴， 又，联立解得或（舍去），∴. （2）当直线斜率存在时，设，，设直线方程为：， 直线QT的斜率为，∵AB⊥QT，∴，即， 又∵BT⊥AQ，∴，即，（*） 联立化为，则，， ，∴， ， 代入（*）可得． ∴，解得， 综上可知：实数m的取值范围为． 四、解答题 【变式训练4-14】已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，O为坐标原点，若的面积为，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 【解析】（1）依题意得，，即，则， 又，则，所以所求椭圆的方程为． （2）由（1）知，故直线MF的斜率为． 若符合题意的直线l存在，可设直线， 由，消去y整理得， 则，即． 又， 则， 由F点恰为的垂心等价于，即． 由于，故 ， 所以或． 当时，直线PQ经过点M，此时不构成三角形，故舍去． 故直线l的方程为． 【变式训练4-15】若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”． （1）求椭圆C2的方程； （2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点) 【解析】（1） 由题意可知，椭圆C1的离心率， 设椭圆C2的方程为，则，， 解得，所以椭圆C2的方程为. （2） 证明：设，则由得 ， 把带入椭圆，得， 因为在轴的同侧，所以，所以， 所以, 所以，又，所以H为△PA1A2的垂心． 【变式训练4-16】已知分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线（斜率为）交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得射线平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设，由的垂心为，得， 所以，则，解得，所以. 由点在椭圆上，得，解得， 故椭圆的方程为. （2）假设存在定点满足题意，其坐标为， 易知直线的方程为，代入， 消去，得，， 设则， 所以 ， 由已知得对任意的恒成立， 所以，解得，此时点的坐标为. 所以存在定点满足题意，其坐标为. 【变式训练4-17】已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点. (1)求双曲线的方程 (2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上. 【解析】（1）因为双曲线的离心率为，所以，即， 所以双曲线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去得， 即，因为与双曲线C仅有一个公共点， 所以，解得, 故双曲线的方程为. （2）设，，则满足 消去得， 所以，， 如图所示，过A引的垂线交C于另一点H， 则AH的方程为. 代入得，即（舍去）或. 所以点H为. 所以 ， ，所以，故为的垂心，得证. 【变式训练4-18】已知抛物线：过点，为其焦点，过且不垂直于轴的直线交抛物线于，两点，动点满足的垂心为原点. （1）求抛物线的方程； （2）求证：动点在定直线上，并求的最小值. 【解析】（1）由题意，将点代入，即，解得， 所以，抛物线的方程为. （2）解析1：（巧设直线） 证明：设：，，，联立，可得，则有，可设：，即，同理：，解得，即动点在定直线：上. ，当且仅当时取等号.其中，分别为点和点到直线的距离. （2）解析2：（利用向量以及同构式） 证明：设：，，，联立，可得，则有.，，又为的垂心，从而，代入化简得：，同理：，从而可知，，是方程的两根，所以，所以动点在定直线：上. ，当且仅当时取等号.其中，分别为点和点到直线的距离. 1 学科网（北京）股份有限公司 $