第14讲 抛物线的硬解定理，定比点差法，极点极线及光学性质 讲义-2027届高考数学一轮复习抛物线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线专题，覆盖硬解定理、定比点差法、极点极线、切线方程、光学性质及阿波罗尼斯圆应用等核心考点，按知识要点梳理与题型归纳的逻辑架构，通过典型例题精讲与变式训练，帮助学生系统构建解题方法体系，突破解析几何综合问题难点。 资料以数学思维培养为核心，创新设计定比点差法证明、极点极线几何性质推导等教学活动，结合分层练习与真题演练，引导学生用数学语言表达问题、用数学眼光发现规律，有效提升学生综合解题能力，为教师精准把控复习节奏、高效突破高考高频考点提供实用教学方案。

第14讲 抛物线的硬解定理，定比点差法，极点极线及光学性质 目录 知识要点 1 题型归纳 14 题型01：硬解定理在抛物线中的应用 14 题型02：抛物线的定比点差法 22 题型03:抛物线的极点极线 28 题型04：抛物线中的切线方程和切点弦方程 31 题型05：抛物线中的光学性质 47 题型06：阿波罗尼斯圆在抛物线中的应用 55 知识点一：抛物线的硬解定理 1.抛物线与直线 图7 如图7，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 2.抛物线与直线 图8 如图8，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 3.抛物线与直线 图9 如图9，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 4.抛物线与直线 图10 如图10，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 知识点二：定比点差法 1.定比分点坐标公式 1.定比分点：若，则称点为点，的定比分点． 当时，点为点，的内分点，点在线段上； 当时，点在线段的延长线上； 当，时，点为点，的外分点， 当时，点在线段的反向延长线上； 当时，点在线段的延长线上． 2.定比分点坐标公式： 已知，若点)满足，求点的坐标． 2.定比点差法 当为椭圆上的两点，为弦上任意一点时，设点满足若在椭圆则; 点满足，可得到 ， ①－②得： ， 联立消元后即可用与定分比表示. 性质：当直线与轴交点为，即时，，于是有 1. ，； 2. ； 3. ； 4. （1）若为左焦点，则，； 注：利用定理“过点的直线交椭圆：于，两点，则有．”求点横坐标也可求得． （2）若为右焦点，则，． （3）若A,B为椭圆上的两点，直线AB与x轴交于点P，与y轴交于点Q，且，. 结论： ①)P为左（右）焦点； ②。 且①②互为充要条件. 结论拓展 1.在抛物线中，A,B为抛物线上两点，P,Q分别在x轴、y轴上，，. ①P为焦点；②.则①②互为充要条件. 2.双曲线一定有：①P为焦点；②. 综合拓展：①（t为定值）；②P为x轴一定点(m,0)。则两者互为充要条件：. 应用一：利用定比分点证明特征直线的方程 在椭圆或双曲线中，设A,B为曲线上两点，若存在P,Q满足，，则一定有： 证明：若，，且，则。 若，则。 代入椭圆方程： (1)-(2)可得： 即： 故： 抛物线中的调和分点性质 在抛物线中，设A,B为抛物线上两点，若存在P,Q满足，，则一定有： 证明： 设，，，则。 ， 则. 代入抛物线方程： (1)-(2)得： 即： 化简得： 故： 核心原理：定比点差的本质是两个互为调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程. 应用二:坐标轴上定点弦与定比点差法 （一）：定点在x轴 过定点的直线与椭圆相交于A,B两点，设，，. 则在直线AB上一定存在点Q满足，根据定比点差法可知： 一定有： 证明： 解得： （二）：定点在y轴 过定点的直线与椭圆相交于A,B两点，设，，. 则在直线上一定存在点Q满足，根据定比点差法可知： 同理： （三）：抛物线为载体 过定点的直线AB和抛物线相交，设，，. 则有： 即： 证明： 由，可得： 联立抛物线方程： 两式相减得： 代入定比分点坐标关系，，化简得： 应用三:非轴点弦的定比点差法 设椭圆，点在椭圆上，且，. 则 点的坐标都可以用只含有（或）的式子表示出来. 证明： 由得 即 利用定比点差法： 两式相减得 代入，，化简即得上述结论. 代入，消去，整理可得： 如果消去，整理可得： 在上述椭圆结论的基础上，可推广至抛物线。设为抛物线上的点，且，，则有对偶公式： 知识点三：极点极线　 1. 极点极线的代数定义 对于二次曲线，我们称点（非二次曲线的中心）与直线是关于曲线的一对极点极线，也称点P为直线l关于曲线的极点，直线l为点P关于曲线的极线． 二次曲线的替换法则　 对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常数项不变，可得方程： ． 2.圆锥曲线中的极点极线（以椭圆为例） 设椭圆方程为，点为平面内任意一点，则： （1）极线：对应点的极线方程为； （2）极点：若直线是某点的极线，则该点（极点）坐标可通过极线方程反推：将直线方程化为，对比极线标准形式，得极点为（时极线过原点，极点在无穷远）. 3.极点与极线的几何性质（核心） （1）位置关系：极点位置决定极线位置 ①若极点在曲线上，则极线为曲线在点的切线（验证：代入满足椭圆方程，极线方程即为切线方程）； ②若极点在曲线外，则极线为过作曲线两条切线的切点连线（切点弦）； ③若极点在曲线内，则极线为曲线的一条弦的极点轨迹（过的弦的两端点切线交点轨迹即为极线）. （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 ①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 注：极点极线的相关结论在高考中不能直接使用，需要在解题过程中利用常规方法进行推导和证明．在运用极点极线解题时，要确保对基本概念和性质的准确理解和运用，避免因概念不清或错误运用性质导致解题错误． 高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下 (1) 圆　①极点关于圆的极线方程是：； ②极点关于圆的极线方程是： ； ③极点关于圆的极线方程是： ． (2) 椭圆　极点关于椭圆的极线方程是：． (3) 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：． (4) 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：． 4.极点极线的几何意义　 (1)  若极点P在二次曲线上，则极线是过点P的切线方程． (2) 若极点P在二次曲线外部，极线在二次曲线内的部分是点P对二次曲线的切点弦AB； (3) 若极点P在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P的弦AB、CD的两端端点作切线，得到的直线MN即为点P对应的极线． 知识点四：抛物线的光学性质 如图 所示, 从抛物线的焦点 发出的光线, 被抛物线反射后, 得到的是一系列的与抛物线对称轴平行 (或重合) 的光线; 如图 所示, 设抛物线在 处的切线 l交对称轴于点 上切线 l交对称轴于点 , 则焦点 是 的中点. 题型01：硬解定理在抛物线中的应用 【典型例题】如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B. （Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由. （1）证明见解析（2）抛物线方程为或⑶仅存在一点M(0，-2p)适合题意 【详解】（Ⅰ）证明：由题意设 由得，则 所以 因此直线MA的方程为　　　 直线MB的方程为 所以① ② 由①、②得　 因此　，即 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时， 将其代入①、②并整理得： 　　所以　x1、x2是方程的两根， 因此 又 所以 由弦长公式得 又，所以p=1或p=2， 因此所求抛物线方程为或 （Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2), 则CD的中点坐标为 设直线AB的方程为 由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上， 代入得 若D（x3,y3）在抛物线上，则 因此　x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或   （1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.   （2）当，对于D(0，0)，此时 又AB⊥CD，所以 即矛盾. 对于因为此时直线CD平行于y轴， 又 所以　　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾， 所以时，不存在符合题意的M点. 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意 【变式训练1-1】在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程； (2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值. 【详解】(1) 因为， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为. （2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立 如图所示，设, 设直线的方程为． 联立, 化简得. 则． 故． 则． 设的方程为，同理． 因为，所以， 化简得， 所以，即． 因为，所以． [方法二] ：参数方程法 设．设直线的倾斜角为， 则其参数方程为， 联立直线方程与曲线C的方程， 可得， 整理得． 设， 由根与系数的关系得． 设直线的倾斜角为，， 同理可得 由，得． 因为，所以． 由题意分析知．所以， 故直线的斜率与直线的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理 因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆． 设,直线的方程为， 直线的方程为, 则二次曲线． 又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为： ， 整理可得： ， 其中． 由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即. 【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中. 方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单. 【变式训练1-2】抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析 【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论； （2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线， ， 所以抛物线的方程为， 与相切，所以半径为， 所以的方程为； （2）[方法一]：设 若斜率不存在，则方程为或， 若方程为，根据对称性不妨设， 则过与圆相切的另一条直线方程为， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意； 若方程为，根据对称性不妨设 则过与圆相切的直线为， 又， ，此时直线关于轴对称， 所以直线与圆相切； 若直线斜率均存在， 则， 所以直线方程为， 整理得， 同理直线的方程为， 直线的方程为， 与圆相切， 整理得， 与圆相切，同理 所以为方程的两根， ， 到直线的距离为： ， 所以直线与圆相切； 综上若直线与圆相切，则直线与圆相切. [方法二]【最优解】：设． 当时，同解法1． 当时，直线的方程为，即． 由直线与相切得，化简得， 同理，由直线与相切得． 因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为． 所以直线与相切． 综上所述，若直线与相切，则直线与相切． 【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路 题型02：抛物线的定比点差法 【典型例题1】在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上. 【答案】（1）（2）总在定直线上. 【分析】 【详解】（1）过三点的圆的圆心为,则圆心在的中垂线上， 则，又点到抛物线的准线的距离为 所以，则 所以抛物线的方程为. （2）设，记. 则，， 联立可得， 又，代入得， 所以总在定直线上. 【变式训练2-1】已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点。过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点. (1)若直线l与圆相切，求直线的方程； (2)若直线l与y轴的交点为D，且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 【解析】 (1)由抛物线的方程可得焦点F（1,0），显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为. 联立： 整理得： 则，整理得： 解得，所以直线的方程为： (2)抛物线中定值推导 因为，，令，. 根据定比分点公式： 由于均在抛物线上，代入得： 化简得： 两式相减并因式分解： 因为，所以. 【变式训练2-2】过点的动直线与抛物线：相交于两不同点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 【答案】点总在某定直线上． 【分析】由于线段成比例，因此考虑设比值：，结合图形有，利用向量坐标关系可得：设，，由于在抛物线上，所以，因此等价变形得，即 解法一：设，记. 则，， 联立可得， 又，代入得，∴ ∴点总在某定直线上． 解法二：类比下题方法 过点的动直线与抛物线:交于，两点，在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上. 【答案】点在定直线上. 【分析】设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系.利用向量的坐标运算建立中的关系式，由此求得点所在定直线方程. 证明：设，，， 直线的方程为. 由得， ，. 由，，得，， 故，化简得. 又，故， 化简得，即，则或. 当点在定直线上时，直线与抛物线只有一个交点，与题意不符. 故点在定直线上. 【变式训练2-3】设抛物线的焦点为F，过点P(0,4)的动直线l与抛物线C交于A,B两点，当F在l上时，直线l的斜率为.-2 (1)求抛物线的方程； (2)在线段AB上取点D，满足，，证明：点D总在定直线上. 【解析】 (1)由焦点，直线斜率为，解得，故抛物线方程为： (2)设，，，则. ，则. 联立： 得： 即： 化简得： 则有： 即： 故点D总在定直线上. 【变式训练2-4】已知抛物线焦点为F，点D(p,0)。过焦点F做直线l交抛物线于M,N两点，且轴时，. (1)求抛物线方程； (2)若直线MD,ND与抛物线的另一个交点分别为A,B。若直线MN,AB的倾斜角为，当最大时，AB的方程. 【解析】 (1)当轴时，。 由，解得。 抛物线方程： (2)设，，由定比点差法得： 同理设，，得： 由三点共线，得. 计算斜率： 得，即. 令，，则. 当且仅当时取等号. 代入斜率关系得，结合解得，. 直线AB方程： 代入，，化简得： 当时，舍去. 【变式训练2-5】已知抛物线焦点为F，准线为，为E上一点，，垂足为M，且. (1)求E的标准方程； (2)过点（其中）且斜率为k的直线与E交于，两点，C，D是E上的两点（异于A，B），且满足，. （i）证明：，； （ii）是否存在k和a，使得?若存在，求k和a的所有取值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）存在，， 【分析】（1）利用抛物线的定义可得是等边三角形，进而根据定义求； （2）（i）利用过焦点的直线与抛物线的两交点的纵坐标之积为定值，再结合向量的坐标运算，即得到证明； （ii）利用直线与抛物线的两交点的横坐标之积为定值，再把线段长度问题转化为坐标问题，来进行化简求解可得，再利用判别式可得的范围. 【详解】（1） 连接，过作,根据抛物线的定义可知，，又因为， 所以是等边三角形，由，可知等边的高为， 可知，根据抛物线方程， 可知准线为，焦点为，所以， 故抛物线方程为； （2） （i）由，，，可设，则 因为，所以即， 又因为，可得， 再因为，代入上式可得， 整理得：，由于，所以， 则由，即， 同理可证明； （ii）根据题意可知直线的斜率显然存在且不为0，可设方程为， 与抛物线联立方程组，消得：， 因为有两个交点为，所以 由韦达定理得：， 分析的充要条件： 由得，，即，同理， 代入可得：， 再由抛物线的定义可得： 结合， ，可得， 整理得：，又因为，所以， 又因为，所以，又因为，所以， 代入，得，由于， 所以当的取值范围为，且时，有. 题型03:抛物线的极点极线 【典型例题】 过点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，证明以下结论 （1）直线与抛物线有1个公共点； （2）直线恒过定点； （3）点的轨迹方程是； 【详解】（1）由于点的极线为直线，点为直线上一点， 且直线与抛物线相切，则过点的直线为点的极线方程， 则直线为切点弦，故点为切点。则直线与抛物线有1个公共点。 （2） 设点，则直线方程为：，即， 则；又，且，则直线，， 故三点共线，则直线恒过定点； （3），即，则点为以 直径的圆，轨迹方程是； 【变式训练3-1】已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过另一条直线交于两点，其中在轴上方，设为直线与直线的交点，证明G在定直线上． 【答案】 【详解】 由、、、， 则，由、， 故， 同理可得，联立两直线，即， 有， 即， 有，由，同理， 故， 故， 【变式训练3-2】已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. （1）求C的方程. （2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）解：设，，直线方程与抛物线方程联立方程组消去后应用韦达定理得，利用焦半径公式及韦达定理的结果可求得得抛物线方程； （2）设，，，把两点坐标代入抛物线方程相减琍，同理可得，然后求得交点的横坐标为常数即证（由．化为坐标表示后相加即可得）． 【详解】 （1）解：设，，由，得， 则， 从而， 解得，故的方程为. （2）证明：设，，，. 因为，所以. 根据得，则， 同理得. 又两式相加得， 即，由于，所以. 故点在定直线上. 【点睛】 方法点睛：本题考查直线与抛物线相交求抛物线的方程，点在定直线上等问题，解题方法一是应用韦达定理得出交点的坐标之和，利用焦半径公式求解，二是把交点坐标代入抛物线方程相减同弦中点坐标与弦所在直线斜率之间的关系． 题型04：抛物线中的切线方程和切点弦方程 【典型例题1】过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 . 【答案】 【分析】解法一：设切线方程为，联立切线方程与抛物线方程，由，得，则切线方程可求. 解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率，再由点斜式方程求得答案. 【详解】解法一：由题意，切线方程一定存在，设切线方程为． 由⇒⇒， 由，得， ∴. 故切线方程为，即. 故答案为：. 解法二：由得，∴. ∴. ∴切线方程为，即. 故答案为：. 【典型例题2】过点作抛物线的切线，切点分别记为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设切点，，利用导数求出点处的切线斜率结合点斜式得切线方程，再结合切线所过的点和切点在抛物线化简得，同理点B得解. 【详解】设切点，，由得，求导得， 则上切点处的切线斜率， 所以在点处的切线方程为， 因为切线过点，所以， 结合，化简得， 同理可得， 故点，均在直线上， 所以直线的方程为. 故答案为：. 【典型例题3】已知点是抛物线：上的一点. (1)若点横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程； (2)过点作圆：的两条切线，交抛物线的准线于、两点. ①若，求点纵坐标； ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①2；② 【分析】（1）将抛物线转化为二次函数，结合导数的意义求切线斜率，从而得到切线方程； （2）①利用切线长定理表示的周长，结合内切圆半径公式和三角形面积公式均可得到的面积，从而得到点纵坐标； ②利用三角形面积公式可将的面积表示为的式子，通过换元和均值不等式得到面积的最小值. 【详解】（1）的横坐标为4，， 又，求得， 抛物线在处的切线斜率为， 切线方程为， 即. （2）设与圆相切于点，与圆相切于点， 与圆相切于点，由切线长相等可得： ，，， 周长为， ， 设，由题意设，（在轴左侧时，由对称性可知三角形面积相同）， ， ， ， ①由，则， 解得，所以点的纵坐标为2. ②， 令，则， ，， 当且仅当，即时，面积最小值为. 【点睛】关键点点睛：解题关键在于利用切线长定理表示的周长，进而利用三角形内切圆半径公式表示的面积. 【变式训练4-1】抛物线中，以为切点的切线方程为 【答案】 【分析】先对抛物线方程求导，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程. 【详解】已知抛物线方程，将其变形为. 因为点在抛物线上，所以在点处切线的斜率可对求导完成. ，切线过点，则斜率. 根据点斜式方程可得切线方程为，即. 故答案为：. 【变式训练4-2】抛物线在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】设出切线，联立抛物线与切线消x得一元二次方程，由解出参数即可得切线方程. 【详解】设切线为，联立抛物线与切线消x得，由得，故切线为. 故答案为：. 【变式训练4-3】已知抛物线C：过点. (1)求过点M的抛物线C的切线方程； (2)若A，B是抛物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：将点的坐标代入抛物线方程求得，设出切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式法求得切线斜率，代入点斜式方程即可求解；解法二：将点的坐标代入抛物线方程求得，利用导数法求得切线斜率，代入点斜式方程即可求解； （2）设，，利用得，设直线AB的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理代入得，从而求得直线AB过定点，易知当时，点M到直线AB的距离最大，利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】（1）将M的坐标代入抛物线C的方程中，得，故抛物线C的标准方程为. 解法一 ：由题意知过点M的抛物线的切线的斜率一定存在且不为0， 设过点M的抛物线的切线方程为， 将其代入，得， 由，得， 故过点M的抛物线C的切线方程为. 解法二 ：当时，由得，而， 所以过点M（1，2）的抛物线C的切线的斜率为1， 故过点M的抛物线C的切线方程为，即； （2）设，，则，同理， 故，化简得. 易知直线AB的斜率不为0，则可设直线AB的方程为， 将其代入，得，所以，， 所以，即， 直线AB的方程为，直线AB过定点. 连接MQ，易知当时，点M到直线AB的距离最大， 故点M到直线AB距离的最大值为. 【变式训练4-4】如下图所示，过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，与抛物线相切于点，与轴分别交于点，求四边形面积的最大值．    【答案】． 【分析】设，，则切点弦的方程为，与抛物线方程联立即可求出，进而求出，再求切线方程即可求出，化简求出四边形的面积，最后结合的范围求一元二次函数的最值即可. 【详解】设点，，则切点弦的方程为， 设，联立，得， 从而， 则， 点到直线的距离为， 则， 由，得，则， 则直线， 则，同理可得，， 故， 故四边形的面积为 ， 当时，，， 当且仅当时，两个等号同时成立， 故四边形的最大值为． 【变式训练4-5】直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，． (1)求； (2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设，，根据中点坐标公式可得，利用抛物线的定义求焦点弦，列式求解即可； （2）易知直线斜率必存在，设为，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合两点式斜率公式即可证明； （3）利用焦半径公式及（2）的韦达定理求出点的坐标，利用焦半径求出，利用导数法求得在点处的切线方程，利用点到直线的距离求出的高，即可求解面积. 【详解】（1）设，，线段中点设为，则， 由题意，抛物线的焦点为， 根据抛物线的定义得，所以； （2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意. 所以直线斜率必存在，设为， 与抛物线联立得：，所以，得， 所以直线的斜率之积为，所以直线的斜率之积为定值，该定值为； （3）由（1）知，，由题意，所以， 所以或，当时，，此时，，由得， 所以过点A的切线方程为，即， 过点B的切线方程为，即， 联立得， 又的斜率，即，即， 所以到的距离，因为， 所以的面积为； 当时，， 此时，，由得， 所以过点A的切线方程为，即， 过点B的切线方程为，即， 联立得， 又的斜率，即，即， 所以到的距离，因为， 所以的面积为； 综上，的面积为 【变式训练4-6】如图，已知抛物线：与点，过点作的两条切线，切点分别为，．    (1)若，求切线的方程； (2)若，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）由题意设切线：，联立抛物线方程可得关于y的一元二次方程，由求出k即可求解； （2）易知直线PA斜率不存在求得直线，恒过定点；当直线PA斜率存在时，设，，切线：，联立抛物线方程得关于y的一元二次方程，由求出k，则PA：，同理可得：，结合题意可得：，根据直线恒过定点问题，即可证明. 【详解】（1）显然切线的斜率存在且不为0，设切线：， 代入，得， 由，解得 所以直线的方程为，即． （2）若直线PA的斜率存在，设，，：， 代入，得 由，解得． 所以直线的方程为，即 同理直线的方程为 因为在直线和上， 所以， 可得点，在直线上， 所以直线的方程为，因为， 所以，则直线的方程为， 由，得，故直线过定点. 若直线PA的斜率不存在，则，设直线， 代入，得，由，解得， 此时，解得，得， 即，所以，恒过定点； 综上：直线过定点.    【变式训练4-7】已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求直线l的方程； (3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标求得，即可求解； （2）根据点差法，结合斜率公式即可求解直线的斜率，进而可判断直线过焦点，由焦点弦公式即可求解； （3）设设抛物线的切线方程为，联立直线与抛物线得交点坐标关系，设的方程为，联立，求出、，进而求得，利用点到直线的距离公式求出点到直线线的距离，根据三角形面积公式列关系利用导数求出最值即可. 【详解】（1）因为抛物线：的焦点为， 所以， 所以抛物线. （2）由题易知直线的斜率存在．设，则可得． 因为线段的中点为，所以， 所以，则的方程为，即． （3）设抛物线的切线方程为， ，即，由，可得， ，设的方程为， 联立， ，同理， ， 点到直线线的距离，所以， 令， 因为，则，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，此时. 【变式训练4-8】已知抛物线． (1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； (2)求过点的抛物线的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，，设直线的方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标求得参数值得直线方程； （2）设切线方程，代入抛物线方程后由判别式为0求得参数值，得切线方程． 【详解】（1）当直线的斜率为时，与抛物线只有一个交点，故不合题意， 所以直线的斜率不为0，设直线的方程为 由，消去得 则 设，，所以 因为的中点为，所以， 所以，所以直线的方程为， 即； （2）若过点的切线斜率为，则该直线与抛物线相交，所以不合题意， 所以过点的切线设为 由消去得, 则有 所以或， 所以所求切线方程为或 即或 【变式训练4-9】已知线段是抛物线的弦，且过抛物线焦点. (1)过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，求证：三点共线(为坐标原点)； (2)设是抛物线准线上一点，过作抛物线的切线，切点为. 求证：（i）两切线互相垂直； （ii）直线过定点，请求出该定点坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析. 【分析】（1）由题知抛物线的焦点，准线为，故设直线的方程为：，，进而得，再结合韦达定理证明即可； （2）(i) 设，过作抛物线的切线，斜率为，则方程为,切线的切线斜率分别为，进而结合韦达定理即可得，进而证明； （ii）结合（i）得，进而得，直线的方程为，整理即可得，进而得定点坐标. 【详解】（1）解：由题知抛物线的焦点，准线为， 所以，设直线的方程为：， 所以，联立方程得， 设 ，则， 因为过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，所以 因为，故 所以 ，， 所以，，即三点共线. （2）解：（i）设， 所以，设过作抛物线的切线，斜率为，则方程为， 所以，得， 所以，，即， 设切线的切线斜率分别为， 则为方程的实数根， 所以，， 所以，两切线互相垂直. (ii)由（i）知，， 所以，，即， 所以， 所以，， 所以，直线的方程为， 整理得，即 所以，直线过定点. 【变式训练4-10】已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②的取值范围为. 【分析】（1）由双曲线定义即可求解； （2）①由切线方程和导数几何意义依次求出和即可得证； ②求出直线的方程，与曲线联立，利用判别式结合焦半径公式即可求解. 【详解】（1）设， 则即 ， 所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且 所以动点的轨迹方程为. （2）①证明：由（1）曲线:,，设， 对函数求导得， 所以两切线方程为：，即， 又切线过点P，所以， 即满足，即满足方程， 所以， 设， 则由， 所以，即三点在直线上，即三点共线； ②由上得，所以直线的方程为即， 联立， 因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根， 所以， 所以. 所以的取值范围为. 题型05：抛物线中的光学性质 【典型例题1】抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点F发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线．若一条平行于x轴的光线从M(3，1)射出，经抛物线y2=4x上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B反射出，则直线AB的斜率为_______. 【解析】如图，由题干信息，A、F、B三点共线， 又，所以直线的斜率. 【答案】 【典型例题2】抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C:y2=2px(p>0)，一条光线从点P(4,2)沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点M，经点M反射后与C交于另一点N．若，则△MON的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，用韦达定理和得出的值和、的坐标，然后由三角形的面积公式即可求解. 【详解】依题意，由抛物线性质知直线过焦点， 设，，直线的方程为， 由，得：，所以，， 则，又，所以， 而，故，所以. 故选：A. 【典型例题3】抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点F发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线.现有抛物线y2=2px(p>0)，如右图所示，一平行于x轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行于x轴的方向射出，若两平行光线间的最小距离为8，则p=_____. 【解析】如图，，设，，其中，， 则入射光线和反射光线所在的直线分别为，，由抛物线的光学性质，A、F、B三点共线，所以，化简得：，两平行光线之间的距离， 当且仅当时取等号，所以d的最小值为，由题意，，故. 【答案】4 【典型例题4】抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：，一条平行于y轴的光线，经过点，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，即可转化求解. 【详解】由题意可知，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以，得， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B 【变式训练5-1】用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为，平行于x轴的光线从点射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由题意求出A点坐标，根据光线反射的性质求出反射光线的方程，即可求出B点坐标，利用两点间距离公式，即可求得答案. 【详解】由抛物线C的方程为，可得其焦点为， 由于，故点纵坐标为4，代入中，即， 即，由题意知反射光线经过点， 则的方程为，联立，得，即得， 故， 故选：C 【变式训练5-2】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，抛物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，一条光线沿射出，经过抛物线上的点（异于点）反射，反射光线经过点，若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的方程，联立其与抛物线方程求出，代入抛物线方程可求出，再运用抛物线焦点弦公式可得，解方程即可. 【详解】如图所示， ，设，，直线AB的方程为， ， 则，解得：， 将代入得， 又因为， 即：，即：， 又因为， 所以，即：， 所以抛物线方程为. 故选：B. 【变式训练5-3】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C．13 D．15 【答案】D 【分析】求出点的坐标，利用抛物线的光学性质，结合三点共线求出点的坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得， 由抛物线的光学性质，得点共线，设，则， 解得，点，于是，，， 所以的周长为. 故选：D 【变式训练5-4】抛物线有一个重要性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线：上的点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（    ） A． B．24 C．32 D． 【答案】D 【分析】易得点A和C的焦点坐标，从而达到直线AB的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用抛物线的定义求解. 【详解】解：由题意得点A的坐标为，C的焦点为， 所以直线AB的方程为， 与抛物线方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 所以， 所以由抛物线的定义得． 故选：D 【变式训练5-5】抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可. 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 【变式训练5-6】抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义求出即可得解. 【详解】根据抛物线的光学性质可知与轴平行， 所以由抛物线定义可知， 解得， 所以抛物线的标准方程为， 故选：D 【变式训练5-7】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出直线方程，与抛物线方程联立求出点的坐标即得. 【详解】抛物线的焦点为，准线为，由点在抛物线上，则， 直线方程为：，即， 由，消去得，解得或，由，得， 于是，， 而， 所以的周长为. 故选：D    【变式训练5-8】抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得，进而可得直线的方程为，设，，与抛物线方程联立方程可求得，可求得，进而可得，利用余弦定理可求得. 【详解】如图，在中，，所以， 所以， 又因为轴，所以，因此， 故直线的方程为，联立，得， 设，，则，由抛物线的定义知， 而，所以，在中，，， 由余弦定理，得， 解得． 故答案为：. 题型06：阿波罗尼斯圆在抛物线中的应用 【典型例题1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】B 【分析】将圆用阿氏圆表示，得到，将问题转化为求最小值问题，利用二次函数求最值即可得到． 【详解】易知抛物线的焦点， 不在圆E上， 将圆变形为： 即， ，当且仅当三点共线时取等号； 设，则，当且仅当时取等号； 所以，故 所以的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题解题的关键是借助题目的背景提示，将圆用阿氏圆表示，分别用几何法和代数法求最值． 【典型例题2】已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，结合题意可得点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可. 【详解】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示， 设阿氏圆圆心为，半径为， 因为，所以，所以， 设圆与交于点，由阿氏圆性质，知， 又，所以， 又，所以，解得，所以， 所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球， 当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点， 所以点在面内的轨迹为， 因为在中，，所以， 所以，所以点在面内部的轨迹长为， 同理，点在面内部的轨迹长为， 当点在面内部时，如图3所示，因为平面， 所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆， 截面圆与分别交于点，且， 所以点在面内的轨迹为，且， 综上，点的轨迹长度为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长. 【变式训练6-1】（多选）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，若点Q为抛物线E：上的动点，Q在直线上的射影为H，F为抛物线E的焦点，则下列选项正确的有（    ） A．的最小值为2 B．的面积最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A选项，由抛物线定义得到，数形结合得当三点共线时取得最小值，得到A正确；B选项，求出点的轨迹为以为圆心，3为半径的圆，求出到直线的距离最大值，从而得到面积的最大值；C选项，数形结合得到要想取得最大值，则需最大，当与垂直时，取得最大值，并根据求出正弦值，利用三角形面积公式求出此时的面积，D选项，由题意及抛物线定义得到，求出四点共线时，取得最小值，求出答案. 【详解】A选项，抛物线的准线方程为，， 由抛物线定义可得， 则， 由三角形三边关系可得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 故的最小值为，A正确； B选项，由题意得，点的轨迹方程为， 化简得，即以为圆心，3为半径的圆， 直线，即， 圆心到直线的距离为， 则到直线的距离最大值为， 又， 故的面积最大值为，B错误； C选项，为定值，由勾股定理得， 且，， 要想取得最大值，则需最大， 如图所示，当与垂直且在图中位置时，取得最大值， 其中，故，，， 故当最大时， ， 则的面积为，C正确； D选项，由题意得，， ， 连接，线段与圆和抛物线的交点分别为， 即四点共线时，取得最小值， 最小值为， 故最小值为，D正确. 故选：ACD 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 【变式训练6-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用关系列方程化简可得轨迹方程，由，抛物线定义可得，根据结论两点之间线段最短可求最小值. 【详解】设为所求轨迹上任意一点， ∵，，动点满足， ∴， ∴， ∴， 化简可得动点的轨迹方程为； ∵抛物线C：的焦点为，准线为， 所以， ∴ ， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， ∴的最小值为 故答案为：；    【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键在于结合条件及抛物线定义将问题转化为求的最小值. 【变式训练6-3】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点Q为抛物线E：上的动点，Q在轴y上的射影为H，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，当且仅当四点共线时取等号. 【详解】设，已知，， 则，化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆； 抛物线的焦点，准线方程为， 则， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 又， 所以的最小值为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是利用三角形两边之和大于第三边，当三点共线时取等号. 【变式训练6-4】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】设点坐标，根据题意写出关于与的关系式化简即可；利用抛物线的定义可知，进而可得，即得. 【详解】设点，， ∴. 抛物线的焦点为点，由题意知，， ∴. 故答案为：；. 【变式训练6-5】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用关系列方程化简可得轨迹方程，由，抛物线定义可得，根据结论两点之间线段最短可求最小值. 【详解】设为所求轨迹上任意一点， ∵，，动点满足， ∴， ∴， ∴， 化简可得动点的轨迹方程为； ∵抛物线C：的焦点为，准线为， 所以， ∴ ， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， ∴的最小值为 故答案为：；    【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键在于结合条件及抛物线定义将问题转化为求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 抛物线的硬解定理，定比点差法，极点极线及光学性质 目录 知识要点 1 题型归纳 15 题型01：硬解定理在抛物线中的应用 15 题型02：抛物线的定比点差法 17 题型03: 抛物线的极点极线 18 题型04：抛物线中的切线方程和切点弦方程 19 题型05：抛物线中的光学性质 24 题型06：阿波罗尼斯圆在抛物线中的应用 28 知识点一：抛物线的硬解定理 1.抛物线与直线 图7 如图7，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 2.抛物线与直线 图8 如图8，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 3.抛物线与直线 图9 如图9，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 4.抛物线与直线 图10 如图10，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 知识点二：定比点差法 1.定比分点坐标公式 1.定比分点：若，则称点为点，的定比分点． 当时，点为点，的内分点，点在线段上； 当时，点在线段的延长线上； 当，时，点为点，的外分点， 当时，点在线段的反向延长线上； 当时，点在线段的延长线上． 2.定比分点坐标公式： 已知，若点)满足，求点的坐标． 2.定比点差法 当为椭圆上的两点，为弦上任意一点时，设点满足若在椭圆则; 点满足，可得到 ， ①－②得： ， 联立消元后即可用与定分比表示. 性质：当直线与轴交点为，即时，，于是有 1. ，； 2. ； 3. ； 4. （1）若为左焦点，则，； 注：利用定理“过点的直线交椭圆：于，两点，则有．”求点横坐标也可求得． （2）若为右焦点，则，． （3）若A,B为椭圆上的两点，直线AB与x轴交于点P，与y轴交于点Q，且，. 结论： ①)P为左（右）焦点； ②。 且①②互为充要条件. 结论拓展 1.在抛物线中，A,B为抛物线上两点，P,Q分别在x轴、y轴上，，. ①P为焦点；②.则①②互为充要条件. 2.双曲线一定有：①P为焦点；②. 综合拓展：①（t为定值）；②P为x轴一定点(m,0)。则两者互为充要条件：. 应用一：利用定比分点证明特征直线的方程 在椭圆或双曲线中，设A,B为曲线上两点，若存在P,Q满足，，则一定有： 证明：若，，且，则。 若，则。 代入椭圆方程： (1)-(2)可得： 即： 故： 抛物线中的调和分点性质 在抛物线中，设A,B为抛物线上两点，若存在P,Q满足，，则一定有： 证明： 设，，，则。 ， 则. 代入抛物线方程： (1)-(2)得： 即： 化简得： 故： 核心原理：定比点差的本质是两个互为调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程. 应用二:坐标轴上定点弦与定比点差法 （一）：定点在x轴 过定点的直线与椭圆相交于A,B两点，设，，. 则在直线AB上一定存在点Q满足，根据定比点差法可知： 一定有： 证明： 解得： （二）：定点在y轴 过定点的直线与椭圆相交于A,B两点，设，，. 则在直线上一定存在点Q满足，根据定比点差法可知： 同理： （三）：抛物线为载体 过定点的直线AB和抛物线相交，设，，. 则有： 即： 证明： 由，可得： 联立抛物线方程： 两式相减得： 代入定比分点坐标关系，，化简得： 应用三:非轴点弦的定比点差法 设椭圆，点在椭圆上，且，. 则 点的坐标都可以用只含有（或）的式子表示出来. 证明： 由得 即 利用定比点差法： 两式相减得 代入，，化简即得上述结论. 代入，消去，整理可得： 如果消去，整理可得： 在上述椭圆结论的基础上，可推广至抛物线。设为抛物线上的点，且，，则有对偶公式： 知识点三：极点极线　 1. 极点极线的代数定义 对于二次曲线，我们称点（非二次曲线的中心）与直线是关于曲线的一对极点极线，也称点P为直线l关于曲线的极点，直线l为点P关于曲线的极线． 二次曲线的替换法则　 对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常数项不变，可得方程： ． 2.圆锥曲线中的极点极线（以椭圆为例） 设椭圆方程为，点为平面内任意一点，则： （1）极线：对应点的极线方程为； （2）极点：若直线是某点的极线，则该点（极点）坐标可通过极线方程反推：将直线方程化为，对比极线标准形式，得极点为（时极线过原点，极点在无穷远）. 3.极点与极线的几何性质（核心） （1）位置关系：极点位置决定极线位置 ①若极点在曲线上，则极线为曲线在点的切线（验证：代入满足椭圆方程，极线方程即为切线方程）； ②若极点在曲线外，则极线为过作曲线两条切线的切点连线（切点弦）； ③若极点在曲线内，则极线为曲线的一条弦的极点轨迹（过的弦的两端点切线交点轨迹即为极线）. （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 ①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 注：极点极线的相关结论在高考中不能直接使用，需要在解题过程中利用常规方法进行推导和证明．在运用极点极线解题时，要确保对基本概念和性质的准确理解和运用，避免因概念不清或错误运用性质导致解题错误． 高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下 (1) 圆　①极点关于圆的极线方程是：； ②极点关于圆的极线方程是： ； ③极点关于圆的极线方程是： ． (2) 椭圆　极点关于椭圆的极线方程是：． (3) 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：． (4) 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：． 4.极点极线的几何意义　 (1)  若极点P在二次曲线上，则极线是过点P的切线方程． (2) 若极点P在二次曲线外部，极线在二次曲线内的部分是点P对二次曲线的切点弦AB； (3) 若极点P在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P的弦AB、CD的两端端点作切线，得到的直线MN即为点P对应的极线． 知识点四：抛物线的光学性质 如图 所示, 从抛物线的焦点 发出的光线, 被抛物线反射后, 得到的是一系列的与抛物线对称轴平行 (或重合) 的光线; 如图 所示, 设抛物线在 处的切线 l交对称轴于点 上切线 l交对称轴于点 , 则焦点 是 的中点. 题型01：硬解定理在抛物线中的应用 【典型例题】如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B. （Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由. （1）证明见解析（2）抛物线方程为或⑶仅存在一点M(0，-2p)适合题意 【详解】（Ⅰ）证明：由题意设 由得，则 所以 因此直线MA的方程为　　　 直线MB的方程为 所以① ② 由①、②得　 因此　，即 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时， 将其代入①、②并整理得： 　　所以　x1、x2是方程的两根， 因此 又 所以 由弦长公式得 又，所以p=1或p=2， 因此所求抛物线方程为或 （Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2), 则CD的中点坐标为 设直线AB的方程为 由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上， 代入得 若D（x3,y3）在抛物线上，则 因此　x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或   （1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.   （2）当，对于D(0，0)，此时 又AB⊥CD，所以 即矛盾. 对于因为此时直线CD平行于y轴， 又 所以　　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾， 所以时，不存在符合题意的M点. 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意 【变式训练1-1】在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【变式训练1-2】抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 题型02：抛物线的定比点差法 【典型例题1】在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上. 【答案】（1）（2）总在定直线上. 【分析】 【详解】（1）过三点的圆的圆心为,则圆心在的中垂线上， 则，又点到抛物线的准线的距离为 所以，则 所以抛物线的方程为. （2）设，记. 则，， 联立可得， 又，代入得， 所以总在定直线上. 【变式训练2-1】已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点。过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点. (1)若直线l与圆相切，求直线的方程； (2)若直线l与y轴的交点为D，且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 【变式训练2-2】过点的动直线与抛物线：相交于两不同点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 【变式训练2-3】设抛物线的焦点为F，过点P(0,4)的动直线l与抛物线C交于A,B两点，当F在l上时，直线l的斜率为.-2 (1)求抛物线的方程； (2)在线段AB上取点D，满足，，证明：点D总在定直线上. 【变式训练2-4】已知抛物线焦点为F，点D(p,0)。过焦点F做直线l交抛物线于M,N两点，且轴时，. (1)求抛物线方程； (2)若直线MD,ND与抛物线的另一个交点分别为A,B。若直线MN,AB的倾斜角为，当最大时，AB的方程. 【变式训练2-5】已知抛物线焦点为F，准线为，为E上一点，，垂足为M，且. (1)求E的标准方程； (2)过点（其中）且斜率为k的直线与E交于，两点，C，D是E上的两点（异于A，B），且满足，. （i）证明：，； （ii）是否存在k和a，使得?若存在，求k和a的所有取值；若不存在，请说明理由. 题型03:抛物线的极点极线 【典型例题】 过点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，证明以下结论 （1）直线与抛物线有1个公共点； （2）直线恒过定点； （3）点的轨迹方程是； 【详解】（1）由于点的极线为直线，点为直线上一点， 且直线与抛物线相切，则过点的直线为点的极线方程， 则直线为切点弦，故点为切点。则直线与抛物线有1个公共点。 （2） 设点，则直线方程为：，即， 则；又，且，则直线，， 故三点共线，则直线恒过定点； （3），即，则点为以 直径的圆，轨迹方程是； 【变式训练3-1】已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过另一条直线交于两点，其中在轴上方，设为直线与直线的交点，证明G在定直线上． 【变式训练3-2】已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. （1）求C的方程. （2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 题型04：抛物线中的切线方程和切点弦方程 【典型例题1】过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 . 【答案】 【分析】解法一：设切线方程为，联立切线方程与抛物线方程，由，得，则切线方程可求. 解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率，再由点斜式方程求得答案. 【详解】解法一：由题意，切线方程一定存在，设切线方程为． 由⇒⇒， 由，得， ∴. 故切线方程为，即. 故答案为：. 解法二：由得，∴. ∴. ∴切线方程为，即. 故答案为：. 【典型例题2】过点作抛物线的切线，切点分别记为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设切点，，利用导数求出点处的切线斜率结合点斜式得切线方程，再结合切线所过的点和切点在抛物线化简得，同理点B得解. 【详解】设切点，，由得，求导得， 则上切点处的切线斜率， 所以在点处的切线方程为， 因为切线过点，所以， 结合，化简得， 同理可得， 故点，均在直线上， 所以直线的方程为. 故答案为：. 【典型例题3】已知点是抛物线：上的一点. (1)若点横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程； (2)过点作圆：的两条切线，交抛物线的准线于、两点. ①若，求点纵坐标； ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①2；② 【分析】（1）将抛物线转化为二次函数，结合导数的意义求切线斜率，从而得到切线方程； （2）①利用切线长定理表示的周长，结合内切圆半径公式和三角形面积公式均可得到的面积，从而得到点纵坐标； ②利用三角形面积公式可将的面积表示为的式子，通过换元和均值不等式得到面积的最小值. 【详解】（1）的横坐标为4，， 又，求得， 抛物线在处的切线斜率为， 切线方程为， 即. （2）设与圆相切于点，与圆相切于点， 与圆相切于点，由切线长相等可得： ，，， 周长为， ， 设，由题意设，（在轴左侧时，由对称性可知三角形面积相同）， ， ， ， ①由，则， 解得，所以点的纵坐标为2. ②， 令，则， ，， 当且仅当，即时，面积最小值为. 【点睛】关键点点睛：解题关键在于利用切线长定理表示的周长，进而利用三角形内切圆半径公式表示的面积. 【变式训练4-1】抛物线中，以为切点的切线方程为 【变式训练4-2】抛物线在处的切线方程为 ． 【变式训练4-3】已知抛物线C：过点. (1)求过点M的抛物线C的切线方程； (2)若A，B是抛物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值. 【变式训练4-4】如下图所示，过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，与抛物线相切于点，与轴分别交于点，求四边形面积的最大值．    【变式训练4-5】直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，． (1)求； (2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积． 【变式训练4-6】如图，已知抛物线：与点，过点作的两条切线，切点分别为，．    (1)若，求切线的方程； (2)若，求证：直线恒过定点． 【变式训练4-7】已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求直线l的方程； (3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 【变式训练4-8】已知抛物线． (1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； (2)求过点的抛物线的切线方程． 【变式训练4-9】已知线段是抛物线的弦，且过抛物线焦点. (1)过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，求证：三点共线(为坐标原点)； (2)设是抛物线准线上一点，过作抛物线的切线，切点为. 求证：（i）两切线互相垂直； （ii）直线过定点，请求出该定点坐标. 【变式训练4-10】已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 题型05：抛物线中的光学性质 【典型例题1】抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点F发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线．若一条平行于x轴的光线从M(3，1)射出，经抛物线y2=4x上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B反射出，则直线AB的斜率为_______. 【解析】如图，由题干信息，A、F、B三点共线， 又，所以直线的斜率. 【答案】 【典型例题2】抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C:y2=2px(p>0)，一条光线从点P(4,2)沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点M，经点M反射后与C交于另一点N．若，则△MON的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，用韦达定理和得出的值和、的坐标，然后由三角形的面积公式即可求解. 【详解】依题意，由抛物线性质知直线过焦点， 设，，直线的方程为， 由，得：，所以，， 则，又，所以， 而，故，所以. 故选：A. 【典型例题3】抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点F发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线.现有抛物线y2=2px(p>0)，如右图所示，一平行于x轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行于x轴的方向射出，若两平行光线间的最小距离为8，则p=_____. 【解析】如图，，设，，其中，， 则入射光线和反射光线所在的直线分别为，，由抛物线的光学性质，A、F、B三点共线，所以，化简得：，两平行光线之间的距离， 当且仅当时取等号，所以d的最小值为，由题意，，故. 【答案】4 【典型例题4】抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：，一条平行于y轴的光线，经过点，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，即可转化求解. 【详解】由题意可知，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以，得， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B 【变式训练5-1】用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为，平行于x轴的光线从点射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式训练5-2】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，抛物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，一条光线沿射出，经过抛物线上的点（异于点）反射，反射光线经过点，若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C．13 D．15 【变式训练5-4】抛物线有一个重要性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线：上的点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（    ） A． B．24 C．32 D． 【变式训练5-5】抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-6】抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-7】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-8】抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则 ． 题型06：阿波罗尼斯圆在抛物线中的应用 【典型例题1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】B 【分析】将圆用阿氏圆表示，得到，将问题转化为求最小值问题，利用二次函数求最值即可得到． 【详解】易知抛物线的焦点， 不在圆E上， 将圆变形为： 即， ，当且仅当三点共线时取等号； 设，则，当且仅当时取等号； 所以，故 所以的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题解题的关键是借助题目的背景提示，将圆用阿氏圆表示，分别用几何法和代数法求最值． 【典型例题2】已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，结合题意可得点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可. 【详解】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示， 设阿氏圆圆心为，半径为， 因为，所以，所以， 设圆与交于点，由阿氏圆性质，知， 又，所以， 又，所以，解得，所以， 所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球， 当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点， 所以点在面内的轨迹为， 因为在中，，所以， 所以，所以点在面内部的轨迹长为， 同理，点在面内部的轨迹长为， 当点在面内部时，如图3所示，因为平面， 所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆， 截面圆与分别交于点，且， 所以点在面内的轨迹为，且， 综上，点的轨迹长度为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长. 【变式训练6-1】（多选）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，若点Q为抛物线E：上的动点，Q在直线上的射影为H，F为抛物线E的焦点，则下列选项正确的有（    ） A．的最小值为2 B．的面积最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的最小值为 【变式训练6-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 . 【变式训练6-3】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点Q为抛物线E：上的动点，Q在轴y上的射影为H，则的最小值为 . 【变式训练6-4】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为 ． 【变式训练6-5】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $