精品解析：浙江省绍兴市嵊州市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025学年第二学期期末学业质量评价 八年级数学 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题时所有试题卷的答案请填在答题卷相应的位置上，做在试题卷上无效． 3．本次考试不使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（ ） A.    B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察各选项图形，判断是否存在一个基本图案绕某点旋转一定角度后能与自身重合即可． 【详解】解：A. 该图形可以看作由一个菱形绕中心旋转，后得到，符合题意； B、C、D均不能由某个基本图案绕某点旋转得到，不符合题意． 2. 在下列方程中．不属于一元二次方程的是（ ） A. x2﹣＝x B. 7x2＝0 C. 0.3x2+0.2x＝4 D. x（1﹣2x2）＝2x2 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0． 【详解】解：A、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意． B、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意． C、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意． D、由已知方程得到：﹣2x3﹣2x2+x＝0，属于一元三次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，即未知数的最高次数是2，二次项系数不为0；明确此知识点是解题的关键． 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A．，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； 选项B．的被开方数，不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件； 选项C．，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； 选项D．，分母含二次根式，化简后为，原式不是最简二次根式． 4. 甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，经过数次相同的练习，他们的平均成绩都是9.5环，方差分别是，，，，那么成绩最稳定的选手是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴丁的方差最小，成绩最稳定． 5. 在中国传统建筑中，八角窗（图1）是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学．八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容．图2是图1的示意图，这个八边形的每个内角都相等，则每个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：  边形的内角和公式为 ，  八边形的内角和为 ，  这个八边形的每个内角都相等 ， 每个内角的度数为． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：对选项A：∵∴，∴A计算正确； 对选项B：∵，∴B计算错误； 对选项C：∵，与不是同类二次根式，不能合并得到，∴C计算错误； 对选项D：∵，∴D计算错误． 7. “立身以立学为先，立学以读书为本”．为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆阅读人次为，第三个月进馆阅读人次为，若进馆阅读人次的月增长率相同，设月增长率为，依题意可列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据月增长率，第一个月进馆阅读人次为，第三个月的人次是第一个月的倍，第三个月进馆阅读人次为，据此列方程即可． 【详解】解：因为月增长率为， 则第二个月人次为， 第三个月人次为； 即 ； 故选C． 8. 已知：如图，正方形的边长为8，是上的点，若，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，在中利用勾股定理求出的长，再根据计算即可． 【详解】解：四边形是正方形，边长为8， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， ． 9. 已知：如图，在中，是中线，的交点，G，H分别是，的中点，连接，，，，． ①四边形是平行四边形； ②若，则四边形是矩形； ③若，则四边形是菱形； ④若，，则四边形是正方形 上述四个结论中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再结合矩形、菱形、正方形的判定定理，对各个结论进行分析判断即可． 【详解】解：∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ ， ∵G，H分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ∵是中线，的交点， ∴，， 是中线的一部分， 若，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴（等腰三角形三线合一）， ∵F，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ， ∴，即， ∴平行四边形是矩形，故②正确； ∵是的中位线， ∴， 若，则， ∴平行四边形是菱形，故③正确； 若，， 由③可知四边形是菱形， 由②可知四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故④正确． 综上，正确的结论有4个． 10. 已知：如图，在中，，垂足为E，点F，G分别是，的中点，H在边上，且．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，延长交的延长线于点M，过点H作于点P，取的中点N，证明，得到，，然后证明四边形是平行四边形，得到，，利用勾股定理求出，证明是的中位线，得到，，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点M，过点H作于点P，取的中点N， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵点F是的中点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵点N是的中点，点F是的中点 ∴是的中位线 ∴，， ∵ ∴ 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点G是的中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，从而建立不等式求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可直接求出两根之和 【详解】解：一元二次方程为， ，， 13. 一组数据的箱线图如图，这组数据的上四分位数是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图可知，矩形箱体的上底边对应的纵轴数值为， 因此，这组数据的上四分位数是． 14. 已知：如图，在中，，，的平分线交于点E，的平分线交于F，则线段的长________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，利用平行线的性质和角平分线的定义可得，，进而判定和为等腰三角形，求出和的长，最后利用线段的和差关系求解的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 15. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中给出的“立方”对应的展开式计算，对比已知等式的系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 如图，在中，，，D，E分别是边，边上的点，连接，将沿折叠得，若，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，确定为等腰直角三角形，利用折叠的性质得出，确定，过点D作，过点E作，连接，交于点G，交于点H，利用矩形的判定得出四边形均为矩形，确定，再由等边三角形的判定得出为等边三角形，设，得出，，结合等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，，同理得出，确定，求出，然后建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∵沿折叠得， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点D作，过点E作，连接，交于点G，交于点H，如图所示： ∴， ∴， ∴四边形均为平行四边形， ∵， ∴四边形均为矩形， ∴， ∵沿折叠得， ∴，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵折叠，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 直接开平方：， 移项：， ∴． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴． 19. 已知：如图，过矩形的顶点作，交的延长线于点，对角线，相交于点．，． （1）求的度数； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质及平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，确定，再由等边对等角得出，结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据题意得出，设，则，利用勾股定理得出，再由等腰三角形的性质求面积即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴的面积为：． 20. 在学校组织的知识竞赛中，每班参加竞赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图． 请你根据以上信息解答下列问题： （1）此次知识竞赛中，一班成绩在C等级以上（包括C等级）的人数为________； （2）将表格补充完整（单位：分） 班级 平均数 中位数 众数 标准差 一班 90 二班 100 （3）请结合表格数据为这两个班的成绩作合理的分析． 【答案】（1）20人 （2）补充完整表格如下： 班级 平均数 中位数 众数 标准差 一班 90 90 二班 80 100 （3）由表格数据得：两个班级平均成绩一样，一班中位数高于二班，一班的标准差小于二班，所以一班成绩较好且稳定．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据条形图所给数据即可求解； （2）根据众数和中位数的定义，结合条形图、扇形图所给数据，即可求解； （3）根据平均数、中位数、众数和标准差进行分析即可． 【小问1详解】 解：由条形图可知，一班成绩为A，B，C的人数分别为6，12，2， ∴， 因此此次竞赛中，一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为20人； 【小问2详解】 解：由条形图可知，一班成绩为B的人数最多， ∴一班成绩的众数为90分； 一班总人数为：， 由每班参加比赛的人数相同，可知二班总人数也为25， 由扇形统计图可知，二班成绩为A的人数为：， 成绩为B的人数为：， 成绩为C的人数为：， 成绩为D的人数为：， 由此可知，将二班成绩从高到低排列，第13名成绩在C等级， ∴二班成绩的中位数为80分； 表格补充完整略 【小问3详解】 略． 21. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 【答案】（1）该商品销售的个数为460个 （2）售价应定为60元 【解析】 【分析】（1）先算出提高的价格，用原来的销售量减去减少的销售量即可； （2）设售价提高了元，然后将单件利润和数量表示出来，根据“总利润单件利润数量”列一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：当售价定为54元时，商品售价较元提高元， ∴销售量为（个）； 【小问2详解】 解：设售价提高了元，则利润为元／个， 销售数量为个， 根据题意，得， 解得或， ∵要兼顾顾客的利益， ∴， 则售价为（元）． 22. 如果一个三角形的三边长分别为，，，那么该如何计算它的面积呢？我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式）．古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：（海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价的，请使用这两个公式解决下面的问题． （1）如果一个三角形的三边长分别为，，，求这个三角形的面积； （2）已知：如图，在中，对角线，交于点，，，，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接把数据代入两个公式进行计算即可； （2）过点C作交的延长线于点F，根据平行四边形的判定和性质得出，，四边形为平行四边形，确定，，令，，，分别代入两个公式求出面积，然后得出，再由三角形等面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 同理得，， ∴海伦公式求解：∵， ∴ ， ∴； 秦九韶公式求解： ； 【小问2详解】 过点C作交的延长线于点F，如图所示： ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ①， ∴海伦公式求解： ， 秦九韶公式求解： ； 设平行四边形边上的高为h， 平行四边形的面积为：， 的面积为：， ∴平行四边形的面积的面积， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：． 23. 对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． （1）代数式的镜像值是________； （2）判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； （3）关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 【答案】（1）和 （2）代数式没有镜像值， 理由：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， ， 计算根的判别式， 方程没有实数根， 代数式没有镜像值． （3）正整数的值为 【解析】 【分析】（1）根据定义列一元二次方程求解即可得到镜像值； （2）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论； （3）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a为正整数的条件求解即可． 【小问1详解】 解：设代数式的镜像值为，根据定义得， 整理得， 解得， 即代数式的镜像值是和． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的整数平方只有，即， 得，符合要求 正整数的值为． 24. 已知：如图，在菱形中，点E在边上，点F在边的延长线上，，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，射线交于点G，交于点H，连接，，． ①求证：四边形是平行四边形； ②设，求的值（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）证明：在菱形中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）①证明：在菱形中，平分，， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； ② 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质证得，从而得出结论； （2）①利用菱形的性质证得，再利用（1）的结论并结合三角形外角的性质及角度等量代换推出，从而证得结论； ②先证明，利用平行四边形的性质和全等三角形的性质得出，连接交于点O，利用菱形的性质及勾股定理列出，，由可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， 如图，连接交于点O， ∴，，， ∴， 在中，，即， 在中，，即， 由得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期末学业质量评价 八年级数学 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题时所有试题卷的答案请填在答题卷相应的位置上，做在试题卷上无效． 3．本次考试不使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（ ） A.    B. C. D. 2. 在下列方程中．不属于一元二次方程的是（ ） A. x2﹣＝x B. 7x2＝0 C. 0.3x2+0.2x＝4 D. x（1﹣2x2）＝2x2 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，经过数次相同的练习，他们的平均成绩都是9.5环，方差分别是，，，，那么成绩最稳定的选手是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 在中国传统建筑中，八角窗（图1）是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学．八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容．图2是图1的示意图，这个八边形的每个内角都相等，则每个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. “立身以立学为先，立学以读书为本”．为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆阅读人次为，第三个月进馆阅读人次为，若进馆阅读人次的月增长率相同，设月增长率为，依题意可列方程为（    ） A. B. C. D. 8. 已知：如图，正方形的边长为8，是上的点，若，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知：如图，在中，是中线，的交点，G，H分别是，的中点，连接，，，，． ①四边形是平行四边形； ②若，则四边形是矩形； ③若，则四边形是菱形； ④若，，则四边形是正方形 上述四个结论中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知：如图，在中，，垂足为E，点F，G分别是，的中点，H在边上，且．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12. 设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 13. 一组数据的箱线图如图，这组数据的上四分位数是________． 14. 已知：如图，在中，，，的平分线交于点E，的平分线交于F，则线段的长________． 15. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为________． 16. 如图，在中，，，D，E分别是边，边上的点，连接，将沿折叠得，若，且，则________． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知：如图，过矩形的顶点作，交的延长线于点，对角线，相交于点．，． （1）求的度数； （2）求的面积． 20. 在学校组织的知识竞赛中，每班参加竞赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图． 请你根据以上信息解答下列问题： （1）此次知识竞赛中，一班成绩在C等级以上（包括C等级）的人数为________； （2）将表格补充完整（单位：分） 班级 平均数 中位数 众数 标准差 一班 90 二班 100 （3）请结合表格数据为这两个班的成绩作合理的分析． 21. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 22. 如果一个三角形的三边长分别为，，，那么该如何计算它的面积呢？我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式）．古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：（海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价的，请使用这两个公式解决下面的问题． （1）如果一个三角形的三边长分别为，，，求这个三角形的面积； （2）已知：如图，在中，对角线，交于点，，，，，求的长． 23. 对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． （1）代数式的镜像值是________； （2）判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； （3）关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 24. 已知：如图，在菱形中，点E在边上，点F在边的延长线上，，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，射线交于点G，交于点H，连接，，． ①求证：四边形是平行四边形； ②设，求的值（用含m的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $