精品解析：浙江省绍兴市嵊州市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

嵊州市2024学年第二学期期末学业成绩调测 八年级数学 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷，满分100分，考试时间90分钟． 2．答题时所有试题卷的答案请填在答题卷相应的位置上，做在试题卷上无效． 3．本次考试不使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 方程的解是（　　） A. B. C. ， D. ， 4. 若数据，3，5，的平均数为4，则数据，的平均数是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 如图，在四边形中， ，，与 相邻的外角是，则 的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中， ， ，的平分线交于点，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 某校在一块矩形基地中给八年级划分出两块如图所示的农耕实践基地，中间留出一条宽度相等的人行小道，已知矩形基地的长为41m，宽为20m，农耕基地的面积为，若设人行小道的宽度为m，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 反比例函数的图象上有，两点，当时，则有（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，，依次是，，，的中点． ①若四边形是平行四边形，则四边形 是平行四边形； ②若，则四边形 是菱形； ③若，则四边形 是矩形； ④若，，则四边形 是正方形． 则上述四个结论中正确的是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 如图，平行四边形中， ， ，是对角线的中点，点在边上，连结，若的长度恰好是平行四边形周长的，则要计算的长度，只需要知道（　　） A. 平行四边形的周长 B. 边的长 C. 边的长 D. 边的长 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：_______． 12. 把方程 变形为的形式，其中，为常数，则的值为___________． 13. 求一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，则该组数据的方差___________． 14. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，的坐标为，，固定点，，把矩形沿轴正方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，点在轴上，若，，则的值是___________． 16. 如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作 于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长度为___________． 三、解答题（本大题有8小题，其中第17~20题每小题6分，第21~22题每小题8分，第23题10分，第24题12分，共62分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，在中，点分别在 上，且 ．求证：四边形是平行四边形． 20. 某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长（单位：分钟），结果分为六组：第1组( ),第2组(),第3组(),第4组(),第5组(),第6组(),刘老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，请解答下列问题： （1）分别求本次调查共抽取了多少学生人数及第5组的学生人数； （2）抽查的每天运动打卡时长的中位数在第___________组； （3）若该校有1200名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 和反比例函数(为常数且)的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出当时，的取值范围． 22. 近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高．据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人． （1）求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组．当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式．经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？ 23. 小嵊和小州两位八年级同学对图形过弯道时的最大尺寸展开了探究： 素材提供： 图1是弯道示意图，它可以看成由一个直角和反比例函数()的图象组成，其中，它的两边分别平行轴和轴，第一象限的角平分线经过点，交反比例函数的图象于点，，． 问题解决： （1）反比例函数中的值为___________； （2）小嵊将线段按如图2摆放，，两点都在反比例函数()的图象上，的中点恰好与点重合，且，则此时线段刚好不能通过弯道，求此时点的坐标． 探究提升： （3）小州借助同样的思路将矩形按如图3摆放，，两点都在反比例函数()的图象上，的中点恰好与点重合，且，矩形刚好不能通过弯道．若，要使矩形能通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，，） 24. 如图1，在平行四边形中，是上一点，连结，使，是上一点，满足． （1）求证：． （2）如图2，连结，过点作交于点，连结． ①求证：四边形为菱形． ②若， ，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嵊州市2024学年第二学期期末学业成绩调测 八年级数学 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷，满分100分，考试时间90分钟． 2．答题时所有试题卷的答案请填在答题卷相应的位置上，做在试题卷上无效． 3．本次考试不使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴ ， 故选：A． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 3. 方程的解是（　　） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 由因式分解法即可求解． 【详解】解： 或。 解得：或， 故选：C． 4. 若数据，3，5，的平均数为4，则数据，的平均数是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平均数的定义，根据平均数的定义，先求出四个数的总和，再结合已知条件求出m与n的和，最后计算m和n的平均数即可． 【详解】解：由题意，数据m、3、5、n的平均数为4， 可得：两边同时乘以4， 得：， 合并常数项，得：， 因此： ， ∴数据m、n的平均数为：； 故选：B． 5. 如图，在四边形中， ，，与 相邻的外角是，则 的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角，根据外角的定义，求出 的度数，再根据四边形的内角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：∵与 相邻的外角是， ∴， ∵在四边形中， ，， ∴ 的度数为； 故选B． 6. 如图，在中， ， ，的平分线交于点 ，则 的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，角平分线的定义，推出，再根据线段的和差关系，求出 的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点 ， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A 7. 某校在一块矩形基地中给八年级划分出两块如图所示的农耕实践基地，中间留出一条宽度相等的人行小道，已知矩形基地的长为41m，宽为20m，农耕基地的面积为，若设人行小道的宽度为m，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用平移思想，根据矩形的面积公式进行列出方程即可． 【详解】解：由题意和图可列方程为：； 故选B． 8. 反比例函数的图象上有，两点，当时，则有（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，掌握反比例函数图象的性质成为解题的关键．由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，由可得，进而判定所在的象限即可解答． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， ∵， ∴， ∴点第一象限， ∴， 故选：B． 9. 如图，在四边形中， ， ，，依次是 ，， ，的中点． ①若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形； ④若，，则四边形是正方形． 则上述四个结论中正确的是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，根据三角形的中位线定理，菱形，矩形和正方形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：∵在四边形中， ， ，，依次是 ，， ，的中点， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形，故①正确； 当时，则：， ∴四边形是菱形；故②正确； 当时，则：， ∴， ∴四边形是矩形；故③正确； 当，，则：，， ∴四边形是正方形；故④正确； 故选D 10. 如图，平行四边形中， ， ，是对角线 的中点，点 在边 上，连结 ，若 的长度恰好是平行四边形周长的，则要计算 的长度，只需要知道（　　） A. 平行四边形的周长 B. 边 的长 C. 边的长 D. 边 的长 【答案】C 【解析】 【分析】取 的中点 ，连接，作 ，易得，推出为等腰直角三角形，设，得到，进而得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出 的长，进行判断即可． 【详解】解：取 的中点 ，连接，作 ， ∵平行四边形， ∴， ∴ ， ∴， 设 ， ， 则四边形的周长，， ∵ 的长度恰好是平行四边形周长的， ∴， ∴， ∵是对角线 的中点， 是 的中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在 中，， 故只需要知道边的长，即可求出 的长； 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造三角形的中位线，是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 12. 把方程 变形为的形式，其中，为常数，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 根据配方法解方程的一般步骤进行计算即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 13. 求一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，则该组数据的方差___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差的定义及其计算公式． 先由方差计算公式得出这组数据为，再根据算术平均数计算公式计算出这组数据的平均数，然后代入方差公式计算即可． 【详解】解：由方差计算公式可得，这组数据为， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边 在轴上，点的坐标为，的坐标为，，固定点，，把矩形沿轴正方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理．由已知条件得到，， ，根据勾股定理得到，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵点的坐标为，的坐标为， ∴，， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于 两点，点在轴上，若，，则的值是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质．作 轴于点D，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图，过点A作 于点D， ∵， ∴， ∵函数与反比例函数交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 故答案为：5． 16. 如图，菱形的边长为5，点 在边 上，连结 ，过点作 于点 ， ，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，连接，过点分别作， ，垂足为点，设 ， ，由 ，得到，那么有三线合一可得，则，在中，由勾股定理建立方程求出，则 ，可得四边形为矩形，则由双勾股定理可得，继而建立方程求出，即可求解． 【详解】解：由题意得可得，连接，过点分别作， ，垂足为点， 设 ， ， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴ ， ∵，， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，正确构造辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题有8小题，其中第17~20题每小题6分，第21~22题每小题8分，第23题10分，第24题12分，共62分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）先计算乘法，在进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再由直接开平方法求解； （2）由因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 解得： ，； 【小问2详解】 解： ， 或 解得：． 19. 如图，在中，点分别在 上，且 ．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵ ， ∴， ∴，， ∴ ， 即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，，即可证，即得，，进而得，即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 20. 某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长（单位：分钟），结果分为六组：第1组( ),第2组(),第3组(),第4组(),第5组(),第6组(),刘老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，请解答下列问题： （1）分别求本次调查共抽取了多少学生人数及第5组的学生人数； （2）抽查的每天运动打卡时长的中位数在第___________组； （3）若该校有1200名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数． 【答案】（1） 名，名 （2）4 （3） 名． 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求解中位数和样本估计总体，从统计图中有效的获取信息是解题的关键． （1）用第4组的人数，除以所占的比例求出调查总人数，用调查总人数减去已知各组人数即可得到答案； （2）根据中位数的定义进行解答即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，本次调查共抽取的人数为： （名）； 第5组的学生人数为：（名）； 【小问2详解】 ∵本次调查共抽取的人数为 名， ∴中位数应该是数据从小到大排列后的第100和101名的平均数， ∵， ∴第100和101名的数据落在第4组，即中位数落在第4组； 故答案为：4 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数为 人． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 和反比例函数(为常数且)的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数和一次函数图象综合． （1）利用待定系数法求解即可； （2）数形结合求解即可． 【小问1详解】 解：把代入 ，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可得， 当或时，， ∴当时，的取值范围为或． 22. 近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高．据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人． （1）求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组．当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式．经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？ 【答案】（1）； （2）元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为，根据从2023年的1000人增加到2025年的1210人．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该护膝肌贴组每组应降价m元，由该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，确定销售量与价格之间关系，再根据利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：设该护膝肌贴组每组应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价元． 23. 小嵊和小州两位八年级同学对图形过弯道时的最大尺寸展开了探究： 素材提供： 图1是弯道示意图，它可以看成由一个直角和反比例函数()的图象组成，其中，它的两边分别平行轴和轴，第一象限的角平分线经过点，交反比例函数的图象于点，，． 问题解决： （1）反比例函数中的值为___________； （2）小嵊将线段 按如图2摆放，，两点都在反比例函数()的图象上， 的中点恰好与点重合，且，则此时线段 刚好不能通过弯道，求此时点的坐标． 探究提升： （3）小州借助同样的思路将矩形按如图3摆放，，两点都在反比例函数()的图象上，的中点恰好与点重合，且，矩形刚好不能通过弯道．若，要使矩形能通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，，） 【答案】（1）1；（2）；（3）4 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，可得为等腰三角形，然后结合勾股定理求得，再由待定系数法求解即可； （2）延长直线 ，分别交 轴于点，则均为等腰直角三角形，则，由勾股定理可求，，然后求得直线，再与反比例函数解析式联立求解点； （3）可得为平行四边形，，过点作轴于点，过点作于点，则为等腰直角三角形，求出，那么直线，与反比例函数解析式联立求出，，再由两点间距离公式求解即可． 【详解】解：（1）过点作轴于点， ∵平分第一象限， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 将代入得， 故答案为：1； （2）延长直线 ，分别交 轴于点， ∵，， ∴ ， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 由（1）可得反比例函数解析式为： 联立得 解得：， ∴； （3）同（2）可得直线， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴为平行四边形， ∴， 过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵， 同理可得：， ∴， ∵， ∴设直线， 则， 解得：， ∴直线， 则联立， 解得：， ，， ∴， ∴的最大整数值为4． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及勾股定理，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，两点间距离公式等知识点． 24. 如图1，在平行四边形中， 是上一点，连结，使， 是上一点，满足． （1）求证：． （2）如图2，连结，过点 作交于点，连结． ①求证：四边形为菱形． ②若， ，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2） ①利用平行四边形的性质，等式的性质得到，利用全等三角形的判定与性质得到，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理得到，则四边形 为平行四边形，再利用菱形的判定定理解答即可得出结论； ②连接交于点O，过点G作 于点H，利用全等三角形的性质定理得到，利用平行四边形的性质得到，利用等腰直角三角形的性质得到，利用菱形的性质得到；利用等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质得到，利用等式的性质求得，则，利用等腰直角三角形的性质求得，则可求，利用即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵， 又∵ ∴ ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由(1) 知：， :∴ ， ∴ ， 在 和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形 为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ②连接交于点O，过点G作 于点H，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由 (2) ①知：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ∵是等腰直角三角形 斜边上的高线， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握实数性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $