精品解析：天津市宝坻区2025-2026学年第二学期期末练习 高二数学试卷

2025~2026学年度第二学期期末练习 高二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷（共36分） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设、、，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 甲、乙两名射手进行射击练习，已知甲的命中率为，乙的命中率为，两人的射击结果相互独立．若两人各射击一次，则恰有一人命中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数的图象关于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越大 B. 设，且，则 C. 线性回归直线不一定经过样本点的中心 D. 随机变量，若，，则 7. 中国茶文化博大精深，某种红茶用90°C的热水冲泡，待水温降至时饮用口感最佳．已知室温为，经验表明，从开始，经过分钟后的温度为，可选用函数模型近似刻画茶水温度随时间变化的规律．则在上述条件下，该红茶达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）（参考数据：） A. 3 min B. 5 min C. 7 min D. 9 min 8. 已知函数，则在下列区间中含有零点的是（ ） A. B. C. D. 9. 若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 已知函数则的值是__________． 11. 已知7名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有__________种. 12. 已知函数，则不等式的解集为__________． 13. 一箱零件共有6个，其中有2个型，从中随机抽取两个零件，则抽取的这两个零件中型个数的期望是__________． 14. 已知，若，则__________． 15. 已知正实数，满足，则的最小值为__________． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数，． （1）求的单调区间； （2）求在闭区间上的最大值与最小值． 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并证明； （3）若，求的取值范围． 18. 设函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 19. 近两年，业余足球比赛江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）持续火热．已知足球教练对球员的选拔使用依据训练及比赛的大数据分析．为考查球员甲对球队的贡献，作如下统计（假设球员甲参加过的比赛均决出了胜负）． 甲参加 甲未参加 总计 球队胜 23 8 31 球队负 7 12 19 总计 30 20 50 （1）试问：依据小概率值的独立性检验，能否认为球队胜负与球员甲参赛有关联？ （2）根据以往数据，球员甲能够胜任边锋、中锋、后腰及中后卫四个位置，且出场概率分别为0.25，0.30，0.35，0.10，当球员甲出任上述位置时，球队赢球的概率依次为0.60，0.70，0.50，0.80，则在某场比赛中已知球员甲出场，球队赢球的概率是多少？ 参考数据及公式：，． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末练习 高二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷（共36分） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由全集，集合，得，而， 所以. 2. 设、、，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式得到对应解集，再根据集合的包含关系结合充分必要条件的定义判断结论. 【详解】解 ，得 ，记对应解集为； 解 ，得 ，记对应解集为； 因为是的真子集，若成立，则一定满足，必要性成立； 若成立，无法推出 ， 例如：满足，但不满足，充分性不成立； 因此“”是“”的必要不充分条件. 4. 甲、乙两名射手进行射击练习，已知甲的命中率为，乙的命中率为，两人的射击结果相互独立．若两人各射击一次，则恰有一人命中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式求解. 【详解】若两人各射击一次，则恰有一人命中目标的概率为. 5. 下列函数的图象关于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数图象关于轴对称，等价于该函数是偶函数，需满足两个条件：①定义域关于原点对称；②. 选项A：，定义域为，不关于原点对称，不满足要求，A错误； 选项B：，定义域为，关于原点对称； 且，是偶函数，图象关于轴对称，符合要求，B正确. 选项C：，，是奇函数，图象关于原点对称，C错误； 选项D：，，是奇函数，图象关于原点对称，D错误. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越大 B. 设，且，则 C. 线性回归直线不一定经过样本点的中心 D. 随机变量，若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机变量的线性相关性的性质、正态分布的对称性，结合线性回归方程的性质、二项分布的期望和方差公式逐一判断即可. 【详解】A：因为两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近， 所以本选项说法不正确； B：因为，且， 所以， 所以，因此本选项说法不正确； C：因为线性回归直线一定经过样本点的中心， 所以本选项说法不正确； D：因为随机变量，，， 所以有，所以本选项说法正确. 7. 中国茶文化博大精深，某种红茶用90°C的热水冲泡，待水温降至时饮用口感最佳．已知室温为，经验表明，从开始，经过分钟后的温度为，可选用函数模型近似刻画茶水温度随时间变化的规律．则在上述条件下，该红茶达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）（参考数据：） A. 3 min B. 5 min C. 7 min D. 9 min 【答案】A 【解析】 【详解】令，得， 则需要放置的时间最接近的是 min 8. 已知函数，则在下列区间中含有零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理即可判断. 【详解】由题意，根据幂函数的单调性，可知在内为增函数， 根据指数函数的单调性，可知在内为减函数， 所以函数在内为增函数， 因为，， ，，， 又指数函数为减函数，所以，，， 根据函数的零点存在定理，可得函数的零点在内. 9. 若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性与递推式可得周期为6，再将自变量转化到已知解析式的区间内求函数值. 【详解】已知是上的偶函数，故；条件，即. 将替换为，代入得，结合偶函数性质，得. 再将替换为，得，即，因此的周期为. 由于，故. ， 再结合条件，令得， 当​时，，，因此. 故. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 已知函数则的值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】 11. 已知7名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】以甲的位置分类，使用排列与加法原理求解. 【详解】第一类：甲站在正中间，共有种排法； 第二类：甲不站在正中间，共有种排法， 所以不同的排法共有种. 12. 已知函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求导，确定函数单调性，由单调性将不等式转换成，求解即可. 【详解】由，定义域为R， 求导得：恒成立， 即在R上单调递增， 所以等价于， 即，解得， 故不等式的解集为. 13. 一箱零件共有6个，其中有2个型，从中随机抽取两个零件，则抽取的这两个零件中型个数的期望是__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得一箱零件共有6个，其中有2个型，则不是型的有4个， 设抽取的这两个零件中型个数为，则的可能取值是， 可得，， ，所以. 14. 已知，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理及赋值法计算即可. 【详解】的二项展开通项为，所以. 由于，所以，解得. 令，则. 令，则. 所以. 15. 已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数，． （1）求的单调区间； （2）求在闭区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）利用（1）的结论，可求函数在给定区间上的最值. 【小问1详解】 ， ， 令，解得或， 当变化时，的变化情况如表所示． + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故的单调递增区间为，；单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知： 3 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 得到，，，， 即函数在区间上的最大值为，最小值为. 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并证明； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数的真数大于0求函数的定义域. （2）利用奇函数的定义证明函数的奇偶性. （3）根据对数函数的单调性结合函数的定义域解不等式. 【小问1详解】 ， 由， 得， 所以的定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为的定义域为，， 令， 由于对数函数单调递减， 所以， 解得. 所以的取值范围为. 18. 设函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二次不等式解法结合题设可得答案； （2）问题等价于恒成立，然后分，两种情况可得答案. 【小问1详解】 由函数， 若，可得， 又由，即不等式， 即，所以不等式的解集为； 【小问2详解】 由对任意实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即， 解得，所以的取值范围是． 19. 近两年，业余足球比赛江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）持续火热．已知足球教练对球员的选拔使用依据训练及比赛的大数据分析．为考查球员甲对球队的贡献，作如下统计（假设球员甲参加过的比赛均决出了胜负）． 甲参加 甲未参加 总计 球队胜 23 8 31 球队负 7 12 19 总计 30 20 50 （1）试问：依据小概率值的独立性检验，能否认为球队胜负与球员甲参赛有关联？ （2）根据以往数据，球员甲能够胜任边锋、中锋、后腰及中后卫四个位置，且出场概率分别为0.25，0.30，0.35，0.10，当球员甲出任上述位置时，球队赢球的概率依次为0.60，0.70，0.50，0.80，则在某场比赛中已知球员甲出场，球队赢球的概率是多少？ 参考数据及公式：，． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）球队胜负与球员甲参赛有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验卡方公式计算观测值，与临界值 6.635 比较，判断是否拒绝无关的零假设。 （2）识别为完备事件组，套用全概率公式，结合各组先验概率与对应赢球条件概率求和得到球队赢球总概率. 【小问1详解】 提出零假设：球队胜负与球员甲是否参赛无关， 所以依据小概率值的独立性检验，能认为球队胜负与球员甲参赛有关联. 【小问2详解】 记分别为事件“球员甲出任边锋、中锋、后腰、及中后卫”，为事件“球队赢球”， 则， ， 所以 故某场比赛当球员甲参加比赛时，球队赢球的概率为. 20. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）①； ②由知，，且， 则 ， 要证，即证，就证， 令函数，求导得， 由函数在上都单调递减，得函数在上单调递减， 又，则，使，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，， 因此， 由函数在上单调递增，得当时，， 于是，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，利用极值点个数及一元二次方程实根分布列式求出范围；由①中信息求出，借助分析法构造函数，再利用导数证明不等式即可. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 令函数，由恰有两个极值点， 得方程有两个不等的正实根，即， 则有，解得，所以的取值范围是. 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $