天津市宝坻区第四中学2024-2025学年高二下学期期末数学模拟测试

2024-2025学年度高二数学第二学期 期末模拟测试 一、单选题 1．已知全集，集合，，那么集合（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】解不等式求出集合，根据交集的定义即可. 【详解】由题意可知，， ， 所以. 故选：B. 2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由奇函数定义及选项单调性可得正确答案. 【详解】对于A，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在递减，在上单调递增，则A错误； 对于B，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在上单调递增，故B正确； 对于C，定义域为，，则函数为偶函数，故C错误； 对于D，定义域为，定义域不关于原点对称，为函数非奇非偶函数，故D错误. 故选：B 3．设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】首先求得的充要条件，然后即可判断. 【详解】由题意或， 而若，则有，所以肯定有或， 取，即满足或，但是不满足， 所以“”是的充分而不必要条件. 故选：A. 4．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数图象选择解析式、奇偶函数对称性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 5．已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】求函数值、求某点处的导数值 【分析】其中为常数，求出函数的导函数，代入求解，从而可以求解. 【详解】由于函数，则其导函数为：， 代入，可得：，解得：，所以， 所以. 故选：D 6．下列结论中，正确的选项个数是（   ） （1）对具有线性相关关系的变量x、y，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 （2）若随机变量，，则 （3）若随机变量，，满足，则， （4）根据分类变量X与Y成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】根据回归方程求原数据中的值、独立性检验的概念及辨析、方差的期望表示、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】（1）运用回归方程性质，样本点中心在回归直线上，利用此性质列方程求解参数； （2）运用正态分布特点，正态曲线有对称轴，对称区间概率相等，据此计算概率； （3）运用随机变量期望和方差的运算性质，根据公式计算随机变量线性变换后的期望和方差； （4）运用独立性检验知识，通过比较值与临界值判断两个变量是否有关联。 【详解】（1）已知回归方程，样本点的中心一定在回归直线上， 将样本点中心代入回归方程可得：， 解得：； （2）因为随机变量，所以正态曲线关于对称 与关于对称，所以 那么； （3）根据期望与方差的性质，（为常数） 可得：，； （4）因为，所以不能判断与有关系. 总上所述：（1）、（2）正确， 故选：B 7．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的单调性，分数指数幂的运算，估计各数值的大致范围，再比较大小. 【详解】由，得， 由，得， 由，可知， 综上得：. 故选：C. 8．甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（    ） A．96种 B．132种 C．168种 D．204种 【答案】C 【知识点】分组分配问题、排列组合综合 【分析】对其余位主播分两种情况讨论，按照先分组、再分配的方法计算可得. 【详解】依题意其余位主播有两种情况： ①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点； 所以不同游玩方法（种）. 故选：C 9．设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在上单调递减，函数在R上单调递增， 因此函数的单调递减区间是，而函数在区间单调递减， 则，即，解得，所以a的取值范围是. 故选：D 二、填空题 10．的二项展开式中，第4项的系数是 .(用数字作答) 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】利用二项式的展开式的通项公式可求第4项的系数. 【详解】二项式的展开式的第4项为. 第4项的系数是. 故答案为：. 11．不等式的解集为，则 ． 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程根与系数的关系求出即可. 【详解】由不等式的解集为，得是方程的两根， 则，解得，所以. 故答案为： 12．盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为 ；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率 . 【答案】 ； . 【知识点】计算条件概率、求超几何分布的概率 【分析】（1）利用超几何分布求概率即可； （2）利用条件概公式求解即可. 【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球” 所以. （2），. 故答案为：；. 13．元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为 ． 【答案】/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式求解概率即可. 【详解】用表示任选一题选到灯谜题目中逻辑推理，传统灯谜，一中文化， 则， 记伟同学任意抽取一道题目答对为事件为， 则， 所以 . 故答案为：. 14．已知随机变量的分布列如表：其中，，若，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、基本不等式“1”的妙用求最值、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据分布列的性质可得，然后由期望公式可得、的关系，最后巧用“1”和基本不等式可得. 【详解】由分布列的性质可知，解得， 所以，又，， 所以 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 15．若函数无极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【解析】本题首先可根据函数解析式得出导函数，然后根据函数无极值点得出，最后通过计算即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为函数无极值点， 所以，解得，实数的取值范围是， 故答案为：. 三、解答题 16．已知函数在处取得极值，其图象在点处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)若对任意，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数、已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据题意得，求出，并检验； （2）原不等式等价于，对恒立，令，利用导数可求该函数的最大值后可得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由题意可得，即，解得， 所以， 故当或时，，单调递增， 当时，，单调递减，符合题意， 所以，. （2）由，即，则，对任意， 令，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，故， 所以，解得或. 所以的取值范围为. 17．已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)用定义法判断的单调性； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)在上单调递减 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）由，可得的值，再验证是奇函数即可； （2）根据单调性的定义判断即可； （3）由奇偶性可得，再由单调性可得，进而可得答案. 【详解】（1）因为是奇函数， 且的定义域为， 所以，可得． 此时，则， 所以是奇函数， 所以符合题意， 所以． （2）由（1）可知，则在上单调递减， 设且，则 ， 因为且，所以，，，即， 所以，即， 所以在上单调递减. （3）由，可得， 即， 因为在上单调递减， 所以，即，所以或， 故不等式的解集为． 18．“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ (2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)列联表见解析，性别与对活动的喜爱程度无关． (2)①概率为；②的分布列见解析；数学期望 【知识点】完善列联表、写出简单离散型随机变量分布列、独立性检验解决实际问题、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）计算出卡方，与2.706比较后得到结论； （2）①利用二项分布求概率公式求出概率；②得到的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望. 【详解】（1）补全的列联表如下： 不喜爱 喜爱 合计 男性 30 90 120 女性 25 55 80 合计 55 145 200 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关． （2）①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则 ． ②的可能取值为， ， ， 的分布列为； X 2 3 4 P 数学期望. 19．某公司对其开发的 AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. (1)若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率. (2)若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设X表示AI软件回答正确的题数，求X的分布列与期望； (3)若从该指定题库中随机选取几道题让AI软件回答，且每道问题是否答对相互独立，并规定连续答对2题或连续答错3题则停止答题，设Y表示AI 软件回答问题的题数，求. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为； (3). 【知识点】独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）用全概率公式求出“一次回答问题，AI软件答对问题”的概率. （2）求出X的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （3）利用独立重复试验的概率及互斥事件的概率公式求解. 【详解】（1）设“一次回答问题，AI软件答对问题”，“选出语文问题让AI回答”， 依题意，，，，， 所以； （2）由（1）知，随机选取1道题让AI软件回答正确的概率为， 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，， ，， ，， 所以X的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望. （3）设“共回答5道题后停止，其中最后2道题AI软件均答对”， “共回答5道题后停止，其中最后3道题AI软件均答错”， 则，， 所以. 20．已知函数 . (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出和的值，利用导数的几何意义和点斜式可得出所求切线的方程； （2）由恒成立可得在上恒成立，令，对求导，求出，即可得出答案. （3）利用导数分析函数的单调性、极值，并求出、，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则，， 所以，函数的图象在处的切线方程， 即； （2）若恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 即实数的取值范围为. （3），则. ，当时，. 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递增，在上单调递减. 故在处取得极大值. 又，， ，则， 在上的最小值是. 又在上有两个零点，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高二数学第二学期 期末模拟测试 一、单选题 1．已知全集，集合，，那么集合（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3．设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 4．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 6．下列结论中，正确的选项个数是（   ） （1）对具有线性相关关系的变量x、y，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 （2）若随机变量，，则 （3）若随机变量，，满足，则， （4）根据分类变量X与Y成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．设，则（    ） A． B． C． D． 8．甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（    ） A．96种 B．132种 C．168种 D．204种 9．设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．的二项展开式中，第4项的系数是 .(用数字作答) 11．不等式的解集为，则 ． 12．盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为 ；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率 . 13．元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为 ． 14．已知随机变量的分布列如表：其中，，若，则的最小值为 . 15．若函数无极值点，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 16．已知函数在处取得极值，其图象在点处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)若对任意，都有恒成立，求的取值范围． 17．已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)用定义法判断的单调性； (3)求不等式的解集. 18．“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ (2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 19．某公司对其开发的 AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. (1)若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率. (2)若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设X表示AI软件回答正确的题数，求X的分布列与期望； (3)若从该指定题库中随机选取几道题让AI软件回答，且每道问题是否答对相互独立，并规定连续答对2题或连续答错3题则停止答题，设Y表示AI 软件回答问题的题数，求. 20．已知函数 . (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$