精品解析：广东东莞市2025-2026学年第二学期教学质量自查高二数学试卷

2025—2026学年度第二学期教学质量自查 高二数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 函数在处的导数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 2封不同的书信有3个不同的邮筒可投，不同投法的种数有（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 3. 已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，设有圆和定点，当从开始在平面内绕匀速旋转时（角速度不变且旋转角度不超过90°），直线l扫过的圆内的面积是时间的函数，这个函数的图像只可能是（ ） A. B. C. D. 5. 某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 销售额（万元） 39 49 54 根据上表可得经验回归方程，则的值为（ ） A. 26 B. 27 C. 28 D. 28.5 6. 若二项式（）的展开式中存在常数项，则的最小值为：（ ） A. 14 B. 10 C. 7 D. 5 7. 袋中有5个白球，3个黑球，从中依次取球，当取出两个相同颜色的球时停止取球，记为取出球的总数．若每次取球后不放回，则的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 9. 下列关系式正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 生物医学研究中，常通过随机对照试验评估一种新药对某种疾病的预防效果．为评估一种新药对某种疾病的预防效果，研究人员对某种动物群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 用药 5 45 50 未用药 25 25 50 合计 30 70 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物．记事件发生与不发生的概率之比为；记在事件发生的条件下，事件发生与不发生的概率之比为．根据以上定义及表中数据，下列说法正确的有（ ） A. 的估计值为 B. 的含义为用药可能降低发病风险 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 在的展开式中，的系数为________（请用数字作答）． 13. 随机选择一个有两个孩子的家庭，如果已知这个家庭有孩子的生日在星期一，则该家庭两个孩子的生日都在星期一的概率为________． 14. 设函数，，若存在，，使得，则的最大值为________． 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 人工智能大模型已成为新一代数字技术核心，某企业自主研发了人工智能大模型，为了比较其与传统人工智能模型的文本生成效果，随机抽取，两种模型各50次文本生成效果，已知每次文本生成效果分为有效生成与无效生成两种情况，其部分统计数据如下表． 有效生成 无效生成 合计 模型 10 模型 20 合计 30 （1）完成列联表，并以样本估计总体，频率估计概率，估计利用大模型随机生成1次文本，该文本生成效果为有效生成的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断文本生成效果与模型类型有关？ 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数． （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）当时，求在区间上的最大值． 17. 一个口袋中有个红球，个白球，这个小球除颜色外均相同．每次同时摸个球，若摸到的个球中至少有个红球，则该次摸球中奖． （1）若有放回地连续摸次，求中奖次数的分布列及数学期望； （2）若不放回地连续摸次，求第次中奖的概率． 18. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在处取得极值，且，求实数的取值范围； （3）当时，证明：． 19. 某选手参加知识闯关比赛，比赛按轮次进行．每一轮比赛系统随机分配一道基础题或拓展题，分配到基础题的概率为，分配到拓展题的概率为．已知该选手答对基础题的概率为，答对拓展题的概率为，且各轮次答题结果相互独立． （1）若规定比赛轮次为10轮，记该选手答对轮次总数为，求为何值时概率最大； （2）若规定连续两轮答题均答错，比赛立即终止．记为该选手在第个轮次比赛后，比赛还未结束的概率． ①求，； ②若对系统分配题目进行设置，在完成第个轮次比赛后，当时，系统停止分配题目，求该选手最多能进行多少个轮次的比赛． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期教学质量自查 高二数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 函数在处的导数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出导函数，将代入计算求解． 【详解】函数，有，所以函数在处的导数值为． 2. 2封不同的书信有3个不同的邮筒可投，不同投法的种数有（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】2封书信不同，3个邮筒也不同，每封书信有3种投法， 由分步乘法计数原理得：． 3. 已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C正确； 由图可知，，所以D错误． 4. 如图，设有圆和定点，当从开始在平面内绕匀速旋转时（角速度不变且旋转角度不超过90°），直线l扫过的圆内的面积是时间的函数，这个函数的图像只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于是匀速旋转，阴影部分面积在开始和最后时段增加慢，中间时段增加快. 选项A的图像表示的增速是常数，与实际不符，故A选项不符合题意； 选项B的图像表示最后时段增加快，与实际不符，故B选项不符合题意； 选项C的图像表示开始和最后时段增加快，中间时段增加慢，故选项C不符合题意； 选项D的图像表示开始和最后时段增加慢，中间时段增加快，符合实际，应选D. 5. 某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 销售额（万元） 39 49 54 根据上表可得经验回归方程，则的值为（ ） A. 26 B. 27 C. 28 D. 28.5 【答案】A 【解析】 【详解】根据表格数据可知：，， 因为回归方程必过样本中心点， 故可得，解得. 6. 若二项式（）的展开式中存在常数项，则的最小值为：（ ） A. 14 B. 10 C. 7 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】二项式（）的展开式通项公式为： ， 若上式中存在常数项，则有解，那么的最小值为7. 7. 袋中有5个白球，3个黑球，从中依次取球，当取出两个相同颜色的球时停止取球，记为取出球的总数．若每次取球后不放回，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件表示的意义，结合排列组合数公式，即可求解. 【详解】表示第一次取得白球，第二次取得黑球，或是第一次取得黑球，第二次取得白球， 所以 8. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用单位圆先证明，再结合导数讨论函数的单调性后可得所求大小关系. 【详解】在单位圆中，如图所示，， 那么， 因为, 所以，,即 所以， 所以， 所以， 设函数， 则在上恒成立， 因此在上单调递减， 因为，所以， 则，即，排除AC， 由，得， 即, 两边除以，又，得 ， 所以，即，故B正确. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 9. 下列关系式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用排列数、组合数的阶乘展开公式与两大核心性质（组合对称性质，组合递推公式，排列数恒等变形），分别对四个选项左右两边展开化简对比，判断等式是否成立，得出B、C、D正确． 【详解】对于A，，，显然，A错误； 对于B，根据组合数性质，得，B正确； 对于C，， ， 所以，C正确； 对于D，， ， 所以，故D正确． 10. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】小球从顶端下落，最终落入编号1到6的格子，说明小球在下落过程中共需要碰撞5次小木钉， 每次碰撞后等概率选择向左或者向右，概率均为. 设5次碰撞中向右的总次数为，则，且格子编号. ，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D正确. 11. 生物医学研究中，常通过随机对照试验评估一种新药对某种疾病的预防效果．为评估一种新药对某种疾病的预防效果，研究人员对某种动物群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 用药 5 45 50 未用药 25 25 50 合计 30 70 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物．记事件发生与不发生的概率之比为；记在事件发生的条件下，事件发生与不发生的概率之比为．根据以上定义及表中数据，下列说法正确的有（ ） A. 的估计值为 B. 的含义为用药可能降低发病风险 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由表格数据求、进而得、，求及判断意义，再依据条件概率公式推导与其他概率关系，最后判断各选项. 【详解】由题意可得：总样本100只，发病共30只，因此​，则， 用药共50只，用药后发病5只，因此，则， 因此，A正确， 所以，说明在使用药物条件下发病率与不发病率之比小于总体发病与不发病概率之比， 所以用药可能降低发病风险，B正确， 根据条件概率公式可得， 由，则， 由，则，C正确， 由表格数据​​，D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 在的展开式中，的系数为________（请用数字作答）． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用多项式乘法展开，再利用二项式定理得到的通项，分别找到，中含的项的系数，并求和即可. 【详解】利用多项式乘法展开, 设展开式通项为，那么 令，得 ，所以中含的项为； 令，得 ，所以中含的项为， 所以，在的展开式中，含的项为，系数为1. 13. 随机选择一个有两个孩子的家庭，如果已知这个家庭有孩子的生日在星期一，则该家庭两个孩子的生日都在星期一的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设相应事件，根据对立事件以及独立事件概率求法可得，，结合条件概率公式运算求解. 【详解】由题意可知：每个孩子生日在星期一的概率为，不在星期一的概率为， 设该家庭有孩子的生日在星期一为事件A，该家庭两个孩子的生日都在星期一为事件B， 则，， 所以. 14. 设函数，，若存在，，使得，则的最大值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】由已知条件得出，分析可知函数在上单调递增，可得出，于是得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得出的最大值. 【详解】由题意，即，所以， 由，所以在上单调递增，则，可得， 所以， 令，函数定义域为，则， 令，有在上恒成立， 所以在上单调递减，即在上单调递减， 由，则时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为0. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 人工智能大模型已成为新一代数字技术核心，某企业自主研发了人工智能大模型，为了比较其与传统人工智能模型的文本生成效果，随机抽取，两种模型各50次文本生成效果，已知每次文本生成效果分为有效生成与无效生成两种情况，其部分统计数据如下表． 有效生成 无效生成 合计 模型 10 模型 20 合计 30 （1）完成列联表，并以样本估计总体，频率估计概率，估计利用大模型随机生成1次文本，该文本生成效果为有效生成的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断文本生成效果与模型类型有关？ 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 有效生成 无效生成 合计 模型A 40 10 50 模型B 30 20 50 合计 70 30 100 （2）能推断文本生成效果与模型类型有关 【解析】 【分析】（1）先计算随机生成1次为有效生成的频率，再由频率估计概率. （2）直接由独立性检验计算可得. 【小问1详解】 由已知得列联表： 有效生成 无效生成 合计 模型A 40 10 50 模型B 30 20 50 合计 70 30 100 由表格知，模型A共生成50次，其中有效生成40次， 所以随机生成1次文本，文本生成效果为有效生成的频率为， 根据频率估计概率，利用模型A随机生成1次文本，该文本生成效果为有效生成的概率为. 【小问2详解】 零假设：文本生成效果与模型类型无关， 计算得， 依据小概率值的独立性检验，有充分的证据推断不成立， 即能推断文本生成效果与模型类型有关． 16. 已知函数． （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）当时，求在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程即可； （2）求导，令，求导可得恒成立，进而可得在上单调递增，分和两种情况讨论可求得在区间上的最大值． 【小问1详解】 当时，， 求导得， 所以，， 所以切线方程为， 所以函数的图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 由题知，， 求导得， 令，则， 因为，所以，， 所以当时，恒成立， 所以在上单调递增， 即在上单调递增， 计算得，， ①当，即时， 恒成立， 所以在上单调递增， ②当，即时， 因为，， 所以，存在唯一使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，， ． 综上所述，函数在区间的最大值为． 17. 一个口袋中有个红球，个白球，这个小球除颜色外均相同．每次同时摸个球，若摸到的个球中至少有个红球，则该次摸球中奖． （1）若有放回地连续摸次，求中奖次数的分布列及数学期望； （2）若不放回地连续摸次，求第次中奖的概率． 【答案】（1） X 0 1 2 3 P （2） 【解析】 【分析】（1）先利用组合数算出单次摸球中奖概率，有放回摸次为独立重复试验，故中奖次数服从二项分布，套二项分布概率公式算出各取值概率列出分布列，再用二项分布期望公式求数学期望； （2）把第一次摸球分为两红、一红一白、两白三类互斥情况，分别算出各类概率与对应第二次中奖的条件概率，借助全概率公式分类求和，得到第二次中奖的总概率． 【小问1详解】 设“有放回地每次同时摸个球中奖”为事件， 则事件包含摸到的两个球均为红球，或摸到的两个球为一红一白两类情形， 由古典概型得， 的所有可能的取值为， 则， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ； 【小问2详解】 设“不放回地第次摸个球中奖”为事件， 一次摸个球总基本事件数，不中奖的事件数， ，， 事件分两类互斥子事件：为第一次摸的球为红，为第一次摸的球为红白， ，， ，，， ， 所以不放回地连续摸次，第次中奖的概率为． 18. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在处取得极值，且，求实数的取值范围； （3）当时，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2） （3）证明：令， 由（2）知在上单调递减，则在上单调递减， 因为， 所以，即， 因为，所以， 又因为， 所以． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数按分类讨论的单调性； （2）利用极值点求出，结合不等式构造函数，求导，分析函数单调性及最小值，进而求出实数的取值范围； （3）构造函数，分析函数单调性，结合已知条件构造不等式，进而证明结论． 【小问1详解】 由题得，， ①当时，恒成立，所以在上单调递减； ②当时， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 函数在处取得极值， 由（1）知，且，解得， 由，得,即， 令，，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即． 【小问3详解】 略． 19. 某选手参加知识闯关比赛，比赛按轮次进行．每一轮比赛系统随机分配一道基础题或拓展题，分配到基础题的概率为，分配到拓展题的概率为．已知该选手答对基础题的概率为，答对拓展题的概率为，且各轮次答题结果相互独立． （1）若规定比赛轮次为10轮，记该选手答对轮次总数为，求为何值时概率最大； （2）若规定连续两轮答题均答错，比赛立即终止．记为该选手在第个轮次比赛后，比赛还未结束的概率． ①求，； ②若对系统分配题目进行设置，在完成第个轮次比赛后，当时，系统停止分配题目，求该选手最多能进行多少个轮次的比赛． 【答案】（1） （2）①，；②6 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式可求出在一个轮次中答题正确的概率为，由题意得，利用作商法判断概率大小即可求解； （2）①根据比赛规则分析比赛还未结束的条件，利用全概率公式和概率乘法公式计算即可；②设事件“第n个轮次后比赛未结束”，由题意得，所以，，且，，利用作差法可以证明数列为单调递减数列，然后计算即可求解. 【小问1详解】 设事件“分配到基础题”，则“分配到拓展题”，事件“在一个轮次中答题正确”， 由题意得，，，， 所以， 由题意得，可得， 所以， 当时，解得； 当时，解得； 所以， 所以当时概率最大. 【小问2详解】 ①设事件“该选手在第n个轮次中答题正确”，则， 当时，比赛显然不会终止，则， 当时，第1、2轮次比赛至少答对一次，则， 当时，包含“第3轮答题正确，第2个轮次后比赛未结束”和“第3轮答题错误，第2轮答题正确，第1个轮次后比赛未结束”两类， 则， ②设事件“第n个轮次后比赛未结束”， 当时，第n个轮次后比赛未结束有两种情况： （i）第n轮答题正确，且第个轮次后比赛未结束； （ii）第n轮答题错误，且第轮答题正确，且第个轮次后比赛未结束． 所以，则， 所以，，且，， 当时，， 所以，， 因为，， 所以为单调递减数列，则， 所以该选手最多能进行6个轮次的比赛. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $