第21章《四边形》暑假复习与巩固练习 2025--2026学年人教版八年级数学下册

人教版八年级上册预习 第21章 四边形 本章复习目标 掌握多边形内角和、外角和公式，系统梳理平行四边形及矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定，厘清各类四边形的从属关系，构建完整知识体系。 熟练运用四边形的性质与判定完成几何推理、计算与证明，掌握三角形中位线定理的应用，提升逻辑推理与直观想象的数学核心素养。 能结合生活场景建立四边形数学模型，解决实际问题，体会类比、转化、分类讨论等数学思想，感受几何知识的应用价值。 本章知识框架 知识点复习 21.1 多边形的内角和与外角和 知识点 1：多边形的相关概念 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做___多边形___。 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的___对角线___。 各个角都相等，各条边都相等的多边形，叫做___正___多边形。 知识点 2：多边形的内角和公式 n 边形的内角和等于____(n−2)×180°____。 推导思路：从 n 边形的一个顶点出发，可以引出___n−3___条对角线，将 n 边形分成___n−2___个三角形，利用三角形内角和推导得出。 知识点 3：多边形的外角和定理 任意多边形的外角和都等于__360°____，与边数无关。 四边形的内角和为__360°____，外角和为___360°___。 21.2 平行四边形 知识点 1：平行四边形的定义与相关概念 两组对边分别__平行____的四边形叫做平行四边形，用符号 “ ▱ ”表示。 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处 相等 。 四边形具有___不稳定___性，生活中的伸缩门就是利用了这一特性。 知识点 2：平行四边形的性质 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，同时具备以下核心性质： 边：对边___平行___且___相等___； 角：对角__相等____，邻角__互补____； 对角线：对角线互相___平分___。 延伸结论：平行四边形的一条对角线将其分成两个___全等___的三角形；两条对角线将其分成 4 个面积___相等___的三角形。 知识点 3：平行四边形的判定 从边、角、对角线三个维度，共有 5 种判定方法： 边：① 两组对边分别平行的四边形；② 两组对边分别___相等___的四边形；③ 一组对边___平行___且___相等___的四边形； 角：两组对角分别___相等___的四边形； 对角线：对角线互相___平分___的四边形。 知识点 4：三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边__中点____的线段，叫做三角形的中位线。 定理：三角形的中位线___平行___于第三边，并且等于第三边的____一半__。 应用：证明线段平行关系、推导线段的倍分数量关系，也可用于间接测量两点间的距离。 21.3 特殊的平行四边形 知识点 1：矩形 定义：有一个角是___直角___的___平行___四边形叫做矩形。 性质： 具备平行四边形的所有性质； 四个角都是___直角___； 对角线__相等____； 对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形，有___2___条对称轴。 判定： 定义法：有一个角是直角的平行四边形； 对角线___相等___的平行四边形是矩形； 有__三____个角是直角的四边形是矩形。 知识点 2：菱形 定义：有一组邻边__相等____的___平行___四边形叫做菱形。 性质： 具备平行四边形的所有性质； 四条边都___相等___； 对角线互相___垂直平分___，并且每条对角线__平分____一组对角； 对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形，有__2____条对称轴。 面积公式：S=底×高=____两条对角线乘积的一半____。 判定： 定义法：有一组邻边相等的平行四边形； 对角线互相___垂直___的平行四边形是菱形； 四条边都____相等__的四边形是菱形。 知识点 3：正方形 定义：有一组邻边__相等____，并且有一个角是__直角____的平行四边形叫做正方形。 性质：同时兼具___矩形___和__菱形____的所有性质： 边：四条边相等，对边平行； 角：四个角都是直角； 对角线：相等、互相垂直平分、每条对角线平分一组对角； 对称性：有___4___条对称轴。 判定思路（两步法）： 路径 1：先证明四边形是矩形，再证明有一组邻边相等（或对角线互相垂直）； 路径 2：先证明四边形是菱形，再证明有一个角是直角（或对角线相等）。 核心定位：正方形是最特殊的平行四边形，既是特殊矩形，也是特殊菱形。 21.4 综合应用与拓展 知识点 1：中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形，它一定是__平行四边____形。 中点四边形的形状由原四边形的___对角线___决定： 原四边形对角线___相等___ → 中点四边形是菱形； 原四边形对角线___互相垂直___ → 中点四边形是矩形； 原四边形对角线___相等且互相垂直___ → 中点四边形是正方形。 知识点 2：四边形综合解题方法 转化思想：将四边形问题转化为___三角形___问题，结合全等三角形、勾股定理等知识求解。 方程思想：折叠类、动点类问题中，设未知数，利用边长关系建立方程求解。 建模思想：将生活中的窗框、晾衣架、道路规划等实际场景，抽象为四边形模型解决问题。 本章核心数学思想 类比思想：按照 “多边形→平行四边形→特殊平行四边形” 的脉络，通过类比迁移研究图形的性质与判定，体现一般到特殊的研究方法。 转化思想：把四边形拆解为三角形，将未知图形转化为已学知识，是解决几何问题的核心思路。 分类讨论思想：当图形形状、位置不明确时，对多种可能情况分类讨论，避免漏解。 数形结合思想：以形助数、以数解形，结合内角和公式、勾股定理、方程运算求解几何问题。 本章易错点提醒 多边形公式记错：内角和公式是(n−2)×180°，外角和恒为360°，不可混淆。 判定前提混淆：特殊平行四边形的判定需注意前提是 “四边形” 还是 “平行四边形”。 例：“对角线相等的四边形是矩形” 是错误的，正确表述为：对角线相等的___平行___四边形是矩形。 面积公式误用：“对角线乘积的一半” 仅适用于对角线___互相垂直___的四边形（如菱形、正方形），不可随意套用。 分类讨论遗漏：已知平行四边形两边长求周长、或已知两边及一角求对角线时，需考虑图形的多种形态，避免漏解。 正方形判定逻辑不全：判定正方形必须同时满足矩形和菱形的双重特征，仅满足单一条件不成立。 知识点练习 一、 选择题 1.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ） A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形 【答案】 A 【解析】 根据边形的内角和是 ，列出方程即可求解。 【解答】 解：根据边形的内角和公式，得 ， 解得， 这个多边形的边数是7， 故选：A. 2.如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数是（        ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】 C 【解析】 设这个多边形的边数为n，任意多边形外角和恒为360°，n边形内角和为，据此结合题意建立方程求解即可. 【解答】 解：设这个多边形的边数为n， 由题意得， 解得n=8， 这个多边形的边数为8. 故选：C.  3.下列命题，其中是真命题的是（       ） A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.对角线互相平分的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】 D 【解析】 分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可. 【解答】 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意；有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意。 故选：D. 4.如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点．若，，，则的周长为（        ） A. B.15 C.22 D.23 【答案】 B 【解析】 根据平行四边形的性质求得BO，CO，进而根据E，F分别是OB，OC的中点得出EO，FO，根据中位线的性质求得EF，即可求解. 【解答】 解： ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=12，BD=20， BO BD=10，CO AC=6 E，F分别是OB，OC的中点，BC=14， EO BO=5，FO CO=3，EF是 OBC的中位线，则EF BC=7， OEF的周长为5+3+7=15 故选：B.  5.如图，已知直线，，，则的高是（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 用平行线间的距离处处相等得到 与 中BC边上的高相等，利用面积即可求解. 【解答】 解：如图，过点A作 ，过 作 即 的高是2cm. 故选：A.  6.如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（        ） A. B.1 C. D.2 【答案】 B 【解析】 先利用平行四边形性质得到 ， ， ，再证明四边形 是平行四边形得到 ，则 ，在Rt 中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得 和 即可. 【解答】 解：四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ，则 ， ， ， 在Rt 中， ， ，则 ， 由勾股定理得 ， ， （负值舍去），则 . 故选：B.  7.将矩形按图①的方式折叠得到四边形（如图②所示），四边形恰为菱形，若，则的长是（        ）      A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据菱形的性质可得对角线AC平分∠FCE，根据折叠的性质可得∠BCE=∠ECA，结合矩形的直角性质求出∠BCE=∠BCD=30°， 再利用含30°角的直角三角形性质及勾股定理求解即可. 【解答】 解：∵ 四边形AECF是菱形， ∴ AC平分∠FCE，即∠FCA=∠ECA， 由折叠的性质得出∠BCE=∠ECA， ∴ ∠FCA=∠ECA=∠BCE ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠BCD=90°， ∴ ∠BCE=∠BCD=30°， 在Rt△BCE中，∠B=90°，∠BCE=30°， ∴ CE=2BE，BE²+BC²=CE² 即BE²+9=(2BE)²， 解得BE=. 故选：A. 8.四边形ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如图：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（          ） 甲                              乙 A.仅甲正确 B.甲、乙均错误 C.甲、乙均正确 D.仅乙正确 【答案】 C 【解析】 根据菱形的判定，证明甲作出的四边形为菱形，证明乙作出的图形是菱形，即可得出答案. 【解答】 解：根据甲的作图可知，EF垂直平分BD， ，EF BD，DE=BE， 四边形ABCD是平行四边形， （AAS）， 四边形BEDF为平行四边形， 即甲的做法正确； 根据乙的做法可知，BF平分 ，AB=BE， 根据乙的做法可知，BF平分 ，AB=BE， 四边形ABCD是平行四边形， 在 和 中 （SAS）， 四边形ABEF为菱形； 综上分析可知，甲、乙均正确，故C正确. 故选：C.  9.如图，已知线段，连接，，点E，F分别是边，的中点，连接，且，，则的长为（     ） A.8 B.6 C.10 D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，作出辅助线，构造出直角三角形是解决此题的关键。连接BD，取BD中点G，连接EG，FG，根据三角形中位线定理求得EG，FG的值，证得 ，然后利用勾股定理即可求出EF的长. 【解答】 解：连接BD，取BD中点G，连接EG，FG， ，G分别是AD，BD中点， ，EG//AB， 同理可得FG ，FG 在Rt 中，EF 故选：C. 10.如图，正方形中，E是上一点，将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③若连接CG，则；④若正方形边长为2，E为的中点，则点C到直线的距离为1．其中正确的是（       ）     A.①③ B.①②③ C.①③④ D.②④ 【答案】 B 【解析】 由折叠的性质可得 ，再由角平分线的定义得到 ，由正方形的性质可得 AB=AD，则可导角证明 ，据此可判断 ① ；过点B作BP AG于P，可证明 ，得到AH=BP，DH=AP=HG，则可证明AH=PG，则BP=GP，据此可判断 ② ；过点B作 BT BG交AG于T，则 ，可证明 是等腰直角三角形，BT=BG， ，则 ，再证明 ，得到 ，则 ，据此可判断 ③ ；连接AC，由勾股定理得 ，利用等面积法得到 ，则 ，可得 ；由勾股定理得 ，由勾股定理得 ，据此可判断 【解答】 ∵ 是 的平分线， 四边形ABCD是正方形， ，故①正确； 过点B作BP AG于P， ，即AH=PG, ，故②正确； 如图所示，过点B作BT BG交AG于T，则 是等腰直角三角形， 又 ，故③正确； 连接AC， 正方形的边长为2，E为AB的中点， 在Rt 中，由勾股定理得 在Rt 中，由勾股定理得 在Rt 中，由勾股定理得 点C到直线AG的距离为 故 ④错误， 故选：B. 二、 填空题 11.正九边形的一个外角为___40____度． 【答案】 40 【解析】 正多边形的外角都相等，用外角和 除以边数9，即得一个外角度数. 【解答】 正多边形每个内角都相等 正多边形每个外角都相等.又 多边形外角和为 正九边形的一个外角为： 故答案为：40. 12.如图，的周长为16cm，相交于点O，交于E，则的周长为___8_____cm． 【答案】 8 【解析】 本题考查平行四边形的性质，中垂线的性质，根据平行四边形的性质，求出，垂直平分，得到，进而得到的周长等于，即可. 【解答】 解：的周长为16cm，、相交于点， ，， ， ， 垂直平分， ， 的周长； 故答案为：8. 13.如图．在中，，点D，E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长为________． 【答案】 【解析】 连接CD，取CD的中点K，连接MK，NK.由三角形中位线定理推出 ，由勾股定理即可求出MN的长. 【解答】 解：如解图，连接CD，取CD的中点K，连接MK，NK. M，N分别是AC，DE的中点， MK，NK分别是 和 的中位线， ， ， ， AB BC， MK NK， MN 解图 故答案为：.  14.如图，在矩形中，，点是边的中点，连接，点是的中点，连接、，若，则____4____． 【答案】 4 【解析】 过P作AD的平行线分别交AB，CD于M，N，设 ，再利用勾股定理得到PB，PC，结合CP ，利用勾股定理解出x即可. 【解答】 解：过P作AD的平行线分别交AB，CD于M，N，设 点P是AQ的中点，且PN AD， 为 的中位线， 又点Q是CD边的中点， 又MN AD，ABCD为矩形， 四边形BCNM为矩形， 又CP BP， 即 解得x=1，即CD=4x=4. 故答案为：4.  15.如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点E，F是BC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是 ___24_____． 【答案】 24 【解析】 由菱形的性质得AB=BC=CD=AD，AE=CE，再证EF是△ABC的中位线，得AB=2EF=2×3=6，即可求解. 【解答】 解：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD，AE=CE， ∵ F是BC的中点， ∴ EF是△ABC的中位线， ∴ AB=2EF=2×3=6， ∴ 菱形ABCD的周长=4×6=24. 故答案为：24. 16.如图，以 的斜边 为边，在△ 的同侧作正方形 ，对角线 、 交于点 ，连接 ．若 ，，则 ________． 【答案】 【解析】 过点O作OG AO，先证 ，求出AC的长，再用勾股定理解答即可. 【解答】 解：如下图所示，过点O作OG AO，交AG于点G， 四边形BCEF为正方形， 故答案为：. 三、 解答题   17.若多边形的内角和为，求此多边形的边数； （2）一个n边形的每个外角都相等，如果它的一个内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 【答案】 15; (2) 15 【解析】 本题主要考查了多边形的内角和，多边形的内角与外角关系、方程的思想. (1) 根据多边形的内角和计算公式作答； (2) 先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角。再根据外角和是固定的 ，从而可代入公式求解. 【解答】 解：设此多边形的边数为 ，则 解得， 故此多边形的边数为15； (2) 设多边形的一个外角为 度，则一个内角为13x度，依题意得 解得 故n的值为15.  18.如图，在中，E为上一点，，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．     （1）在图1中作的平分线； （2）在图2中作的平分线． 【答案】 见详解 见详解 【解析】 （1）连接BE，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD BC， ，结合AB=AE，则 ，得 ，得出EB是 的平分线； （2）连接AC，BD，它们相交于点O，连接EO，并延长EO交BC于点F，连接DF，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD BC， AB=CD，AO=CO，得 ，因为 ，所以 ，所以AE=CF，结合AB=AE，AB=CD，得CF=CD，则 ，因为 得 ，故FD是 的分线，进行作答即可. 【解答】 （1）解：如图1，射线BE即为所求： 图1 （2）解：如图2，射线DF即为所求： 图2   19.如图，四边形是矩形，点、分别是左侧、右侧的点，连接、、、，延长、交于点，，，求证：． 【答案】 见解答 【解析】 通过论证 来证明结论即可. 【解答】 证明： 四边形ABCD是矩形， , ， ， （SAS), , ， .   20.如图，E，F是的对角线上两点，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】 见解答 【解析】 （1）连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质得到 ，可证明 ，据此可证明四边形BEDF是平行四边形； （2）由勾股定理求出BE的长，再根据平行四边形对边相等即可得到答案. 【解答】 （1）证明：如图所示，连接BD交AC于点O， 四边形ABCD是平行四边形， 四边形BEDF是平行四边形； （2）解： , AE=2, 由（1）得四边形BEDF是平行四边形， 21.在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）判断四边形是哪种特殊四边形； （3）在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】 见解析 菱形 6 【解析】 （1）根据平行线的性质，则 ，根据全等三角形的判定和性质，则 ，即可； （2）根据题意，BD=DC，再根据AF=DB，平行四边形的判定和性质，则四边形ADCF是平行四边形，再根据直角三角形的性质，菱形的判定和性质，即可； （3）连接DF，根据 ， ，则四边形ABDF是平行四边形，根据菱形的面积公式，即可. 【解答】 （1）解： （1）解： 是AD的中点， (ASA)； （2）解：由（1）得 是BC的中点， 四边形ADCF是平行四边形， 是直角三角形，D是BC的中点， 平行四边形ADCF是菱形. （3）连接DF， 四边形ABDF是平行四边形， 四边形ADCF是菱形， 22.如图，在正方形中，点是对角线的中点，点为边上一点，连接，过点作交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，线段、、之间有怎样的数量关系，请说明理由； （3）如图3，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若，，，求的长． 【答案】 见解析 （1）方法一：如图1，连接OB，证明 ；方法二：如图2，连接OB，过点O作OH AB，过点O作OG BC，证明 ，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）延长FO交CD于H，连接HE，证明 ，则AF=HC，OF=OH，根据垂直平分线的性质可得HE=EF，进而根据勾股定理，即可得出结论； 证明 ，则AF=HC，OF=OH，同理可得HE=EF，根据 ，建立方程解方程， 【解析】 （1）本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；熟练运用这些知识，证明三角形全等是解题的关键 (3) 证明 ，则 AF=HC，OF=OH，同理可得HE=EF，根据 ，建立方程解方程， 【解答】 （1）证明：方法一：如图1，连接OB 图1 四边形ABCD是正方形，O是AC的中点， 又 在 和 中， 方法二：如图2，连接OB，过点O作 ，过点O作OG 图2 四边形ABCD是正方形，O是AC的中点， BO平分 四边形OHBG为正方形 又 （2） 如图3，延长FO交CD于H，连接HE 图3 四边形ABCD是正方形， 四边形ABCD是正方形， O是AC的中点， 又 则 ， 即 （3）如图4，延长FO交CD于H，连接P 图4 四边形ABCD是矩形， 是AC的中点. (ASA) 又 则 ， 解得 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册预习 第21章 四边形 本章复习目标 掌握多边形内角和、外角和公式，系统梳理平行四边形及矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定，厘清各类四边形的从属关系，构建完整知识体系。 熟练运用四边形的性质与判定完成几何推理、计算与证明，掌握三角形中位线定理的应用，提升逻辑推理与直观想象的数学核心素养。 能结合生活场景建立四边形数学模型，解决实际问题，体会类比、转化、分类讨论等数学思想，感受几何知识的应用价值。 本章知识框架 知识点复习 21.1 多边形的内角和与外角和 知识点 1：多边形的相关概念 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做______。 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的______。 各个角都相等，各条边都相等的多边形，叫做______多边形。 知识点 2：多边形的内角和公式 n 边形的内角和等于________。 推导思路：从 n 边形的一个顶点出发，可以引出______条对角线，将 n 边形分成______个三角形，利用三角形内角和推导得出。 知识点 3：多边形的外角和定理 任意多边形的外角和都等于______，与边数无关。 四边形的内角和为______，外角和为_____。 21.2 平行四边形 知识点 1：平行四边形的定义与相关概念 两组对边分别______的四边形叫做平行四边形，用符号 “ ▱ ”表示。 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处 。 四边形具有______性，生活中的伸缩门就是利用了这一特性。 知识点 2：平行四边形的性质 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，同时具备以下核心性质： 边：对边______且______； 角：对角______，邻角______； 对角线：对角线互相______。 延伸结论：平行四边形的一条对角线将其分成两个______的三角形；两条对角线将其分成 4 个面积______的三角形。 知识点 3：平行四边形的判定 从边、角、对角线三个维度，共有 5 种判定方法： 边：① 两组对边分别平行的四边形；② 两组对边分别______的四边形；③ 一组对边______且______的四边形； 角：两组对角分别______的四边形； 对角线：对角线互相______的四边形。 知识点 4：三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边______的线段，叫做三角形的中位线。 定理：三角形的中位线______于第三边，并且等于第三边的______。 应用：证明线段平行关系、推导线段的倍分数量关系，也可用于间接测量两点间的距离。 21.3 特殊的平行四边形 知识点 1：矩形 定义：有一个角是______的______四边形叫做矩形。 性质： 具备平行四边形的所有性质； 四个角都是______； 对角线______； 对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形，有______条对称轴。 判定： 定义法：有一个角是直角的平行四边形； 对角线______的平行四边形是矩形； 有______个角是直角的四边形是矩形。 知识点 2：菱形 定义：有一组邻边_____的______四边形叫做菱形。 性质： 具备平行四边形的所有性质； 四条边都______； 对角线互相______，并且每条对角线______一组对角； 对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形，有______条对称轴。 面积公式：S=底×高=________。 判定： 定义法：有一组邻边相等的平行四边形； 对角线互相______的平行四边形是菱形； 四条边都______的四边形是菱形。 知识点 3：正方形 定义：有一组邻边______，并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形。 性质：同时兼具______和______的所有性质： 边：四条边相等，对边平行； 角：四个角都是直角； 对角线：相等、互相垂直平分、每条对角线平分一组对角； 对称性：有______条对称轴。 判定思路（两步法）： 路径 1：先证明四边形是矩形，再证明有一组邻边相等（或对角线互相垂直）； 路径 2：先证明四边形是菱形，再证明有一个角是直角（或对角线相等）。 核心定位：正方形是最特殊的平行四边形，既是特殊矩形，也是特殊菱形。 21.4 综合应用与拓展 知识点 1：中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形，它一定是______形。 中点四边形的形状由原四边形的______决定： 原四边形对角线______ → 中点四边形是菱形； 原四边形对角线______ → 中点四边形是矩形； 原四边形对角线______ → 中点四边形是正方形。 知识点 2：四边形综合解题方法 转化思想：将四边形问题转化为______问题，结合全等三角形、勾股定理等知识求解。 方程思想：折叠类、动点类问题中，设未知数，利用边长关系建立方程求解。 建模思想：将生活中的窗框、晾衣架、道路规划等实际场景，抽象为四边形模型解决问题。 本章核心数学思想 类比思想：按照 “多边形→平行四边形→特殊平行四边形” 的脉络，通过类比迁移研究图形的性质与判定，体现一般到特殊的研究方法。 转化思想：把四边形拆解为三角形，将未知图形转化为已学知识，是解决几何问题的核心思路。 分类讨论思想：当图形形状、位置不明确时，对多种可能情况分类讨论，避免漏解。 数形结合思想：以形助数、以数解形，结合内角和公式、勾股定理、方程运算求解几何问题。 本章易错点提醒 多边形公式记错：内角和公式是(n−2)×180°，外角和恒为360°，不可混淆。 判定前提混淆：特殊平行四边形的判定需注意前提是 “四边形” 还是 “平行四边形”。 例：“对角线相等的四边形是矩形” 是错误的，正确表述为：对角线相等的___平行___四边形是矩形。 面积公式误用：“对角线乘积的一半” 仅适用于对角线______的四边形（如菱形、正方形），不可随意套用。 分类讨论遗漏：已知平行四边形两边长求周长、或已知两边及一角求对角线时，需考虑图形的多种形态，避免漏解。 正方形判定逻辑不全：判定正方形必须同时满足矩形和菱形的双重特征，仅满足单一条件不成立。 知识点练习 一、 选择题 1.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ） A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形 2.如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数是（        ） A.6 B.7 C.8 D.9 3.下列命题，其中是真命题的是（       ） A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.对角线互相平分的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 4.如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点．若，，，则的周长为（        ） A. B.15 C.22 D.23  5.如图，已知直线，，，则的高是（        ） A. B. C. D.  6.如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（        ） A. B.1 C. D.2 7.将矩形按图①的方式折叠得到四边形（如图②所示），四边形恰为菱形，若，则的长是（        ）      A. B. C. D. 8.四边形ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如图：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（          ） 甲                              乙 A.仅甲正确 B.甲、乙均错误 C.甲、乙均正确 D.仅乙正确 9.如图，已知线段，连接，，点E，F分别是边，的中点，连接，且，，则的长为（     ） A.8 B.6 C.10 D. 10.如图，正方形中，E是上一点，将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③若连接CG，则；④若正方形边长为2，E为的中点，则点C到直线的距离为1．其中正确的是（       ）     A.①③ B.①②③ C.①③④ D.②④ 二、 填空题 11.正九边形的一个外角为_______度． 12.如图，的周长为16cm，相交于点O，交于E，则的周长为_______cm． 13.如图．在中，，点D，E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长为_______． 14.如图，在矩形中，，点是边的中点，连接，点是的中点，连接、，若，则________． 15.如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点E，F是BC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是 ________． 16.如图，以 的斜边 为边，在△ 的同侧作正方形 ，对角线 、 交于点 ，连接 ．若 ，，则 ________． 三、 解答题   17.若多边形的内角和为，求此多边形的边数； （2）一个n边形的每个外角都相等，如果它的一个内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 18.如图，在中，E为上一点，，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．     （1）在图1中作的平分线； （2）在图2中作的平分线．  19.如图，四边形是矩形，点、分别是左侧、右侧的点，连接、、、，延长、交于点，，，求证：． 20.如图，E，F是的对角线上两点，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 21.在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）判断四边形是哪种特殊四边形； （3）在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 22.如图，在正方形中，点是对角线的中点，点为边上一点，连接，过点作交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，线段、、之间有怎样的数量关系，请说明理由； （3）如图3，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $