第21章 四边形（单元自测）数学新教材人教版八年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第21章四边形（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6 > 8 9 10 C D A & C 0 A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.360° 12.(3,-3) 13.25 14.1 15.3 2 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 【详解】(1)解：设此多边形的边数为n,则 (n-2)×180°=1620°， 解得n=11. 所以此多边形的边数为11；(3分) (2)解：设多边形的一个内角为3x度，则一个外角为x度，依题意得3x+x=180, 解得x=45. 360°÷45°=8， 故这个多边形的边数是8.(3分) 17. 【详解】(1)解：在AOB中，A0=3,B0=5,AB=4 .AB2+A02=BO2, ∠BA0=90°， ∠BAC=90°(3分) (2)解：在ABCD中，∠BAC=90°，△ABO为直角三角形且∠BAC为直角， SAC0=2SMc=2 -x ABx AC=ABx AC, 1/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 A0=3, AC=6, 又：AB=4, S.ABcD=4×6=24.(3分) 18. 【详解】(1)证明：：AB=CD,AD=BC, :四边形ABCD是平行四边形， :AD∥BC, ∴.∠A=∠EBF,∠ADF=∠E, :F是AB中点， :.AF=BF, AADF≌△EBF(AAS), .AD BE, BC=BE;(3分) (2)解：四边形ABCD是矩形. 由(1)知，∠FDA=∠E, :∠FDA=∠FCB, ∠E=∠FCB, :FE FC BC BE .BF⊥CE, :∠ABC=90°， :四边形ABCD是平行四边形， :四边形ABCD是矩形.(3分) 【点晴】四边形的问题通常可转化为三角形的问题来解决， 19. 【详解】(1)证明：在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，CD‖AB, .C0=A0,∠EC0=∠FA0, :∠AOF=∠COE,∠ECO=∠FAO, 2/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 △C0E≌△AOF(ASA).(2分) (2)解：△C0E≌△A0F, :EC=AF, 又：EC∥AF, 四边形AECF为平行四边形， .E0=F0,(4分) :EF=2DE,EA是∠DEF的平分线， EO=ED,∠DEA=∠OEA, EA=EA, ∴△ADE≌△AOE(SAS,(6分) :∠ADE=∠A0E=90°， .EF⊥AC, .四边形AECF为菱形.(8分) 20. 【详解】(1)证明：如图，连接AC交BD于点O, D:四边形ABCD是菱形， ·OA=0C、OB=OD、AC⊥BD, :BE DF, :.0B-BE OD-DF OE=OF :四边形AECF是平行四边形， 又：AC⊥BD, ·平行四边形AECF是菱形；(4分) (2)解：：BD=16, 1 0B=BD=x16=8, 2 在RtaA0B中，由勾股定理得：OA=VAB2-0B2=45-82=4, 3/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :四边形AECF是菱形， AE=CE=CF=AF、OE=OF, :0E=EF=1x6=3, 1 2 在Rt△A0E中，由勾股定理得：AE=VOA+OE2=√42+32=5， :四边形AECF的周长为4AE=4×5=20,(8分) 21. 【详解】(1)证明：：AF∥BC :ZAFE ZDCE,ZFAE ZCDE 点E是AD的中点 :AE=DE .△AFE≌△DCE(AAS :AF=CD :点D是BC边的中点 :BD=CD :AF =BD :AF∥BC :四边形AFBD是平行四边形；(2分) (2)解：：AB=AC,D是BC的中点， AD⊥BC, :四边形AFBD是平行四边形， :.四边形AFBD是矩形， .AD=V132-52=12, .四边形AFBD的面积=12x5=60,(5分) (3)解：当ABC为等腰直角三角形，且∠BAC=90°时，四边形AFBD是正方形， 理由如下： ∠BAC=90°， ABC是等腰直角三角形， D为BC的中点， 4/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AD=BD=DC,∠ADB=90°， 又：四边形AFBD为平行四边形， :.四边形AFBD为正方形.(8分) 22. 【详解】(1)证明：BF⊥CE, .∠GCB+LCBG=90°， :四边形ABCD是正方形， ∴.∠CBE=∠A=90°，BC=AB, ∴.∠FBA+∠CBG=90°， :ZGCB ZFBA, 在△ABF和△BCE中， ∠A=∠CBE AB=BC ∠ABF=∠BCF .△ABF≌△BCE(ASA)；(3分) (2)解：：四边形ABCD是正方形， .AB=CD =BC=2, :点E是AB的中点， :EA=EB=-AB=1, 2 CE=BE2+BC2=5 在R1△CEB中，SAcE=)CE-BG=BEBC 2 x58G-x1x2 1 .BG 5:(7分 2W5 ②证明：如图，延长CD,BF交于点H, 5/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 H G A E 由(1)得△ABF≌△BCE, BE-4F-T4B-AD 2 .AF=DF, :AB∥CD, ∠ABF=∠H, 又：∠DFH=∠AFB △ABF≌△DHF(AAS, :AB DH, .DH CD :BF⊥CE, DC=DH=DG.(10分) 23. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， .AD∥BC, .∠DEF=∠EFB, 由翻折可知：∠DEF=∠BEF, .∠BEF=∠EFB, ·BE=BF;(3分) (2)解：①如图2中，连接BP,作EH⊥BC于H, :矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90 .四边形ABHE是矩形，EH=AB, 6/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 --D 图2 DE EB=BF=5,CF=3, :.在矩形ABCD中AD=BC=BF+CF=8, .AE=AD-DE=3, 在Rt△ABE中，：∠A=90°，BE=5,AE=3, .AB=V52-32=4,(6分) ②：S.BEF=SPBE+SPBF,PM⊥BE,PN⊥BF, .E-PM+BFPN. 2 2 BE=BF, .PM PN EH AB=4. :四边形PMQN是平行四边形， .PN =OM,PM=ON .四边形PMQW的周长=2(PM+PN)=8;(9分) (3)解：如图3中，连接BP,作EH⊥BC于H. ---D 图3 ED=EB=BF=a,CF=b, .AD=BC=a+b, :AE=AD-DE=b, :EH AB=BE2-AE2=a2-b2, 7110 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 S.EBP -SABFP =S.EBF PM⊥BE,PN⊥BF, B,wrw-aF-E助 2 2 BE BF, :PM PN EH =a2-b2, :四边形PMQN是平行四边形， .PN=OM,PM=ON :ON-OM PM-PN =Va2-b2.(12 24. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是菱形， :AB=BC=CD=AD, :∠ABC=60°， △ABC是等边三角形， :AB=AC,∠BAC=60°， :△APE是等边三角形， AP=AE,LCAE=60°， ∠BAP=∠CAE, 在△BAP与△CAE中， AB=AC ∠BAP=∠CAE, AP=AE aBAP≌△CAE(SAS, :BP=CE, :BD,AC是菱形ABCD的对角线， .AC⊥BD, ∠APB=90°， :△BAP≌△CAE, .∠AEC=∠APB=90°， .CE⊥AD;(4分) 8/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2)解：BP=CE,理由如下： :四边形ABCD是菱形， :AB=BC =CD=AD, :∠ABC=60°， “△ABC,△ACD是等边三角形， AB=AC,AC=CD,∠BAC=∠DAC=60°， :△APE是等边三角形， AP=AE，∠PAE=60°， :∠BAC+∠DAC+∠PAD=∠PAE+∠DAC+∠PAD,即∠BAP=∠CAE, 在△BAP与△CAE中， AB=AC ∠BAP=∠CAE, AP=AE △BAP≌ACAE(SAS, BP=CE;(8分) (3)解：设CE,AD相交于点H,如图， E :BD,AC是菱形ABCD的对角线， D 图3 :AC 1 BD,BO =OD,OA=OC=3, :∠A0B=90°，AC=20C=2V3, :∠ABC=60°，AB=BC=CD=AD, “△ABC、△ACD是等边三角形， :AD=AB=AC=25,∠AB0=∠ABC=30°，∠BAC=∠DAC=60°， :0B=VAB2-0A=V25-(N5=3, 9/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 BD=20B=6, OA=√5，AP=23, 0P=vap2-0A=2-(=7, :BP=0B+0P=3+7=10, 由(2)可知，CE=BP,△BAP≌△CAE, CE=BP=10,∠ACH=∠AB0=30°， :∠CAH=60°， :∠AHC=180°-∠CAH-∠ACH=180°-60°-30°=90°，即CE⊥AD, S四边形4cDE=S.ACE+SDcE -CE-AH+CE-DH CEAH+DH) -CE-D 1 =2x10x25 =10√3.(12分) 10/10………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第21章 四边形 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 2．把一张矩形纸条按如图所示的方式折叠，EF是折痕．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 4．已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（　　） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 5．如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，求的值（    ） A．4 B．3 C．2 D．不确定 6．如图，菱形中，对角线、相交于点，，交于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（    ） A．垂直平分 B． C．是等边三角形 D． 8．如图所示，在矩形纸片中，，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则当点与点重合时，的值为（    ） A．2 B． C． D． 9．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线，交于点，交于点．则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，P是边上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N，下列结论：①；②；③；④当P是的中点时，，其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，这是一个正五边形图案，则该五边形的外角和为________． 12．如图，的对角线交点是直角坐标系的原点，轴，若顶点C坐标是，则顶点D的坐标是___． 13．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，恰为的中点．若，则阴影部分的面积为________． 14．如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，当的面积最大时，的长为________ 15．如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，F是射线上的动点，以为边在右侧作等边，连接，则线段长的最小值为_____．    三、解答题（共9小题，共75分） 16．求多边形的边数 (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 17．如图，在中，对角线、相交于点，且，，． (1)求的度数． (2)求的面积． 18．如图，四边形中，，，F是中点，与的延长线交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由 19．如图，在矩形中，点O为对角线的中点，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接、 (1)求证：； (2)当，且平分时，试判断四边形的形状，并说明理由． 20．如图，四边形是菱形，，点E，F在上，，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的周长． 21．如图，在中，点是边的中点，点是的中点，过点作，且交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． (3)若，在中再增加条件．则四边形是正方形． 22．图1，四边形是一个边长为2的正方形，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，当点运动到中点时， ①求的长； ②连接，求证：． 23．操作体验：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为直线上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点M和N，以为邻边构造平行四边形． (1)如图1，求证：； (2)特例感知：如图2，若，当点P在线段上运动时， ①求长； ②求平行四边形的周长； (3)类比探究：如图3，当点P在线段的延长线上运动时，若．请用含a、b的式子表示与之间的数量关系．（直接写出答案） 24．在菱形中，，与相交于点，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)问题发现：如图，当点与点重合时，点在边上，连接，与的数量关系是 ；与的位置关系是 ； (2)拓展探究：如图，当点在菱形外部时，猜想与的数量关系并说明理由； (3)解决问题：如图，若，，请直接写出四边形的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第21章 四边形 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 2．把一张矩形纸条按如图所示的方式折叠，EF是折痕．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 4．已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（　　） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 5．如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，求的值（    ） A．4 B．3 C．2 D．不确定 6．如图，菱形中，对角线、相交于点，，交于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（    ） A．垂直平分 B． C．是等边三角形 D． 8．如图所示，在矩形纸片中，，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则当点与点重合时，的值为（    ） A．2 B． C． D． 9．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线，交于点，交于点．则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，P是边上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N，下列结论：①；②；③；④当P是的中点时，，其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，这是一个正五边形图案，则该五边形的外角和为________． 12．如图，的对角线交点是直角坐标系的原点，轴，若顶点C坐标是，则顶点D的坐标是___． 13．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，恰为的中点．若，则阴影部分的面积为________． 14．如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，当的面积最大时，的长为________ 15．如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，F是射线上的动点，以为边在右侧作等边，连接，则线段长的最小值为_____．    三、解答题（共9小题，共75分） 16．求多边形的边数 (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 17．如图，在中，对角线、相交于点，且，，． (1)求的度数． (2)求的面积． 18．如图，四边形中，，，F是中点，与的延长线交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由 19．如图，在矩形中，点O为对角线的中点，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接、 (1)求证：； (2)当，且平分时，试判断四边形的形状，并说明理由． 20．如图，四边形是菱形，，点E，F在上，，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的周长． 21．如图，在中，点是边的中点，点是的中点，过点作，且交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． (3)若，在中再增加条件．则四边形是正方形． 22．图1，四边形是一个边长为2的正方形，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，当点运动到中点时， ①求的长； ②连接，求证：． 23．操作体验：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为直线上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点M和N，以为邻边构造平行四边形． (1)如图1，求证：； (2)特例感知：如图2，若，当点P在线段上运动时， ①求长； ②求平行四边形的周长； (3)类比探究：如图3，当点P在线段的延长线上运动时，若．请用含a、b的式子表示与之间的数量关系．（直接写出答案） 24．在菱形中，，与相交于点，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)问题发现：如图，当点与点重合时，点在边上，连接，与的数量关系是 ；与的位置关系是 ； (2)拓展探究：如图，当点在菱形外部时，猜想与的数量关系并说明理由； (3)解决问题：如图，若，，请直接写出四边形的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第21章 四边形 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：正八边形的内角和为． 2．把一张矩形纸条按如图所示的方式折叠，EF是折痕．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，由，可得，即知，，根据，有． 【详解】解：， ， ∵矩形纸条按如图所示的方式折叠， ， ， ∵， ． 3．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知条件中有，因此被覆盖住的条件应为，或者能够推导出． 【详解】解：A．添加后，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，不合题意； B．由可得，仅有一组对边平行，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； C．添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； D．由可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，符合题意． 4．已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（　　） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形的判定，结合已知，根据各选项给出的条件逐一判定，即可得到错误选项． 【详解】解：∵已知， 对A选项，当时，满足，的四边形是等腰梯形，不是矩形，故A判断错误，符合题意； 对B选项，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴平行四边形是矩形，故B判断正确，不符合题意； 对C选项，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形，故C判断正确，不符合题意； 对D选项，∵，∴，又，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形，故D判断正确，不符合题意； 综上，选项A错误． 5．如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，求的值（    ） A．4 B．3 C．2 D．不确定 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 6．如图，菱形中，对角线、相交于点，，交于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质，可得，，由平行线的性质，结合等腰三角形的判定和性质，可得，即可得的长． 【详解】解：菱形中，，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 7．如图，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（    ） A．垂直平分 B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【分析】由尺规作图得到四边形是菱形，结合菱形性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：由题中作图方法可得， 四边形是菱形，是等腰三角形，不能得是等边三角形， 垂直平分、平分、， ，，故A、B、D均正确；C错误． 8．如图所示，在矩形纸片中，，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则当点与点重合时，的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形是矩形，得，由翻折的性质可知，，即知，从而，四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形；当，重合时，设，根据勾股定理和菱形的性质即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质可知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 当，重合时，如图： 设， 在中， ， ， ，即， ，，， ， ， ． 9．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线，交于点，交于点．则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作轴于点，则，又四边形是正方形，点，则，，，，即，由勾股定理得，所以，然后证明，则，所以，从而可得，求出点的坐标即可． 【详解】解：如图，过作轴于点， 则， ∵四边形是正方形，点， ∴，，，，即， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 10．如图，在正方形中，P是边上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N，下列结论：①；②；③；④当P是的中点时，，其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【分析】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明四边形是矩形，可判断②结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断③结论；同③理可证，四边形、是正方形，可判断④结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论错误； 如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，③结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同③理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，④结论错误， 故答案为：①③． 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，这是一个正五边形图案，则该五边形的外角和为________． 【答案】 【分析】根据任意多边形的外角和都等于即可求解． 【详解】解：五边形的外角和为． 12．如图，的对角线交点是直角坐标系的原点，轴，若顶点C坐标是，则顶点D的坐标是___． 【答案】 【分析】先根据C点坐标和的长度求出点B的坐标，再根据B，D关于原点对称求出D点坐标即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点是直角坐标系的原点，轴，，， ∴， ∵B与D关于原点O对称， ∴． 13．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，恰为的中点．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】25 【分析】由正方形的性质推出，，，，由证明，得到，由是中点，得到，可得、的长，由余角的性质推出，又，，即可证明，得到的面积的面积，因此的面积=阴影的面积，由三角形面积公式可得答案． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵H是中点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积的面积， ∴的面积=阴影的面积． 14．如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，当的面积最大时，的长为________ 【答案】1 【分析】先推导出图形变化规律可知：当增大时，的长度随之变大，而等边的面积随着边长变长而增大，进而求出，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ， ∴， 由图形变化规律可知：由，，得为等腰三角形， ∴当变大时，的长度随之变大，而等边的面积随着边长变长而增大， ∵动点，分别在边，上， ∴时，取得最大值，，， 此时， ∴． 15．如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，F是射线上的动点，以为边在右侧作等边，连接，则线段长的最小值为_____．    【答案】/ 【分析】由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，以为边作等边三角形，连接，   ，， ， ，， 和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值， 此时，， ， ， 的最小值为． 三、解答题（共9小题，共75分） 单元检测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：正八边形的内角和为． 2．把一张矩形纸条按如图所示的方式折叠，EF是折痕．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，由，可得，即知，，根据，有． 【详解】解：， ， ∵矩形纸条按如图所示的方式折叠， ， ， ∵， ． 3．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知条件中有，因此被覆盖住的条件应为，或者能够推导出． 【详解】解：A．添加后，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，不合题意； B．由可得，仅有一组对边平行，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； C．添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； D．由可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，符合题意． 4．已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（　　） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形的判定，结合已知，根据各选项给出的条件逐一判定，即可得到错误选项． 【详解】解：∵已知， 对A选项，当时，满足，的四边形是等腰梯形，不是矩形，故A判断错误，符合题意； 对B选项，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴平行四边形是矩形，故B判断正确，不符合题意； 对C选项，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形，故C判断正确，不符合题意； 对D选项，∵，∴，又，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形，故D判断正确，不符合题意； 综上，选项A错误． 5．如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，求的值（    ） A．4 B．3 C．2 D．不确定 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 6．如图，菱形中，对角线、相交于点，，交于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质，可得，，由平行线的性质，结合等腰三角形的判定和性质，可得，即可得的长． 【详解】解：菱形中，，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 7．如图，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（    ） A．垂直平分 B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【分析】由尺规作图得到四边形是菱形，结合菱形性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：由题中作图方法可得， 四边形是菱形，是等腰三角形，不能得是等边三角形， 垂直平分、平分、， ，，故A、B、D均正确；C错误． 8．如图所示，在矩形纸片中，，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则当点与点重合时，的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形是矩形，得，由翻折的性质可知，，即知，从而，四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形；当，重合时，设，根据勾股定理和菱形的性质即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质可知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 当，重合时，如图： 设， 在中， ， ， ，即， ，，， ， ， ． 9．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线，交于点，交于点．则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作轴于点，则，又四边形是正方形，点，则，，，，即，由勾股定理得，所以，然后证明，则，所以，从而可得，求出点的坐标即可． 【详解】解：如图，过作轴于点， 则， ∵四边形是正方形，点， ∴，，，，即， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 10．如图，在正方形中，P是边上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N，下列结论：①；②；③；④当P是的中点时，，其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【分析】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明四边形是矩形，可判断②结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断③结论；同③理可证，四边形、是正方形，可判断④结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论错误； 如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，③结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同③理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，④结论错误， 故答案为：①③． 二、填空题 11．如图，这是一个正五边形图案，则该五边形的外角和为________． 【答案】 【分析】根据任意多边形的外角和都等于即可求解． 【详解】解：五边形的外角和为． 12．如图，的对角线交点是直角坐标系的原点，轴，若顶点C坐标是，则顶点D的坐标是___． 【答案】 【分析】先根据C点坐标和的长度求出点B的坐标，再根据B，D关于原点对称求出D点坐标即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点是直角坐标系的原点，轴，，， ∴， ∵B与D关于原点O对称， ∴． 13．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，恰为的中点．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】25 【分析】由正方形的性质推出，，，，由证明，得到，由是中点，得到，可得、的长，由余角的性质推出，又，，即可证明，得到的面积的面积，因此的面积=阴影的面积，由三角形面积公式可得答案． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵H是中点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积的面积， ∴的面积=阴影的面积． 14．如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，当的面积最大时，的长为________ 【答案】1 【分析】先推导出图形变化规律可知：当增大时，的长度随之变大，而等边的面积随着边长变长而增大，进而求出，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ， ∴， 由图形变化规律可知：由，，得为等腰三角形， ∴当变大时，的长度随之变大，而等边的面积随着边长变长而增大， ∵动点，分别在边，上， ∴时，取得最大值，，， 此时， ∴． 15．如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，F是射线上的动点，以为边在右侧作等边，连接，则线段长的最小值为_____．    【答案】/ 【分析】由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，以为边作等边三角形，连接，   ，， ， ，， 和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值， 此时，， ， ， 的最小值为． 三、解答题 16．求多边形的边数 (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 【答案】(1)此多边形的边数为11 (2)8 【分析】（1）先设此多边形的边数为n，再根据多边形内角和定理得，求出解即可； （2）设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，再根据内角和相邻外角的和为得出方程，求出解，然后用除以一个外角的度数可得边数． 【详解】（1）解：设此多边形的边数为n，则 ， 解得． 所以此多边形的边数为11；(3分) （2）解：设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，依题意得， 解得． ， 故这个多边形的边数是8．(3分) 17．如图，在中，对角线、相交于点，且，，． (1)求的度数． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）首先利用平行四边形的性质求得对角线的一半的长，然后利用勾股定理的逆定理判定直角即可； （2）利用底×高求得面积即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， ∴(3分) （2）解：在中，，为直角三角形且为直角， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴．(3分) 18．如图，四边形中，，，F是中点，与的延长线交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，得到，然后根据平行线的性质得到，，可进一步证明，得到，再结合已知即可证明结论； （2）先证明，然后根据等腰三角形的三线合一性质，证明，即可根据矩形的判定证明结论． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ，， 是中点， ， ， ， ；(3分) （2）解：四边形是矩形． 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形．(3分) 【点睛】四边形的问题通常可转化为三角形的问题来解决． 19．如图，在矩形中，点O为对角线的中点，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接、 (1)求证：； (2)当，且平分时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）利用直接证明三角形全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再利用全等证明，通过对角互相平分且垂直即可判断． 【详解】（1）证明：在矩形中，点为对角线的中点，， ，， ， ．(2分) （2）解：∵， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴，(4分) ，是的平分线， ， ， ，(6分) ， ， ∴四边形为菱形．(8分) 20．如图，四边形是菱形，，点E，F在上，，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接交于点O，根据菱形的性质得到、，进而得到，证得四边形是平行四边形，根据对角线垂直，证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质求出、的长，再利用勾股定理求出、的长，最后利用四边形的周长为进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点O， 四边形是菱形， 、、， ， ，即， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形；(4分) （2）解：， ， 在中，由勾股定理得：， 四边形是菱形， 、， ， 在中，由勾股定理得：， 四边形的周长为．(8分) 21．如图，在中，点是边的中点，点是的中点，过点作，且交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． (3)若，在中再增加条件．则四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由得到，，证明出，得到，等量代换得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是矩形，利用勾股定理求出，再根据矩形的性质求面积即可． （3）利用等腰三角形的性质以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，，再由：四边形是平行四边形即可得出四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形；(2分) （2）解：∵是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形的面积．(5分) （3）解：当为等腰直角三角形，且时，四边形是正方形， 理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵D为的中点， ∴，， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形为正方形．(8分) 22．图1，四边形是一个边长为2的正方形，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，当点运动到中点时， ①求的长； ②连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，利用定理证明； （2）①根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出； ②延长交于点，证明得，然后根据直角三角形斜边中线的性质得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；(3分) （2）解∶∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴；(7分) ②证明：如图，延长交于点， 由（1）得， ， ， ， ， 又∵ ， ， ， ， ．(10分) 23．操作体验：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为直线上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点M和N，以为邻边构造平行四边形． (1)如图1，求证：； (2)特例感知：如图2，若，当点P在线段上运动时， ①求长； ②求平行四边形的周长； (3)类比探究：如图3，当点P在线段的延长线上运动时，若．请用含a、b的式子表示与之间的数量关系．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)①；②8 (3) 【分析】（1）根据平行线＋角平分线得到等腰三角形即可证明； （2）如图2中，连接，作于H，则四边形是矩形，利用等面积法证明，利用勾股定理求出即可解决问题； （3）如图3中，连接，作于H．由，可得，由，推出，即可得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴；(3分) （2）解：①如图2中，连接，作于H， ∵矩形中， ∴四边形是矩形，，    ∵，， ∴在矩形中， ∴， 在中，∵， ∴，(6分) ②∵， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴四边形的周长；(9分) （3）解：如图3中，连接，作于H．    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴．(12分) 24．在菱形中，，与相交于点，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)问题发现：如图，当点与点重合时，点在边上，连接，与的数量关系是 ；与的位置关系是 ； (2)拓展探究：如图，当点在菱形外部时，猜想与的数量关系并说明理由； (3)解决问题：如图，若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质结合，可证得是等边三角形，再由是等边三角形，根据等边三角形的性质证明，则，，即可证明； （2）根据菱形的性质结合，可证得，是等边三角形，由等边三角形的性质证明，即可证明结论； （3）设，相交于点，根据菱形的性质结合，可得、的长，根据勾股定理依次求得、的长，证明，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ， ， ，是菱形的对角线， ， ， ， ， ；(4分) （2）解：，理由如下： 四边形是菱形， ， ， ，是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ，即， 在与中， ， ， ；(8分) （3）解：设，相交于点，如图， ，是菱形的对角线， ，，， ，， ，， 、是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， 由（2）可知，，， ，， ， ，即， ．(12分) 学科网（北京）股份有限公司1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $