18.1.1 平行四边形的性质 暑假巩固练习2024-2025学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下册 18.1.1 平行四边形的性质 暑假巩固 一、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，则对角线AC、BD的长度的和是(　　) A.9 B.18 C.27 D.36 2.如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠CAB＝90°，AC＝6 cm，BD＝10 cm，则▱ABCD的周长为(　　) A.(4＋8) cm B.(2＋4) cm C.32 cm D.28 cm 3.如图，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.若点A的坐标为(－4,2)，则点C坐标为(　　) A.(4，－2) B.(4,2) C.(2，－4) D.(－2，－4) 4.▱ABCD的周长为40 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多4 cm，则AB＝________ cm，BC＝________ cm. 5.如图，在ABCD中，EF为对角线BD的中垂线，交BC，AD于E，F．已知△CDE的周长为5，则ABCD的周长为 　    　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，点E，F在对角线AC上，BE∥DF，BD平分∠EBC． （1）若∠BAD＝100°，∠ABE＝20°，求∠ADB的度数； （2）若AE＝2，OF＝3，求AC的长． 7.求证：平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等．以下是不完整的证明过程，请补充完整并证明． 已知：如图，ABCD中，AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AB，　    　，垂足分别为E，F． 求证：　      　． 二、平行四边形的对角相等 1.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是(　　) A.120° B.90° C.60° D.45° 2.如图，点E在ABCD的对角线BD上，若AB＝EB＝EC，∠A＝102°，则∠ADB等于（　　） A.26° B.28° C.30° D.36° 3.在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是(　　) A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.2∶2∶1∶1 D.3∶1∶3∶1 4.若平行四边形中一个内角的度数为50°，则它的对角的度数是 　         　°． 5.在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：4，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为 　     　． 6.如图，在ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数． 7.如图，在ABCD中，E是BC上一点，连接AE交BD于点F，且∠EAD＝∠CDA，∠C＝110°． （1）求∠EAD的度数； （2）当AF⊥BD时，求∠ABD的度数． 三、平行四边形的对边相等 1.平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝3，则点B的坐标为（　　） A.（3，3） B.（3，3） C.（3+3，3） D.（3，3+3） 2.如图，E是ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F，若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，则CD的长是（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 3.如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，AE＝2，BC＝5，则AB的长为（　　） A.5 B.7 C.3 D.2 4.如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是__________． 5.平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较短的边长为________ cm. 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE＝DF，求证：AE＝CF. 7.如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF. (1)求证：DE＝CF； (2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长． 四、两平行线之间的距离 1.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，G是AD上的任一点，则S△BEF和S△GFC分别等于S的（　　） A.和 B.和 C.和 D.和 2.如图，在直角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，DE∥BC，若点A到DE的距离是1，则DE与BC之间的距离是（　　） A.2 B.1.4 C.3 D.2.4 3.如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（　　） A.12cm B.12cm C.24cm D.24cm 4.如图，直线AB∥CD，GH⊥GI，且HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，则直线AB与直线CD之间的距离是 　    　cm． 5.已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5 cm，到直线b的距离是3 cm，那么直线a和直线b之间的距离为__________． 6.如图，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？ 7.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝50mm，求两平行线l1和l2之间的距离． 人教版八年级下册 18.1.1 平行四边形的性质 暑假巩固（参考答案） 一、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，则对角线AC、BD的长度的和是(　　) A.9 B.18 C.27 D.36 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， ∵△AOB的周长为15，AB＝6， ∴AB＋OA＋OB＝15， ∴OA＋OB＝9， ∴AC＋BD＝2OA＋2OB＝2(OA＋OB)＝18. 故选B. 2.如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠CAB＝90°，AC＝6 cm，BD＝10 cm，则▱ABCD的周长为(　　) A.(4＋8) cm B.(2＋4) cm C.32 cm D.28 cm 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝AC＝3cm，OB＝BD＝5 cm， ∵AC⊥AB， ∴∠BAO＝90°， ∴AB＝＝4(cm)， ∴BC＝＝2(cm)， ∴▱ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝(4＋8) cm， 故选A. 3.如图，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.若点A的坐标为(－4,2)，则点C坐标为(　　) A.(4，－2) B.(4,2) C.(2，－4) D.(－2，－4) 【答案】A 【解析】如题图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线交于原点O，∴点A与点C关于原点O对称，∵点A(－4,2)，∴点C(4，－2)．故选A. 4.▱ABCD的周长为40 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多4 cm，则AB＝________ cm，BC＝________ cm. 【答案】12　8 【解析】∵平行四边形的周长为40 cm， ∴BC＋AB＝20 cm； 又∵△AOB的周长比△BOC的周长多4 cm， ∴AB－BC＝4 cm， 则AB＝12cm，BC＝8cm. 5.如图，在ABCD中，EF为对角线BD的中垂线，交BC，AD于E，F．已知△CDE的周长为5，则ABCD的周长为 　    　． 【答案】10 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB，AD＝BC， ∵BD的中垂线EF分别交BC，AD于点E，F， ∴BE＝DE， ∴△CDE的周长＝CD+CE+ED＝AB+CE+BE＝AB+BC＝5， ∴ABCD的周长＝2×5＝10． 6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，点E，F在对角线AC上，BE∥DF，BD平分∠EBC． （1）若∠BAD＝100°，∠ABE＝20°，求∠ADB的度数； （2）若AE＝2，OF＝3，求AC的长． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°， ∵∠ABE＝20°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝80°﹣20°＝60°， ∵BD平分∠EBC， ∴∠CBD=30°， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD＝30°. （2）∵BE∥DF， ∴∠BEO＝∠DFO，∠EBO＝∠FDO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴OE＝OF＝3， ∴AO＝AE+OE＝2+3＝5， ∴AC＝2AO＝10． 7.求证：平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等．以下是不完整的证明过程，请补充完整并证明． 已知：如图，ABCD中，AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AB，　    　，垂足分别为E，F． 求证：　      　． 【答案】证明：ABCD中，AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F． ∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O， ∴AB∥CD，OA＝OC， ∴∠OAE＝∠OCF， ∵OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， 在△AEO和△CFO中， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴OE＝OF． 二、平行四边形的对角相等 1.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是(　　) A.120° B.90° C.60° D.45° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B＋∠C＝180°， ∵∠B∶∠C＝1∶2， ∴∠B＝×180°＝60°， 故选C. 2.如图，点E在ABCD的对角线BD上，若AB＝EB＝EC，∠A＝102°，则∠ADB等于（　　） A.26° B.28° C.30° D.36° 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠BCD＝∠A＝102°，AD∥BC， ∵BE＝CE， ∴设∠EBC＝∠ECB＝x， 则∠DEC＝2x， ∵AB＝CD，AB＝CE， ∴CE＝CD， ∴∠CED＝∠CDE＝2x， ∴x+2x＝180°﹣∠BCD＝78°， ∴x＝26°， ∴∠CBD＝26°， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD＝26°. 3.在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是(　　) A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.2∶2∶1∶1 D.3∶1∶3∶1 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是3∶1∶3∶1， 故选D. 4.若平行四边形中一个内角的度数为50°，则它的对角的度数是 　         　°． 【答案】50 【解析】∵平行四边形的对角相等， ∴若平行四边形的一个内角的度数为50°，则它的对角等于50°. 5.在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：4，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为 　     　． 【答案】36° 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，有两个内角的度数比为1：4， ∴AD∥BC，∠A＝4∠B， ∴∠A+∠B＝180°， ∴4∠B+∠B＝180°， ∴∠B＝36°， ∴∠A＝144°， ∴平行四边形ABCD中较小内角的度数为36°． 6.如图，在ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠BAE＝∠DCF， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF. （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝70°， ∴∠BAD＝110°， ∵AM平分∠BAD，AD∥BC， ∴∠AMB＝∠DAM＝55°． 7.如图，在ABCD中，E是BC上一点，连接AE交BD于点F，且∠EAD＝∠CDA，∠C＝110°． （1）求∠EAD的度数； （2）当AF⊥BD时，求∠ABD的度数． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠C+∠ADC＝180°， ∵∠C＝110°， ∴∠ADC＝180°﹣∠C＝70°, ∴∠EAD＝∠CDA＝70°. （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C＝110°， ∴∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD＝110°﹣70°＝40°， ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝90°， ∴∠ABF＝90°﹣∠BAF＝50°． 三、平行四边形的对边相等 1.平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝3，则点B的坐标为（　　） A.（3，3） B.（3，3） C.（3+3，3） D.（3，3+3） 【答案】C 【解析】过B作BF⊥OA，交x轴于点F， ∵四边形OABC是平行四边形，OA＝OC＝3， ∴AB∥OC，AB＝OC＝3，∠BAF＝∠COA＝45°， ∵BF⊥OA， ∴∠BFA＝90°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AF＝BF＝AB＝3， ∴OF＝OA+AF＝3+3， ∴点B的坐标是（3+3，3）. 2.如图，E是ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F，若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，则CD的长是（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF， ∵E是ABCD的边CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AE＝EF＝3， ∵AB∥CD， ∴∠AED＝∠BAF＝90°， 在△ADE中，AD＝BC＝5， ∴DE＝＝＝4， ∴CD＝2DE＝8． 3.如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，AE＝2，BC＝5，则AB的长为（　　） A.5 B.7 C.3 D.2 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠E＝∠ECD， ∵∠BCD的平分线交BA的延长线于点E， ∴∠ECB＝∠ECD， ∴∠ECB＝∠E， ∴BE＝BC＝5， ∵BE＝AB+AE，且AE＝2， ∴AB＝3. 4.如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是__________． 【答案】24 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB∥CD， ∴∠DAB＋∠CBA＝180°， 又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA， ∴∠PAB＋∠PBA＝(∠DAB＋∠CBA)＝90°， 在△APB中，∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°； ∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠PAB， ∵AB∥CD， ∴∠PAB＝∠DPA，∴∠DAP＝∠DPA， ∴△ADP是等腰三角形，∴AD＝DP＝5， 同理：PC＝CB＝5， 即AB＝DC＝DP＋PC＝10， 在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8， ∴BP＝1＝6， ∴△APB的周长＝6＋8＋10＝24. 5.平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较短的边长为________ cm. 【答案】3 【解析】如图， ∵平行四边形的周长为24cm， ∴AB＋BC＝24÷2＝12， ∵BC∶AB＝3∶1，∴AB＝3cm. 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE＝DF，求证：AE＝CF. 【答案】证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD＝BC， ∴AF∥EC， ∵BE＝DF， ∴AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF. 7.如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF. (1)求证：DE＝CF； (2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长． 【答案】(1)证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. 又∵F是AD的中点， ∴FD＝AD.∵CE＝BC， ∴FD＝CE. 又∵FD∥CE， ∴四边形CEDF是平行四边形． ∴DE＝CF. (2)解　过D作DG⊥CE于点G.如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CD＝AB＝4，BC＝AD＝6. ∴∠DCE＝∠B＝60°. 在Rt△CDG中，∠DGC＝90°， ∴∠CDG＝30°， ∴CG＝CD＝2. 由勾股定理，得DG＝＝2. ∵CE＝BC＝3， ∴GE＝1. 在Rt△DEG中，∠DGE＝90°， ∴DE＝＝. 四、两平行线之间的距离 1.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，G是AD上的任一点，则S△BEF和S△GFC分别等于S的（　　） A.和 B.和 C.和 D.和 【答案】B 【解析】△BEF的底为BC的一半，高也为平行四边形高的一半； △FGC的底为BC的一半，高等于平行四边形的高． ∴可得S△BEF和S△GFC分别等于S的和． 2.如图，在直角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，DE∥BC，若点A到DE的距离是1，则DE与BC之间的距离是（　　） A.2 B.1.4 C.3 D.2.4 【答案】B 【解析】∵在直角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴点A到BC的距离是＝， ∵DE∥BC， ∴DE与BC的距离是﹣1＝＝1.4． 3.如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（　　） A.12cm B.12cm C.24cm D.24cm 【答案】D 【解析】如图，过A作AD⊥BF于D， ∴∠ADB=90° ∵∠ABD＝45°， ∴∠DAB=45°， ∴∠ABD=∠DAB， ∴AD＝BD=12， ∴由勾股定理，得AB2=AD2+BD2=2AD2， AB=AD=12， 又∵Rt△ABC中，∠C＝30°， ∴AC＝2AB＝24. 4.如图，直线AB∥CD，GH⊥GI，且HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，则直线AB与直线CD之间的距离是 　    　cm． 【答案】12 【解析】设直线AB与直线CD之间的距离是h， 由题意得，， ∴ ， ∴直线AB与直线CD之间的距离是12cm. 5.已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5 cm，到直线b的距离是3 cm，那么直线a和直线b之间的距离为__________． 【答案】2cm或8cm 【解析】当M在b下方时，距离为5－3＝2(cm)； 当M在a、b之间时，距离为5＋3＝8(cm). 6.如图，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？ 【答案】解：相等． ∵l1∥l2， ∴l1，l2之间的距离是处处相等的， ∴△ABC和△DBC的BC边上的高相等， ∴△ABC和△DBC的面积相等； 如图所示. 7.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝50mm，求两平行线l1和l2之间的距离． 【答案】解：如图，过点A作AC⊥l2于点C， ∵直线l1∥l2，AC⊥l2， ∴∠DAC＝90°， ∵∠DAB＝135°， ∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝45°， ∴∠ABC＝45°， ∴∠BAC＝∠ABC， ∴AC＝BC， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，2AC2＝502， ∴(mm)， ∴两平行线l1和l2之间的距离为25（mm）． 学科网（北京）股份有限公司 $$