3.5 认识二元一次方程组-课件-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程（组）的定义、解的判定，以“鸡兔同笼”问题为导入，从一元一次方程解法过渡到设两个未知数，通过表格分析数量关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实际问题驱动，结合数学眼光观察现实（如鸡兔同笼、嫦娥六号采样），通过定义辨析和表格验证培养数学思维，用方程组表达数量关系发展数学语言。包含典例精析、中考题及实际应用练习，帮助学生理解概念并提升应用能力，为教师提供系统教学资源和分层练习设计。

湘教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 3.5 认识二元一次方程组 第3章 一次方程（组） 湘教版七年级数学3.5认识二元一次方程组练习题 ### 核心知识点回顾 1. 二元一次方程：含有两个未知数，含未知数的项的次数均为1，且等式两边为整式的方程，有无数组解。 2. 二元一次方程组：由两个共含两个未知数的二元一次方程组成的方程组，方程组的解是能同时满足两个方程的未知数的值，通常只有唯一一组解。 3. 判定关键：无未知数平方、乘积、分式形式，未知数次数恒为1，仅含两个未知数。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程属于二元一次方程的是（） A. \(x^2+y=1\) B. \(x+\frac{2}{y}=3\) C. \(2x-y=5\) D. \(xy=4\) 2. 方程组\(\begin{cases}x+2y=5\\3x-y=1\end{cases}\)的解是（） A. \(\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}\) B. \(\begin{cases}x=2\\y=1.5\end{cases}\) C. \(\begin{cases}x=0\\y=5\end{cases}\) D. \(\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}\) 3. 若\(\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\)是方程\(ax+3y=1\)的解，则\(a\)的值为（） A. -2 B. 1 C. 2 D. -1 4. 下列属于二元一次方程组的是（） A. \(\begin{cases}x+y=3\\z-x=1\end{cases}\) B. \(\begin{cases}x+y=4\\xy=2\end{cases}\) C. \(\begin{cases}x=1\\y+2=3\end{cases}\) D. \(\begin{cases}x^2=1\\y=x\end{cases}\) 5. 二元一次方程\(3x+y=7\)的正整数解有（） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 无数组 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 方程\(2x-3y=6\)中，用含\(x\)的代数式表示\(y\)为________。 2. 若方程\(x^{m-1}+2y^{n+2}=5\)是二元一次方程，则\(m=\)________，\(n=\)________。 3. 已知\(\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\)是方程组\(\begin{cases}mx+y=8\\x-ny=1\end{cases}\)的解，则\(m+n=\)________。 4. 写出二元一次方程\(x+y=6\)的一组正整数解：________。 5. 若方程组\(\begin{cases}2x+y=k\\x+2y=3\end{cases}\)的解满足\(x+y=1\)，则\(k=\)________。 三、解答题（共60分） 1. （12分）判断下列方程（组）是否为二元一次方程（组），并说明理由。 （1）\(5x-y=0\) （2）\(x+3y^2=2\) （3）\(\begin{cases}x+y=5\\2x-1=3\end{cases}\) 2. （16分）已知\(\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}\)是二元一次方程组\(\begin{cases}ax+by=4\\bx-ay=13\end{cases}\)的解，求\(a\)、\(b\)的值。 3. （16分）根据题意列二元一次方程组： （1）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，十位数字比个位数字大3，求这个两位数的十位、个位数字。 （2）购买2支钢笔、3本笔记本共花费32元，购买3支钢笔、2本笔记本共花费38元，求钢笔和笔记本的单价。 4. （16分）已知二元一次方程\(2x+3y=12\)，（1）求该方程的所有非负整数解；（2）若\(x=y\)，求此时未知数的值。 参考答案与解析 一、选择题 1. C 解析：A含未知数平方，B含分式，D未知数次数为2，均不符合定义。 2. B 解析：将选项代入方程组，仅\(\begin{cases}x=2\\y=1.5\end{cases}\)可同时满足两个方程。 3. C 解析：代入得\(2a-3=1\)，解得\(a=2\)。 4. C 解析：A含3个未知数，B、D含未知数二次项，不符合要求。 5. B 解析：正整数解为\(\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}\)、\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)，共2组。 二、填空题 1. \(y=\frac{2x-6}{3}\) 2. \(m=2\)，\(n=-1\) 3. 3 4. \(\begin{cases}x=1\\y=5\end{cases}\)（答案不唯一） 5. 2 三、解答题 1. （1）是，含两个未知数，次数均为1，整式方程；（2）不是，\(y\)的次数为2；（3）是，共两个未知数，次数均为1，符合方程组定义。 2. 代入解得\(\begin{cases}-a+2b=4\\-b-2a=13\end{cases}\)，最终得\(a=-6\)，\(b=-1\)。 3. （1）设十位数字为\(x\)，个位数字为\(y\)，\(\begin{cases}x+y=9\\x-y=3\end{cases}\)；（2）设钢笔单价\(x\)元，笔记本单价\(y\)元，\(\begin{cases}2x+3y=32\\3x+2y=38\end{cases}\)。 4. （1）非负整数解：\(\begin{cases}x=0\\y=4\end{cases}\)、\(\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\)、\(\begin{cases}x=6\\y=0\end{cases}\)；（2）\(x=y\)时，\(5x=12\)，得\(x=y=2.4\)。 练习总结 本次练习聚焦二元一次方程（组）的核心定义、解的判定、代入求值及简单实际应用，覆盖基础必考题型。解题关键是牢记“两个未知数、次数为1、整式方程”三大判定条件，熟练掌握解的代入验证方法，学会用二元一次方程组梳理生活中的数量关系，为后续学习方程组解法奠定基础。 还记得前面所学的《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题吗？ 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔? 能否设两个未知数解决？ 解：设兔有 x 只，则鸡有 (35－x) 只. 4x + 2(35－x) = 94. 二元一次方程组 1 (1) 找出，上述趣题中的等量关系： 探究：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔? (1) 兔的只数＋鸡的只数＝35； (2) 兔的脚数＋鸡的脚数＝94. (2) 假设兔有 x 只，鸡有 y 只，你能根据两个等量关系列出两个方程吗？ 合作探究 设兔有 x 只，鸡有 y 只， 脚数 35 只数 合计 鸡 兔 x y 4x 2y 94 4x＋2y＝94 x＋y＝35 能否类比一元一次方程尝试总结定义？ 知识要点 上述两个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫作二元一次方程. 注意：(1)“一次”是指含未知数的项的次数是 1， 而不是未知数的次数，如含有 xy 项的方程 就不是一次方程； (2) 方程的左右两边都是整式. 4x＋2y＝94 x＋y＝35 总结 判断要点： ①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知数次数是否为 1；④化简后未知数的系数不为 0. 例1 判断下列方程是否为二元一次方程： 是 不是 是 不是 不是 不是 典例精析 例2 已知 |m－1| x|m|＋y2n－1 ＝ 3 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m＋n ＝_____． 0 | m |＝1 |m－1|≠0 2n－1 ＝ 1 m ＝ －1 n ＝ 1 m＋n ＝0 典例精析 二元一次方程组的解 2 合作探究 满足方程 x＋y＝35，且符合问题的实际意义 (鸡兔的只数) 的值有哪些？把它们填入表中. 思考1 如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ 方程的解 x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... y 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 ... x y x＋y＝35，① 4x＋2y＝94. ② 思考2　上述表格中是否存在同时满足方程①和方程②的值呢？ x = 12，y = 23. 公共解 总结 一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. (12，23) x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... y 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 ... 知识要点 一般地，对于未知数为 x，y 的二元一次方程组，若 x，y 分别用数 c1，c2 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把 (c1，c2) 叫作这个方程组的一个解. x＝c1， y＝c2， 习惯上记作 求方程组的解的过程叫作解方程组. x＝12， y＝23. x＋y＝35，① 4x＋2y＝94. ② 例3 若 是关于 x、y 的方程 x－ky = 1 的解，则 k 的值为 . －1 x = -2， y = 3 典例精析 例4 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花 1 元. (1) 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组. x＝3， y＝4 (2) 是列出的二元一次方程组的一个解吗？ 典例精析 ∠1 = ∠2 分析：本题中等量关系如下： 购买练习本所花的钱＋购买圆珠笔所花的钱＝17 元， 购买练习本所花的钱－购买圆珠笔所花的钱＝1 元. 解：(1) 根据等量关系，得 3x＋2y＝17，① 3x－2y＝1. ② (2) 把 x 用 3，y 用 4 分别代入方程 ①② 可得： 方程 ① 左边的值是 3×3＋2×4＝17，方程①右边的值也是 17； 方程 ② 左边的值为 3×3－2×4＝1，方程②右边的值也是 1. x＝3， y＝4 因此， 是列出的二元一次方程组的一个解 知识点1 二元一次方程（组）的定义 1. 有下列方程：①;②;③ ;④ ;⑤;⑥;⑦ .其 中是二元一次方程的有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 14 2. [邵阳模拟] 若方程组 是二元一次方程组，则 “…”可以是( ) A A. B. C. D. 3. 如果是关于， 的二元 一次方程，则 的值为____. 中考考法 15 练一练 1.判断下列方程是不是二元一次方程？ (1) x+y=11 (2) m+1=2 (3) x2+y=5 (4) 3x-π=11 (5) -5x=4y+2 (6)7+a=2b+11c (7) 7x+ =13 (8) 4xy+5=0 2.若x2m-1+5y3n-2m=7是二元一次方程，则m=________, n=________. 1 1 只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组. 未知数x，y必须同时满足上述两个方程，于是将两个方程联立，得 ① ② 练一练 ① ② ③ ④ 下列方程组属于二元一次方程组的有_______.(填序号) x y (1) 把满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表： 如果不考虑实际意义，x，y还能取什么值满足方程①？ 1 34 2 33 3 32 4 31 5 30 6 29 7 28 8 27 为什么代入的都是整数？ ··· ··· x=-1，y=36 /x=0.5，y=34.5 /··· 9 26 10 25 11 24 12 23 13 22 做一做 一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 一般地，一个二元一次方程有无数组解. (2)上表中存在哪对x，y的值满足方程②吗？若有，请指出. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ··· y 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 ··· x=12，y=23既满足满足方程①，又满足方程②. x=12，y=23是方程①与方程②的公共解. 写成(12，23)的形式 ，它就是上述方程组一个解. 一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1，c2)叫作这个方程组的一个解. 习惯上记作 求解方程组的解的过程叫作解方程组. 例4 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花 1 元. (1) 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组. x＝3， y＝4 (2) 是列出的二元一次方程组的一个解吗？ 典例精析 ∠1 = ∠2 分析：本题中等量关系如下： 购买练习本所花的钱＋购买圆珠笔所花的钱＝17 元， 购买练习本所花的钱－购买圆珠笔所花的钱＝1 元. 解：(1) 根据等量关系，得 3x＋2y＝17，① 3x－2y＝1. ② (2) 把 x 用 3，y 用 4 分别代入方程 ①② 可得： 方程 ① 左边的值是 3×3＋2×4＝17，方程①右边的值也是 17； 方程 ② 左边的值为 3×3－2×4＝1，方程②右边的值也是 1. x＝3， y＝4 因此， 是列出的二元一次方程组的一个解 知识点2 二元一次方程（组）的解 4. 如果方程组 的解为 那么被“★”“ ”遮住 的两个数分别为( ) C A. 3，10 B. 4，10 C. 10，4 D. 10，3 中考考法 25 5. 已知是方程的解，则式子 的值为___. 1 【点拨】将代入,可得 ,则 . 中考考法 26 6. 已知方程组 （1）分别取, ,0,2,填写下表： 方程 0 2 ___ ___ ____ ____ 8 2 中考考法 27 方程 0 2 _ _ ___ _ _ ___ 2 4 续表 中考考法 28 （2）根据（1）中的数据写出方程组的解. 【解】方程组的解为 中考考法 29 知识点3 列二元一次方程（组） 7. 嫦娥六号成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地 预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集 任务.嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品约1 935 克，表取比钻取的4倍还多310克.若设钻取样品 克，表取样品 克，则可列方程组为 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 30 8. 我国古代《四元玉鉴》中记载了“二果问价” 问题， 其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若 ，试问 买甜果苦果各几个？若设买甜果个，买苦果 个，可列出符合题意的二元一 次方程组 根据已有信息，题中用“…”表示的缺失的 条件应为 ( ) D A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 中考考法 31 9. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主 题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出 的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）.其中 笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则购买方案 共有( ) B A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 中考考法 32 【点拨】设购买笔记本本，碳素笔 支，根据题意,得 ，所以.又因为， 均为正整数， 所以或或或 所以共有4种购买方案. 中考考法 33 10. 已知方程组 的解为 则方程组 的解是 _ ________. 中考考法 34 11. 如图，三角形的面积为点在 上， ，，连接并延长，交于点 ，连接 .设， ，则根据题意可 列方程组为_ ______________. 中考考法 35 12. 定义一种新的运算：☆ ，例如：3☆ .若☆，且当, 取不同值时， 关于,的二元一次方程 都有一个 公共解，那么这个公共解为_ ________. 中考考法 36 二元一次方程 ①每个方程含有__个未知数； ②含有未知数的项的次数______ 使二元一次方程左右两边的值 的两个 的值 二元一次方程组 ①含有__个未知数； ②含有未知数的项的次数______； ③一共有__个方程 二元一次方程组的两个方程的______ 两 都是 1 两 都是 1 两 相等 公共解 未知数 解 解 $