3.6.1 代入消元法-课件-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“代入消元法”，涵盖定义、解题步骤及技巧，通过“鸡兔同笼”问题导入，先回顾一元一次方程解法，再对比二元一次方程组，引导学生发现消元思想，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是结合典型例题、合作探究与实际应用，强化“转化-代入-求解-回代-写解-检验”步骤，培养学生推理意识与运算能力。如用方程组解决购物问题，体现模型意识，助力学生用数学语言表达现实。分层练习设计，教师可提升教学效率，学生能巩固知识并发展应用能力。

湘教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 3.6.1 代入消元法 第3章 一次方程（组） 湘教版七年级数学3.6.1代入消元法练习题 核心知识点回顾 1. 代入消元法定义：将二元一次方程组中一个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，简称代入法。 2. 解题步骤：一变（变形方程，用一个未知数表示另一个未知数）、二代（代入另一方程）、三解（解一元一次方程）、四回代（求另一个未知数）、五验（检验方程组的解）。 3. 适用技巧：优先选择未知数系数为±1的方程变形，计算更简便；若未知数系数为整数且简单，也可灵活变形，避免出现复杂分数。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 解方程组\(\begin{cases}x+3y=8①\\2x-y=9②\end{cases}\)，最简便的变形方式是（） A. 将①变形为\(x=8-3y\) B. 将①变形为\(y=\frac{8-x}{3}\) 2. 用代入法解方程组\(\begin{cases}y=2x\\x+y=6\end{cases}\)，代入后正确的方程是（） A. \(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\) B. \(\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}\) C. \(\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\) D. \(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\) 4. 用代入法解方程组时，变形错误的是（） A. \(3x+y=5\)可化为\(y=5-3x\) B. \(x-2y=4\)可化为\(x=4+2y\) C. \(2x-y=3\)可化为\(y=2x+3\) D. \(x+5y=1\)可化为\(x=1-5y\) 5. 已知方程组\(\begin{cases}2x+y=k\\x+2y=3\end{cases}\)的解满足\(x=1\)，则\(k\)的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 用代入法解方程组\(\begin{cases}3x-y=7①\\x+2y=5②\end{cases}\)，最优变形是将方程______变形为________。 2. 方程\(4x+y=6\)，用含\(x\)的代数式表示\(y=\)________，用含\(y\)的代数式表示\(x=\)________。 3. 用代入法解方程组\(\begin{cases}x=3y-2\\2x+5y=9\end{cases}\)，将第一个方程代入第二个方程，可得一元一次方程________。 4. 方程组\(\begin{cases}y=x-3\\2x+3y=11\end{cases}\)的解为________。 5. 若\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)是方程组\(\begin{cases}ax+by=5\\bx+ay=3\end{cases}\)的解，则\(a-b=\)________。 三、解答题（共60分） 1. （18分）用代入消元法解下列方程组： （1）\(\begin{cases}y=3x\\x+y=8\end{cases}\) （2）\(\begin{cases}x+2y=6\\x=y+3\end{cases}\) （3）\(\begin{cases}2x-y=5\\3x+4y=2\end{cases}\) 2. （14分）用代入消元法解方程组\(\begin{cases}3x+2y=14\\x=y+3\end{cases}\)，并写出完整解题步骤。 3. （14分）已知方程组\(\begin{cases}2x+3y=11\\ax-y=1\end{cases}\)的解中\(x=4\)，求\(a\)的值及方程组的解。 4. （14分）列二元一次方程组求解：买4支圆珠笔和1本笔记本共花费18元，买2支圆珠笔和3本笔记本共花费22元，求圆珠笔和笔记本的单价。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. C 解析：方程②中\(y\)的系数为-1，变形后无分母，计算最简便。 2. A 解析：将\(y=2x\)代入\(x+y=6\)，直接可得\(x+2x=6\)。 3. A 解析：把\(x=y+1\)代入\(2x+3y=7\)，得\(2(y+1)+3y=7\)，解得\(y=1\)，回代得\(x=2\)。 4. C 解析：\(2x-y=3\)移项变形应为\(y=2x-3\)，选项符号错误。 5. D 解析：将\(x=1\)代入\(x+2y=3\)，得\(y=1\)，再代入\(2x+y=k\)，得\(k=4\)。 二、填空题 1. ①；\(y=3x-7\) 2. \(6-4x\)；\(\frac{6-y}{4}\) 3. \(2(3y-2)+5y=9\) 4. \(\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}\) 5. 2 三、解答题 1. 解：（1）将\(y=3x\)代入\(x+y=8\)，得\(x+3x=8\)，\(4x=8\)，\(x=2\)，则\(y=6\)，解为\(\begin{cases}x=2\\y=6\end{cases}\)。 （2）将\(x=y+3\)代入\(x+2y=6\)，得\(y+3+2y=6\)，\(3y=3\)，\(y=1\)，\(x=4\)，解为\(\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}\)。 （3）由\(2x-y=5\)得\(y=2x-5\)，代入\(3x+4y=2\)，得\(3x+4(2x-5)=2\)，解得\(x=2\)，\(y=-1\)，解为\(\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\)。 2. 解：把\(x=y+3\)代入\(3x+2y=14\)，得\(3(y+3)+2y=14\)，展开得\(3y+9+2y=14\)，合并同类项得\(5y=5\)，解得\(y=1\)。将\(y=1\)代入\(x=y+3\)，得\(x=4\)。故此方程组的解为\(\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}\)。 3. 解：将\(x=4\)代入\(2x+3y=11\)，得\(8+3y=11\)，解得\(y=1\)。再将\(x=4，y=1\)代入\(ax-y=1\)，得\(4a-1=1\)，解得\(a=0.5\)。方程组的解为\(\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}\)。 4. 解：设圆珠笔单价为\(x\)元，笔记本单价为\(y\)元，列方程组：\(\begin{cases}4x+y=18\\2x+3y=22\end{cases}\)。由第一个方程得\(y=18-4x\)，代入第二个方程，得\(2x+3(18-4x)=22\)，解得\(x=4\)，回代得\(y=2\)。答：圆珠笔单价4元，笔记本单价2元。 练习总结 代入消元法的核心是“消元”，将二元问题转化为一元问题，是解二元一次方程组的基础方法。解题时优先变形未知数系数为±1的方程，能最大程度简化计算。同时要熟练掌握移项变形、代入计算、回代求值的完整流程，做完题目后可通过代入原方程组检验解的正确性，规避计算失误，为后续加减消元法的学习打好基础。 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔? 解：设兔有 x 只，则鸡有 (35－x) 只. 4x + 2(35－x) = 94. 解：设兔有 x 只，鸡有 y 只. 4x＋2y＝94 x＋y＝35 还有其他的方法解二元一次方程组吗？ 用代入法解二元一次方程组 1 观察下面两种列方程的方式，你能找出更简单地解二元一次方程组的办法吗？ 设一个未知数 设两个未知数 兔 x x 鸡 35 - x y 等量关系式 4x + 2(35 - x) = 94 x＋y＝35， 4x＋2y＝94. 合作探究 ∠1 = ∠2 4x + 2y = 94 y = 35 - x ， 2(35 - x ) 4x+2(15 - x)=94 ① ② x = 12 y = 23 将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想. 转化 ∴ 方程组 的解是 x = 12， y = 23. 总结 x＋y＝35， 4x＋2y＝94 典例精析 转化 代入 求解 回代 写解 把 y 用 1代入③式，得 x = 2. 两边都除以 2，得 x = 2y. ③ 解：将方程①移项，得 2x = 4y ， 2x－4y＝0 ， 5x－7y = 3. ① ② 例1 解二元一次方程组： 解得 y = 1. 注意：检验方程组的解. 把③式代入方程②中，得 5×2y－7y = 3. x = 2， y = －1 因此， 是原二元一次方程组的解 做一做 2x－4y＝0 ， 5x－7y = 3. ① ② 例1 解二元一次方程组： 两边都除以 4，得 y = x. ③ 解：将方程①移项，得 2x = 4y ， 把 x 用 2代入③式，得 y = 1. 解得 x = 2 . 用消去未知数 y 的方法能否求出例 1 中方程组的解? 动手试一试. x = 2， y = －1 因此， 是原二元一次方程组的解. 思考：把③代入①可以得解吗？ 把③式代入方程②中，得 5x－7× x = 3. 2x－3y＝－1 ， 3x＋2y = 18. ① ② 例2 解二元一次方程组： 把 y 用 3 代入③式，得 x = 4. 解得 y = 3. 因此， 是原二元一次方程组的解. x = 4， y = 3 解：将方程①移项、两边都除以 2，得 x = y－. ③ 把③式代入方程②中，得 3( y－)＋2y = 18 代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 转化 代入 求解 回代 写解 检验 由①得 y=35-x③ 将③代入② 4x+2(35-x) = 94 解得x=12 x＋y = 35，① 4x＋2y = 94 ② 将x=12代入①，得y=23 举例： 方法总结 做一做 若方程 5x2m+n + 4y3m-2n = 9 是关于 x、y 的二元一次方程，求 m 、n 的值. 解： 由题意可列方程组 2m + n = 1 3m - 2n = 1 ① ② 由①得 把③代入②得 n = 1 - 2m. ③ 3m – 2(1 – 2m) = 1. 把 m 代入 ③，得 知识点 代入消元法 1. 用代入消元法解方程组时，消去,得到关于 的方程是( ) A A. B. C. D. 中考考法 10 2. 已知，满足方程组则， 恒有的关系式是 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 11 3. [郴州期末] 如果 ，那 么与 的值分别为( ) A. B. C. D. D 中考考法 4. 下面是小颖同学解方程组 的过程： 解：由①，得 ，③ 第一步 把③代入①，得 ， 第二步 即 ， 第三步 所以此方程组无解. 第四步 其中，开始出现错误的是第____步. 二 中考考法 13 5. 用代入消元法解下列方程组： （1） 【解】由①得 ,③ 将③代入②，得，解得 . 把代入③，解得 . 所以 是原方程组的解. 中考考法 14 （2） 整理，得 由①，得 ，③ 将③代入②，得，解得 ， 将代入①，得，解得 ， 所以 是原方程组的解. 中考考法 15 （3） 中考考法 16 整理，得 由①，得 ，③ 把③代入②，得，解得 . 把代入③，得 . 所以 是原方程组的解. 中考考法 6. 已知关于，的方程组和 有 相同的解. （1）直接写出它们的相同解； 【解】它们的相同解为 中考考法 18 【点拨】由题意得 由②，得 .③ 将③代入①，得 , 解得 . 把代入③，易得 . 所以方程组的解为 中考考法 19 （2）求 的值. 把分别代入和 ，得 由①，得 .③ 把③代入②，得，解得 . 把代入③，得 . 所以 . 中考考法 20 7. 若,,都不为0,由方程组可得 ( ) A A. B. C. D. 中考考法 21 【点拨】原方程组可变形为解关于, 的方程 组得因此， . 中考考法 8. 已知关于，的方程组 以下结论： ①当时，方程组的解也是方程 的解；②存 在有理数，使得；③不论取什么数， 的值 始终不变；④若，则 .其中正确的是( ) A A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①② 中考考法 23 【点拨】①当时，原方程组整理得 解得 把代入 ，等式成立，故①正确； ②解方程组得若 ， 则，解得，即存在有理数 ，使 得 ，故②正确； 中考考法 24 ③因为，所以不论 取什么 数， 的值始终不变，故③正确； ④若，即，解得 ， 故④错误，故选A. 中考考法 9. 已知二元一次方程组则 的值等 于( ) B A. B. C. 9 D. 22 中考考法 26 最终思想 消元——解二元一次方程组 代入消元法的步骤 代入消元法的常用解题技巧 将两个未知数变成一个未知数求解---____ 转化→代入→求解→ ____→写解→____ 回代 检验 消元 转化 整体代入 课堂小结 $