精品解析：山西长治市上党区第一中学校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

上党区一中高一2025-2026学年第二学期期末考试 数学学科试卷 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则复数为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A. B. C. D. 5. 从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为（ ） A. 88 B. 90 C. 123 D. 126 6. 如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（ ） A. B. C. D. 7. 已知角，直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（ ） A. 是必然事件 B. 是必然事件 C. 与一定互斥 D. 与一定不互斥 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列图象中可以作为函数图象的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 小付同学本学期参与了次数学考试，则事件“至少有次及格”与事件“只有一次及格”互为对立事件 B. 若，，，则事件与事件相互独立 C. 高二年级准备从个班级中抽取个班级参与“附中好诗词”舞台搭建，采取抽签法和随机数法两种不同方法抽取时，每个班级被抽中的概率分别为、，则 D. 若，，则 11. 在锐角中，角所对的边分别为，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 存在，其面积为1 D. 边上的中线长的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线：与直线：平行，则实数________. 13. 若，则的最大值是______． 14. 棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有水，当侧面水平放置时，液面高为 （如图1）； 当转动容器至截面水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则___； _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 太原市某报社发起过建党105周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图： （1）求频率分布直方图中的值； （2）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在的作者中选出参加座谈会的人数； （3）根据频率分布直方图，求这位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）． 16. 设． （1）求的最大值及取到最值时的取值集合； （2）求的单调区间； （3）若锐角满足，求的值. 17. 如图所示的四棱锥中，平面，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，建立如图示空间直角坐标系. （1）求球心的坐标； （2）求直线与直线所成角的余弦值． 18. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标号为号和号），记下两枚骰子朝上的点数，求下列事件的概率： （1）“两个点数之和是5”； （2）“两个点数相等”； （3）“号骰子的点数大于号骰子的点数”． 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，. （1）求证：平面PAD： （2）设点G是的重心. （i）求直线GB与平面PBD所成角的正弦值； （ii）设平面，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上党区一中高一2025-2026学年第二学期期末考试 数学学科试卷 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，，再根据集合的交运算，即可得答案； 【详解】，， ， 故选：A. 2. 已知复数（为虚数单位），则复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则直接求解即可. 【详解】. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式进行计算. 【详解】由，则， 所以. 故选：B 4. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，满足，函数为偶函数， 当时，单调递增，符合题意； 对于C，在上单调递减，不符合题意； 对于D，在上单调递减，不符合题意. 5. 从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为（ ） A. 88 B. 90 C. 123 D. 126 【答案】A 【解析】 【分析】由百分位数的概念即可求解. 【详解】由题意， 所以下四分位数为， 故选：A 6. 如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加减运算，结合空间向量的基本定理即可求得答案. 【详解】由题意得 , 结合可得， 故， 故选：C 7. 已知角，直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系建立方程，结合三角函数的性质，可得答案. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 故角的取值范围是. 故选：D. 8. 如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（ ） A. 是必然事件 B. 是必然事件 C. 与一定互斥 D. 与一定不互斥 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件互斥、对立事件和必然事件的定义，逐一分析选项． 【详解】解：如图①所示，不是必然事件，是必然事件，与不互斥； 如图②所示，是必然事件，是必然事件，与互斥． 故选B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列图象中可以作为函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】根据函数的定义，对于B中存在一个的值，有两个值与之对应，所以不是函数图象， ACD符合函数定义． 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 小付同学本学期参与了次数学考试，则事件“至少有次及格”与事件“只有一次及格”互为对立事件 B. 若，，，则事件与事件相互独立 C. 高二年级准备从个班级中抽取个班级参与“附中好诗词”舞台搭建，采取抽签法和随机数法两种不同方法抽取时，每个班级被抽中的概率分别为、，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A选项，小付同学本学期参与了次数学考试， 则事件“至少有次及格”包含的事件有“次及格”、“次及格”、“次及格”， 其对立的事件为“次及格或次全不及格”， 因此，事件“至少有次及格”的对立事件为“至多有次及格”，A错； 对于B选项，因为，，则， 因为，则事件与事件相互独立， 故事件与事件相互独立，B对； 对于C选项，高二年级准备从个班级中抽取个班级参与“附中好诗词”舞台搭建， 采取抽签法和随机数法两种不同方法抽取时，每个班级被抽中的概率分别为、， 则每个班级被抽中的概率相等，故，C对； 对于D选项，若，， 则，D错. 11. 在锐角中，角所对的边分别为，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 存在，其面积为1 D. 边上的中线长的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由结合正弦定理及两角和与差的正弦公式化简判断即可；对于B，结合及锐角可得，，再根据正弦定理及二倍角公式可得，进而求解判断即可；对于C，表示出，求出面积的取值范围即可判断；对于D，设的中点为，根据平面向量的数量积可得，结合，，可得，利用换元法求出其范围，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由， 根据正弦定理，得， 则 ， 即， 则， 即 ， 在锐角中，，则， 则，即，故A正确； 对于B，由，则， 在锐角中，，即，则， 由正弦定理，得，故B错误； 对于C，由，，，，即， 根据正弦定理，得，则，即， 则 ， 因为函数在上单调递减， 且时，，时，， 所以，则， 则存在，其面积为1，故C正确； 对于D，设的中点为，则， 所以 ， 又， 而，则， 则， 令，则， 令，则， 因为函数在上单调递增，且时，，时，， 则，即，则， 所以， 即边上的中线长的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线：与直线：平行，则实数________. 【答案】 【解析】 【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为， 因为两条直线平行， 故直线的斜率存在，且与直线的斜率相等，在轴上的截距不为，故， 所以直线的斜率为，在轴上的截距为， 所以，且， 解得，即实数. 13. 若，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 14. 棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有水，当侧面水平放置时，液面高为 （如图1）； 当转动容器至截面水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则___； _____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用体积相等得出，进而算出，进而得出，通过面积的比值，进而求出的值，得到答案． 【详解】由题意，正三棱柱的棱长均为， 所以， 由题意可得， 又由得， ∴，∴ ∵，∴，∴ 在等边中，边上的高为 因为，∴ 故答案为． 【点睛】本题主要考查了空间几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，合理利用锥体的体积公式和三棱锥的结构特征求解是解答的关键，着重考查了空间想象能，以及推理与运算能力，属于中档试题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 太原市某报社发起过建党105周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图： （1）求频率分布直方图中的值； （2）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在的作者中选出参加座谈会的人数； （3）根据频率分布直方图，求这位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）． 【答案】（1） （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为可构造方程求得结果； （2）根据年龄在的人数对应频率和分层抽样原则直接计算即可； （3）利用频率分布直方图估计平均数的方法可直接计算得到. 【小问1详解】 因为，所以； 【小问2详解】 应从选出参加座谈会的人数为：人； 【小问3详解】 由题意得：. 16. 设． （1）求的最大值及取到最值时的取值集合； （2）求的单调区间； （3）若锐角满足，求的值. 【答案】（1），；（2）单调增区间为，，减区间为，；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的性质，直接得出结果； （2）由余弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出单调区间； （3）根据函数解析式，由题中条件，求出，得出，进而可求出结果. 【详解】（1）由题意，可得当且仅当，，即，时， 取到最大值为； 此时的集合为； （2）由得； 由得； 所以的单调增区间为，， 减区间为，； （3）由题意，可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查求余弦型三角函数的最值，以及余弦型三角函数的单调区间，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型. 17. 如图所示的四棱锥中，平面，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，建立如图示空间直角坐标系. （1）求球心的坐标； （2）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设球心，根据球的定义列方程组求解即可； （2）根据公式计算. 【小问1详解】 由题意得，， 设球心，若在同一个球面上， 则，得： 解得，即， 【小问2详解】 由题意得， 设直线与直线所成角为， ∴ 故直线与直线所成角的余弦值为. 18. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标号为号和号），记下两枚骰子朝上的点数，求下列事件的概率： （1）“两个点数之和是5”； （2）“两个点数相等”； （3）“号骰子的点数大于号骰子的点数”． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）判断出符合古典概型，列出样本空间，找到满足事件的样本点，求比值即可； （2）列出满足事件的样本点，求比值即可； （3）列出满足事件的样本点，求比值即可． 【小问1详解】 用表示号出现的点数为，用表示号出现的点数为， 则用表示这个实验的一个样本点， 样本空间，共有36个样本点． 由于骰子的质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型． ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ； 【小问3详解】 ． 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，. （1）求证：平面PAD： （2）设点G是的重心. （i）求直线GB与平面PBD所成角的正弦值； （ii）设平面，求. 【答案】（1） 在中，由余弦定理得， 即，则，可知， 因为平面ABCD，平面ABCD，则， 且，平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD. （2）（i）（ii）6 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，进而证明线面垂直； （2）（ⅰ）建系标点，求平面PBD的法向量，利用空间向量求线面夹角；（ii）设，法一：根据向量共线列式求解即可；法二：根据线面关系结合空间向量运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，，， 因为G是的重心，则， 可得，， 设平面PBD的法向量为，则， 令，则，，可得， 则， 所以直线GB与平面PBD所成角的正弦值为； （ⅱ）设，则， 法一：因为平面PBD，且，不共线， 所以存在实数m，n，使得， 可得，解得，所以； 法二：由（ⅰ）知平面PBD的法向量为， 则，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $