精品解析：广东省多校联考2025-2026学年高二下学期7月期末学情调研数学试题

高二年级学情调研 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为， 则. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态分布曲线的对称轴为， 根据正态分布性质可知，所以，所以． 3. 已知在复平面内，为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为（ ） A. -7 B. -5 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】因为. 所以对应复数的虚部为. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，则，则切线方程为，则. 5. 设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 6. 已知直线，平面满足，则（ ） A. 任意，都有，相交 B. 任意，都有，是异面直线 C. 存在，使得 D. 存在，使得 【答案】D 【解析】 【详解】平面内可作过点以外，与异面的直线，并非所有直线都与相交，故A错误； 平面内过交点的直线，一定和相交，不是异面直线，故B错误； 直线与平面相交，平面内不存在与这条直线平行的直线，故C错误； 在平面内，过点一定可以作出直线与垂直，故D正确． 7. 已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由圆与相切，则圆心到直线l的距离，则或， 若，由圆与相切，则圆心到直线l的距离，不合题意； 若，由圆与相切，则， 由于圆心距（分别为两圆半径），此时两个圆外切， 如图，过点作，则,， 于是. 8. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解法一：由可得， 由得， 则，则， 由于，则. 解法二：由已知可得，则， 于是，即， 由于，则或， 若，则，则，，此时，都存在； 则； 若，即，则，矛盾，舍去. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，为上的动点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的最大值为5 C. 存在四个不同的点，使得的面积为1 D. 存在四个不同的点，使得为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用离心率用公式计算判断A；由椭圆的性质得到焦半径的范围判断B；利用三角形的面积公式推得的值，结合椭圆的性质即可判断C；分三类情况分析点的个数，即可判断D. 【详解】由题可知，，，，则，A正确； 由于，B错误； 由于，则，则这样的点有四个，C正确； 由于，，则当时，可得正三角形，点在椭圆的上下顶点； 当时，同理可得正三角形，点在椭圆的上下顶点； 当时，仍可得正三角形，点在椭圆的上下顶点.于是这样的点只有两个，D错误. 10. 甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，.若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（ ） A. 三枪都命中的概率为 B. 至少有一枪命中目标的概率为 C. 若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D. 若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据独立事件的概率运算公式，结合和事件的概率运算公式逐一判断即可. 【详解】对于A：三枪全中的概率，A正确； 对于B，三枪都不中的概率，故至少有一枪命中目标的概率为，B正确； 对于C、D：设1，2枪连续命中的概率为，2，3枪连续命中的概率为， 三枪都中的概率为，则由题意至少连续两枪命中的概率， 若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪，，若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪，，即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为， 同理：若乙在第2枪，连续命中两枪的概率为 ， 若丙在第2枪：连续命中两枪的概率为 ， 因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确. 11. 已知函数有两个极值点，，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对求导，设，对求导，分两类讨论，时分四种情况讨论，分析函数的单调性及极值点情况，令，得到，，设，对其求导，设，求导，得到的取值范围，再逐个选项分析. 【详解】由于，， 设，， ①若，，此时只有一个极值点，矛盾； ②若，，在上单调递增，且， (i)若，则当时，，则，故在上单调递增； 当时，，则，故在上单调递增； 于是在上单调递增，无极值点，不合题意； (ii)若，则，， 于是存在，使，即， 时，，，，在上单调递增； 时，，，，在上单调递减； 时，，，，在上单调递增； 于是，； (iii)若，则，， 于是存在，，， 时，，，，在上单调递增； 时，，，，在上单调递减； 时，，，，在上单调递增； 于是，； ③ 若，由于， 由得；由得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则取得极小值， 若，即时，，，，不合题意； 若，则，， 由零点存在定理，不妨设，存在，， 则，即，， 则在，上单调递增，在上单调递减， 令，则，，则， 于是，， 设，， 取，设，， 则在上单调递增，于是，则， 于是在单调递减， 且，则，且，则. 于是当时，；当时，； 当时，. 若，由于，，则A不可能； 若，，则A有可能； 若，则，若，则有解，故B正确； 若，则；若，由于，若， 由于的解，而且， 则在上无解，从而C错误； 若，则；若，考虑到，则D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【详解】由于，则，，则． 13. 已知函数的图象经过点，则_____；若在区间上单调递增，则的取值范围为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由，且，则； 于是，，令， 在区间上单调递增，所以在上单调递增， 则，. 14. 某市为迎接即将到来的省辩论大赛，准备在全市高中生范围内选择成员，经过第一轮比赛，9人脱颖而出，其中5名女生，4名男生，并且男生和女生中各有一名参加过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛，若至少有1名参加过去年比赛的被选中条件下，两名去年参赛的都被选中的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用组合的知识与古典概型分别求得事件的概率，再利用条件概率公式即可得解. 【详解】设事件“至少有1名参加过去年比赛的被选中”， 事件“两名去年参赛的都被选中”， 则， ， 则， 即所求概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在三棱锥中，，．点，分别为棱，的中点，连接，，，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由于，为的中点， 则， 由于，为的中点， 则， 由于，平面， 则平面， 又平面，则平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定即可证明； （2）方法一：根据线面夹角的定义即可求解直线与平面所成角的正弦值；方法二：建立空间直角坐标系，根据线面夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解法一：如图，连接，由，． 则，则， 同理，，且，平面， 则平面，且平面， 则， 如图，过点作交于点， 由（1）知平面，平面，则， 且，平面， 则平面， 于是即为直线与平面所成角， 在中，由于，，则， 于是， 即直线与平面所成角的正弦值为． 解法二：由，， 则，则， 同理，，， 则，，两两垂直， 以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为， 由于，， 则，，令， 于是平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求证：； （2）若的周长为，求的面积. 【答案】（1）解法一：由， 则，， 于是， 由正弦定理：， 则，，， 于是， 则. 解法二，由， 则， 由正弦定理：， 则，， 于是， 若，则，， 由可得； 若，且，则， 且，则， 由，， ， 则， 由，则， 于是（舍）或， 于是，则； 综上所述：. （2） 【解析】 【分析】（1）解法一根据正弦定理，利用边角转化，转换为边证明；解法二根据正弦定理利用边角转化为角证明； （2）根据（1），求出，利用余弦定理求出，由面积公式得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 则，， 则，中必有一个不小于，否则若，都小于，矛盾， 于是不是最大边，则只能为锐角， 由（1）得， 若，则，则， 由余弦定理可得：， 则， 于是，此时， 则， 此时恰好为正三角形，. 若，则，此时， 恰好为正三角形，. 17. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； （2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） （3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 【答案】（1），相关程度很强 （2），残差为百人 （3） 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用公式求出相关系数的值，即可得出结论； （2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可； （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，， ， ， ， 则， 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. 【小问2详解】 ，， 故经验回归方程为. 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） 【小问3详解】 记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， . 18. 已知数列，都是等差数列，其前项和分别为，，，. （1）求及的通项公式； （2）令，数列的前项积为，若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）令，设数列的前项和为，求证：对任意，. 【答案】（1）,，， （2） （3）由于 ， 则 ，， 于是 ， 另一方面，， 于是. 【解析】 【分析】（1）解法一令，列方程解方程组求出公差及通项公式；解法二令，结合已知解关于的方程求解. （2）分离参数，可得，令换元，求的最值即可. （3）利用裂项相消法可得，再由不等式的性质证明即可. 【小问1详解】 解法一：令，，， 于是，， 令，，，则，， 设，， 则， 于是，，. 解法二：令，，， 由于，则， ， 则， 于是，，. 【小问2详解】 由于，，则， 于是，， 于是 ， 设，当且仅当取等号， 则，， 由于函数在上单调递增， 最小值在即处取得, 于是， 则，当且仅当取等号， 于是. 【小问3详解】 略 19. 已知函数，其中. （1）若，讨论的单调性； （2）若在上恒成立，求的值； （3）若，证明：. 参考数据：，，. 【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减 （2） （3）设，，， ， 令，， 令，，则在上单调递增； 令，，则在上单调递减； 于是， 下证：，即证：，. 解法一：设，， 设，， 于是在上单调递增，在上单调递减， 于是，且，， 由零点存在定理，存在，，使得， 令，则，于是在上单调递增； 令，则，于是在，上单调递减； 由于，，考虑到，则， 要证，即证：，， 设，， 则在上单调递减， 考虑到，，则， 考虑到，下证：， 即证：， 由于，得证. 解法二：设，，， 令，， 于是在上单调递增，在上单调递减， 则，则，不妨设，则， 于是， 由于， 于是， 于是当时，； 当时，设， ， 设，， 于是在上单调递增，于是，且，由零点存在定理，存在，使得， 于是在上单调递减，在上单调递增， 且，，又，则， 于是当时，， 则， 综上所述：，. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，因式分解得到导函数零点，分段判断导函数符号，即可确定原函数单调增减区间； （2）把区间上恒成立问题转化为函数最值问题，求导分析单调性找到极值，利用最值约束条件求解即可得出唯一参数； （3）先将函数视作关于的函数求最大值，把不等式简化为，分、两段构造函数，结合导数单调性与零点存在定理完成证明. 【小问1详解】 由于，， 令，或； 令，或； 令，； 于是在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由于，其中，， 令，则， 令，，在上单调递增； 令，，在上单调递减； 于是，则， 不妨设，，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则且， 于是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级学情调研 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 3. 已知在复平面内，为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为（ ） A. -7 B. -5 C. 5 D. 7 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，平面满足，则（ ） A. 任意，都有，相交 B. 任意，都有，是异面直线 C. 存在，使得 D. 存在，使得 7. 已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 8. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，为上的动点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的最大值为5 C. 存在四个不同的点，使得的面积为1 D. 存在四个不同的点，使得为等腰三角形 10. 甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，.若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（ ） A. 三枪都命中的概率为 B. 至少有一枪命中目标的概率为 C. 若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D. 若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 11. 已知函数有两个极值点，，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的离心率为_____． 13. 已知函数的图象经过点，则_____；若在区间上单调递增，则的取值范围为_____. 14. 某市为迎接即将到来的省辩论大赛，准备在全市高中生范围内选择成员，经过第一轮比赛，9人脱颖而出，其中5名女生，4名男生，并且男生和女生中各有一名参加过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛，若至少有1名参加过去年比赛的被选中条件下，两名去年参赛的都被选中的概率是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在三棱锥中，，．点，分别为棱，的中点，连接，，，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求证：； （2）若的周长为，求的面积. 17. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； （2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） （3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 18. 已知数列，都是等差数列，其前项和分别为，，，. （1）求及的通项公式； （2）令，数列的前项积为，若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）令，设数列的前项和为，求证：对任意，. 19. 已知函数，其中. （1）若，讨论的单调性； （2）若在上恒成立，求的值； （3）若，证明：. 参考数据：，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $