精品解析：广东省东莞市嘉荣外语学校2024-2025学年高二港澳台、华侨联考班下学期期末考试数学试题

东莞市2024-2025嘉荣外语学校港澳台、华侨联考班第二学期期末考试 高二（数学） 注意事项： 1.答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共60分） 1. 已知集合，则集合中的子集个数为（ ） A. 18 B. 16 C. 32 D. 64 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 6 B. 12 C. D. 27 4. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 命题“，”的否定为“，” C. “”是的充要条件“” D. “”是“”的充分不必要条件 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知函数 则 在处的切线方程为 （ ） A B. C. D. 7. 函数的单调递减区间为（    ） A. B. C. D. 8. 三亚某校举办“海洋环保”主题活动，邀请1位教师与3位学生代表站成一排合影留念，为体现“教师引领、学生主体”的理念，要求教师不站在两侧，则不同的站法有（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 9. 展开式的常数项为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 20 10. 若，则（ ） A. 1 B. C. 129 D. 11. 若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则在甲、乙不相邻的条件下，丙、丁相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 12. 函数零点在区间内，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共30分） 13. 已知集合，，则________ 14. 已知随机变量服从正态分布且，则____________. 15. 若直线是曲线一条切线，则_________. 16. 若关于的不等式在区间[1，2]上有解，则的取值范围是________． 17. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是______. 18. 已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是________． 三、解答题（共60分） 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若，且，成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）求在上最小值． 21. 在一个袋子里有大小一样的6个小球，其中有4个红球和2个白球． （1）现有放回地每次从中摸出1个球，连摸3次，设摸到红球次数为X，求随机变量X的概率分布及期望； （2）现无放回地依次从中摸出1个球，连摸2次，求第二次摸出白球的概率； （3）若每次任意取出1个球，记录颜色后放回袋中，直到取到两次红球就停止，设取球的次数为Y，求的概率． 22. 某校航模社团共有名学生，研究“战斗机航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“无人机航模”． （1）从研究“战斗机航模”的人中任意选出人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率； （2）从航模社团中任意选出人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东莞市2024-2025嘉荣外语学校港澳台、华侨联考班第二学期期末考试 高二（数学） 注意事项： 1.答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共60分） 1. 已知集合，则集合中的子集个数为（ ） A. 18 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，进一步即可得解. 【详解】由题意，则， 所以集合中的子集个数为. 故选：C. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘方、除法得，结合虚部的概念即可得解. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：C. 3. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 6 B. 12 C. D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 4. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 命题“，”的否定为“，” C. “”是充要条件“” D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用含有一个量词命题的否定判断AB；利用充分条件、必要条件的定义判断CD. 【详解】对于A，命题“，”的否定为“，”，AB错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，，则，即， 反之，，满足，而无意义， 因此“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：D 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】换元，利用对勾函数的单调性求出最小值. 【详解】令，则， 而函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值. 故选：D 6. 已知函数 则 在处的切线方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用曲线在某一点的切线求解切线方程即可. 【详解】 令， 则，， 所以在处的切线方程为， 即. 故选：A. 7. 函数的单调递减区间为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出定义域后再求导，根据导函数小于0求出单调递减区间即可得． 【详解】的定义域为， ， 由，可得， 故的单调递减区间为． 故选：C． 8. 三亚某校举办“海洋环保”主题活动，邀请1位教师与3位学生代表站成一排合影留念，为体现“教师引领、学生主体”的理念，要求教师不站在两侧，则不同的站法有（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】先在中间的两个位置中选一个位置站老师，其余的进行全排列，结合排列数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，先在中间的两个位置中选一个位置站老师，其余的进行全排列， 可得不同的站法有种. 故选：B. 9. 展开式的常数项为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】应用二项式定理写出展开式通项，进而求常数项. 【详解】由题意得，二项展开式的通项为，， 令，则. 故选：C. 10. 若，则（ ） A. 1 B. C. 129 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令可得， 令可得， 即， 故选：B 11. 若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则在甲、乙不相邻的条件下，丙、丁相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设事件“甲、乙不相邻”，事件“丙、丁相邻”，利用捆绑法与插空法求出的值，再利用插空法求出的值，利用条件概率公式可求出的值. 【详解】设事件“甲、乙不相邻”，事件“丙、丁相邻”，用插空法， 事件表示“丙、丁相邻，甲、乙不相邻”， 将丙丁捆绑，形成一个大元素，与戊进行排序，然后再将甲、乙插入由大元素和戊形成的三个空中的两个， 所以， 对于事件，先将丙、丁、戊三人进行排序，然后将甲、乙插入丙、丁、戊三人形成的四个空中的两个， 所以种， 由条件概率公式可得. 故选：A. 12. 函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用零点存在性定理计算即可. 【详解】函数在定义域上连续且单调递增， 因为函数零点在区间内，则，解得. 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共30分） 13. 已知集合，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由分式不等式和交集的运算可得. 【详解】由可得，， 由可得， 所以. 故答案为：. 14. 已知随机变量服从正态分布且，则____________. 【答案】0.25## 【解析】 【分析】先求出，由对称性可得. 【详解】已知，因此， 根据对称性可得：. 故答案为：0.25 15. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 16. 若关于的不等式在区间[1，2]上有解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用参数分离将不等式转化为，求的最小值得到答案. 【详解】不等式在区间上有解 设，由在均为减函数 可知在单调递减 所以，即 故答案为： 【点睛】本题考查了不等式的参数问题，利用参数分离可以简化运算，学会构造函数，化繁为简，便于计算和理解，属基础题. 17. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是______. 【答案】0.72## 【解析】 【分析】利用全概率公式求解从该地市场上买到一个合格产品的概率，需要先确定不同厂家产品的概率以及在各厂家产品条件下买到合格产品的概率，再根据全概率公式计算最终结果. 【详解】设“买到的产品是甲厂产品”为事件，“买到的产品是乙厂产品”为事件. 已知甲厂产品占，乙厂产品占，所以，. 记“从该地市场上买到一个合格产品”为事件. 因为甲厂产品的合格率是，所以在买到甲厂产品的条件下，产品合格的概率； 又因为乙厂产品的合格率是，所以在买到乙厂产品的条件下，产品合格的概率. 根据全概率公式. 将，，，代入上式可得： 故答案为：. 18. 已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】参变分离，构造新函数，求得单调性即可求解． 【详解】因为在上恒成立，即在上恒成立， 取，所以，显然递增，即， 所以在单调递增，所以， 所以， 故答案为：． 三、解答题（共60分） 19. 已知函数. （1）若，求极值； （2）若，且，成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数单调性，再根据极值定义求解即可； （2）由题意得，令，则问题等价于，利用导数求出函数的最小值即可求解. 【小问1详解】 当时，， ， 当时，；时，， 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有极大值，无极小值； 【小问2详解】 当时，，则， 由得，， 设，则， 由， 当时，， 所以的取值范围为. 20. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）求在上的最小值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负可得单调性，由极值定义可求得结果； （2）分别在、和的情况下，根据的正负可得单调性，由此可得最值点，代入可求得最值. 小问1详解】 由题意知：的定义域为，； 当时，，恒成立，在上单调递增， 无极值； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 当时，在上恒成立，在上单调递增， ； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，在上单调递减，； 综上所述：在上的最小值. 21. 在一个袋子里有大小一样的6个小球，其中有4个红球和2个白球． （1）现有放回地每次从中摸出1个球，连摸3次，设摸到红球的次数为X，求随机变量X的概率分布及期望； （2）现无放回地依次从中摸出1个球，连摸2次，求第二次摸出白球的概率； （3）若每次任意取出1个球，记录颜色后放回袋中，直到取到两次红球就停止，设取球的次数为Y，求的概率． 【答案】（1）分布列见解析，2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项分布求解分布列和数学期望即可. （2）记“第一次摸出红球”为事件，“第一次摸出白球”为事件，“第二次摸出白球”为事件，即第二次摸出白球的概率为：． （3）根据表示“前3次只有1次取到红球，其余2次取到白球，第4次取到红球”求解即可. 【小问1详解】 由题意分析，可能值为0，1，2，3 所以， ， ， . 分布列为： X . 【小问2详解】 记“第一次摸出红球”为事件，“第一次摸出白球”为事件， “第二次摸出白球”为事件， 则， ， 即第二次摸出白球的概率为：． 【小问3详解】 依题意，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为. 即是“前3次只有1次取到红球，其余2次取到白球，第4次取到红球” . 22. 某校航模社团共有名学生，研究“战斗机航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“无人机航模”． （1）从研究“战斗机航模”的人中任意选出人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率； （2）从航模社团中任意选出人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记事件：选出的人中至少有一个是女生，事件：选出的人都是女生，求出、的值，利用条件概率公式求出的值； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，即可求出的值. 【小问1详解】 记事件：选出的人中至少有一个是女生，事件：选出的人都是女生， 所以，， 由条件概率公式可得； 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，，， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$