精品解析：湖南怀化市2025-2026学年下学期八年级期末数学教学质量监测试题

2026年上学期八年级期末测试试题 数学 温馨提示： （1）本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分120分． （2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． （3）请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙，丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表．若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数/米 11.1 11.1 10.9 10.9 方差s2/米2 1.1 1.2 1.3 1.4 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，在菱形中，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 8. 已知点在第四象限，则一次函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数 (是常数，且)的图象与正比例函数（是常数，且）的图象相交于点，下列判断不正确的是（ ） A. 关于的方程的解是 B. 关于的方程的解是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于的不等式的解集是 10. 如图，四边形是菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11. 如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个正多边形的边数为_________． 12. 点关于轴对称的点的坐标是_____． 13. 某校广播站在一次招聘中，分口语表达和写作能力两部分，口语表达和写作能力成绩按计算最终成绩，已知小丽的口语表达成绩为90分，写作能力成绩为85分，则小丽的最终成绩为_________分． 14. 某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果如下（单位：万元）：2.8，3.2，3.4，3.7，3.0，3.1，试估算该商场4月份的总营业额，大约是____万元． 15. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，则点的坐标为_________． 16. 如图1，已知长方形，动点沿长方形的边以的路径匀速运动到处停止，记的面积为，动点运动的路程为x，y与的关系如图2所示，则图2中的的值为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 如图，的顶点都在平面直角坐标系的网格点上，其中点的坐标为． （1）写出点A，B的坐标：（________________），（____________________）； （2）将通过平移得到，已知点的对应点，则（_________），（____________）； （3）计算的面积． 18. 已知与成正比例，当时，，求： （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求的值． 19. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点E，于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 20. 综合与实践 【问题背景】 刻漏是中国古代一种利用水流计时的工具，计时的准确度取决于水流的均匀程度．某数学综合与实践小组仿照其原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置． 【实践操作】 该数学综合与实践小组在某天上午开始实验，先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 7：30 7：40 7：50 8：00 8：10 … 流水时间 0 10 20 30 40 … 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 … 【建立模型】 小组讨论发现：在实验过程中，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 （1）利用当时，；当时，这两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数关系式； （2）在（1）的条件下，当流水时间为时，求水面高度h的值； （3）在（1）的条件下，当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束时的时间． 21. 为了解学生对“防溺水知识”的掌握情况，某校组织全体学生进行了“防溺水”知识测试，测试后，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计分析，并将成绩由低到高，依次分为A、B、C、D、E五个组，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．已知B组同学的成绩如下（单位：分）：80、81、81、82、82、82、83、83、83、84、84、85根据所给信息，解答下列问题： （1）共抽取了_________名学生进行统计分析； （2）请补全频数分布直方图； （3）请求出扇形统计图中“C”所在扇形的圆心角的度数； （4）抽取的样本数据的中位数是多少？小明的成绩是84分，他估计自己的成绩在全校属于中等偏上，你同意他的观点吗？请说明理由． 22. 我们规定：两条对角线相等的四边形叫做等对角线四边形． （1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，_________一定是等对角线四边形（填写图形名称）； （2）如图（1），若分别是等对角线四边形四边，，，的中点，当对角线、还要满足_________时，四边形是正方形，请说明理由； （3）如图2，已知四边形是等对角线四边形，，，，，求四边形的面积． 23. 如图，直线分别交轴、轴于点、，点的坐标为，点．是直线上的一个动点，连接． （1）直接写出点A，B的坐标并求直线的解析式； （2）当时，求点的坐标； （3）在轴上是否存在一点，使以点A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，如有，请求出所有满足条件的点的坐标． 24. 已知正方形，点E，F分别为边，上两点． （1）【建立模型】如图1，连接，，如果，求证：； （2）【模型应用】如图2，点为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，若，，求的长度； （3）【模型迁移】如图3，将沿折叠，使点落在上的点处，与交于点，若，，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期八年级期末测试试题 数学 温馨提示： （1）本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分120分． （2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． （3）请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 平面直角坐标系中各象限点的符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限； 又∵ 点的横坐标，纵坐标，符合第二象限点的符号特征； ∴ 点在第二象限. 3. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式，解可得答案． 【详解】解：根据题意可得； 解得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0． 4. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 但不能说明四边形是矩形，故该选项符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、∵， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 5. 甲、乙，丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表．若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数/米 11.1 11.1 10.9 10.9 方差s2/米2 1.1 1.2 1.3 1.4 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义解答． 【详解】解：从平均数来看，成绩好的同学有甲和乙， 从方差来看，甲乙两人中，甲方差小，即甲发挥稳定， 故选：A． 【点睛】本题考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越差，反之，则与平均值的离散程度越小，稳定性也越好． 6. 如图，在菱形中，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，易得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∴． 7. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组，  则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170，  ，  乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195，  乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 8. 已知点在第四象限，则一次函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据第四象限内点的符号特征，得到，进一步即可得出结果． 【详解】解：∵点在第四象限， ， ∴， 则一次函数经过一、二、三象限， B选项图象符合题意． 故选：B． 9. 如图，一次函数 (是常数，且)的图象与正比例函数（是常数，且）的图象相交于点，下列判断不正确的是（ ） A. 关于的方程的解是 B. 关于的方程的解是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于的不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数 二元一次方程组、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式，根据题意，结合图象对各选项逐项判断即可，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：一次函数 (是常数，且)的图象与正比例函数（是常数，且）的图象相交于点， 关于的方程的解是，选项A正确，不符合题意； 关于的方程的解是，选项B正确，不符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C正确，不符合题意； 关于的不等式的解集是，选项D错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图，四边形是菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，轴对称性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】解：菱形，， ，， ∴关于直线对称， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴三点共线时，取得最小值，且最小值为， 菱形，， ∴，，， ∴都是等边三角形， 点是的中点， ∴， 点， ， ，， ， 的最小值为6， 故的最小值为6； 二、填空题（每小题3分，共18分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11. 如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个正多边形的边数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形外角和为和正多边形的每个外角都相等计算即可． 【详解】解：任意多边形的外角和为，且正多边形的每个外角相等， 这个正多边形的边数为． 12. 点关于轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴、y轴、原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可直接得到答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为． 13. 某校广播站在一次招聘中，分口语表达和写作能力两部分，口语表达和写作能力成绩按计算最终成绩，已知小丽的口语表达成绩为90分，写作能力成绩为85分，则小丽的最终成绩为_________分． 【答案】88 【解析】 【分析】解题思路：根据两项成绩权重比6:4，利用加权平均数公式，代入口语表达成绩90分、写作成绩88分直接计算最终加权平均分． 【详解】解： ． 14. 某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果如下（单位：万元）：2.8，3.2，3.4，3.7，3.0，3.1，试估算该商场4月份的总营业额，大约是____万元． 【答案】96 【解析】 【分析】根据题意首先求出样本的平均数，然后即可估算总体. 【详解】由题意，得 （2.8+3.2+3.4+3.7+3.0+3.1）÷6=3.2， 3.2×30=96（万元）， 估算该商场4月份的总营业额大约是 96万元， 故答案为96. 【点睛】此题主要考查用样本的平均数估计总体的平均数，熟练掌握，即可解题. 15. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出的长，如图：过点C作轴于点E，易证，利用全等三角形的性质可得出的长，进而可得出点C的坐标，由点A，C的坐标，利用待定系数法，可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点D的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点A的坐标为， ； 当时，，解得， ∴点B的坐标为， ， 如图：过点C作轴于点E，则， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴点D的坐标为． 16. 如图1，已知长方形，动点沿长方形的边以的路径匀速运动到处停止，记的面积为，动点运动的路程为x，y与的关系如图2所示，则图2中的的值为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据图2得出，，再根据当时，点M在点C处，利用三角形面积公式求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：由图（2）可得， ∴， 当时，点M在点C处， ∴，即． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 如图，的顶点都在平面直角坐标系的网格点上，其中点的坐标为． （1）写出点A，B的坐标：（________________），（____________________）； （2）将通过平移得到，已知点的对应点，则（_________），（____________）； （3）计算的面积． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由图即可得点A，B的坐标． （2）根据题意可得平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，进而求得，． （3）利用割补法即可求得的面积． 【小问1详解】 解：由图可得，． 【小问2详解】 解：由图可得， ∵， ∴通过平移得到的平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵，， ∴，． 【小问3详解】 解： ． 18. 已知与成正比例，当时，，求： （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）所得的解析式求x即可解答． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式， 当，时，得， 解得：， ，即y与x的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，，解得：． 19. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点E，于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ，， ∵四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）先说明、，再利用矩形的性质证明可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）由矩形的性质可得，再说明、，然后利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ． 20. 综合与实践 【问题背景】 刻漏是中国古代一种利用水流计时的工具，计时的准确度取决于水流的均匀程度．某数学综合与实践小组仿照其原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置． 【实践操作】 该数学综合与实践小组在某天上午开始实验，先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 7：30 7：40 7：50 8：00 8：10 … 流水时间 0 10 20 30 40 … 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 … 【建立模型】 小组讨论发现：在实验过程中，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 （1）利用当时，；当时，这两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数关系式； （2）在（1）的条件下，当流水时间为时，求水面高度h的值； （3）在（1）的条件下，当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束时的时间． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，把当时，；当时，代入解析式，得，解答即可； （2）根据自变量的值求函数值即可； （3）当时，实验结束，得，解答即可； 本题考查了待定系数法求解析式，根据自变量值求函数值，根据函数值求自变量值，熟练掌握待定系数法，借助解析式计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：设，把当时，；当时，代入解析式，得， 解得， 故． 【小问2详解】 解：当时，， 答：水面高度h的值． 【小问3详解】 解：当时，实验结束，得， 解得， 实验结束时的时间． 21. 为了解学生对“防溺水知识”的掌握情况，某校组织全体学生进行了“防溺水”知识测试，测试后，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计分析，并将成绩由低到高，依次分为A、B、C、D、E五个组，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．已知B组同学的成绩如下（单位：分）：80、81、81、82、82、82、83、83、83、84、84、85根据所给信息，解答下列问题： （1）共抽取了_________名学生进行统计分析； （2）请补全频数分布直方图； （3）请求出扇形统计图中“C”所在扇形的圆心角的度数； （4）抽取的样本数据的中位数是多少？小明的成绩是84分，他估计自己的成绩在全校属于中等偏上，你同意他的观点吗？请说明理由． 【答案】（1）40 （2） （3） （4）我同意小明的观点，理由如下： 抽取的样本容量为40， 第20个和第21个数据的平均数为样本学生成绩的中位数． 第20个数和第21个数都是83， 中位数为， 小明的成绩是84分，， 小明的成绩在全校属于中等偏上． 【解析】 【分析】（1）由D组的频数和占比求出人数即可； （2）先求出A组的频数，再求出E组频数，最后补全直方图即可； （3）先求出C组的占比，即可求出所在扇形的圆心角； （4）求出中位数，即可判断小明的观点． 【小问1详解】 解：由题意可得，D组的频数为，占比为， ， 答：共抽取了名学生进行统计分析． 【小问2详解】 A组频数：（人）， E组频数：（人）， 补全频数直方图：略． 【小问3详解】 ， 答：扇形统计图中“C”所在扇形的圆心角的度数为． 【小问4详解】 略 22. 我们规定：两条对角线相等的四边形叫做等对角线四边形． （1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，_________一定是等对角线四边形（填写图形名称）； （2）如图（1），若分别是等对角线四边形四边，，，的中点，当对角线、还要满足_________时，四边形是正方形，请说明理由； （3）如图2，已知四边形是等对角线四边形，，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）矩形 （2）当时，四边形是正方形．理由如下： 如图1中，分别是等对角线四边形四边、、、的中点， ，， ，， ， ， ∴四边形是菱形， 当时，， 由，可知，， ， ∴四边形是正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）通过新定义等对角线四边形（两条对角线相等的四边形叫做等对角线四边形）的理解，即可得出答案； （2）因为对角线相等，再由三角形中位线的性质可得出四边形是菱形，只需要再满足四边形的内角是即可，证明方法类似； （3）过点作的边上的高，把四边形分成一个梯形和一个直角三角形，然后分别计算两个图形面积相加即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，作于点， 在中，，，， ， ，， ， 四边形是等对角线四边形， ， 在中，， ，， ， 四边形是直角梯形， ， ， ． 23. 如图，直线分别交轴、轴于点、，点的坐标为，点．是直线上的一个动点，连接． （1）直接写出点A，B的坐标并求直线的解析式； （2）当时，求点的坐标； （3）在轴上是否存在一点，使以点A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，如有，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3）存在，点E的坐标为或 【解析】 【分析】（1）因为x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，所以分别令直线、，求解得到A、B的坐标；再用待定系数法，代入B、C的坐标求直线的解析式． （2）设点，求出，当时，当时，当时，分三种情况由解答． （3）设，，当为平行四边形的边时，当为平行四边形的对角线时，分情况讨论平行四边形的顶点对应关系，利用平行四边形对边平行且相等或对角线中点重合的性质列方程，求解得到E的坐标． 【小问1详解】 解：， 当时，； 当时，； ，， 设直线的解析式为， 将点、代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点D在直线上， 设点D的横坐标为m，则， ，，， ，， 则， ①当时， ， ∴， 由，得， ， 即， ②当时， ， ， 由得 即， ③当时， ， ∴此时，不存在m的值，使得， 综上所述，当时，点D的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在点E，使以点A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设， ①当为平行四边形的边时， ，， ∴，或 解得，或 点E坐标为或 ②当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 点， 综上可得：点E的坐标为或． 24. 已知正方形，点E，F分别为边，上两点． （1）【建立模型】如图1，连接，，如果，求证：； （2）【模型应用】如图2，点为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，若，，求的长度； （3）【模型迁移】如图3，将沿折叠，使点落在上的点处，与交于点，若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形得，．由得，又，故．证，得． （2）连接，作．由垂直平分得．由正方形得，．证四边形为矩形，得，．由得，证，得．同理证四边形为矩形得． （3）由折叠得，．由（1）全等得，．勾股定理求．由面积法得，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接，，过点G作于点H， 垂直平分， ，， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴四边形为矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证明四边形为矩形， ， ∵四边形是正方形， ∴设， 则，， ， ， 在，中， 由勾股定理得：，， ， 解得， ； 【小问3详解】 的长度为，理由如下： 由折叠可得：，， 同（1）可得，，， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， ， 的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $