精品解析：湖南省怀化市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

怀化市2025年上学期期末八年级教学质量抽测试卷 数学 温馨提示： （1）本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分120分． （2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． （3）请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1. 围棋起源于中国，截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 一次函数图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知一组数据的最大值为100，最小值为20，若取组距为15，作等距分组，则分成的组数为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点H．，Q是边上一动点，则点之间的最小距离为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 7. 下列命题中，①对角线相等四边形是矩形；②对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；③四角相等的四边形是正方形；④四边相等的四边形是菱形．其中正确的有（　　） A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ①②④ 8. 如图，在四边形中，是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为 （　　） A. B. C. D. 9. 直角三角形的三边为，，且、都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　） A. B. C. D. 10. 李华早上7点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会后沿原路以原速返回，小明比爸爸早5分钟到家．设两人离家的距离与小明离开家的时间之间的函数关系如图所示，下列说法：①公园与家的距离为2000米；②爸爸回家的速度为；③小明在公园锻炼的时间是25分钟；④小明在去公园的途中，在离家1600米处与爸爸相遇．以上说法正确的有（　　）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 已知点在一次函数的图象上，则______． 12. 某班级开展剪窗花活动，小华同学将剪好的兔子放在适当的平面直角坐标系中．若兔子两只耳朵上的点与点恰好关于轴对称，则的值为______． 13. 李明将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，正面朝上的频率是______． 14. 在菱形中，长为，对角线长为，该菱形的面积是_____． 15. 如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的方程的解是________． 16. 如图是用边长相等的正三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则______． 17. 如图，正方形的边长为4，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为________． 18. 如图，正方形的对角线的交点与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点……依此类推，则点的横坐标是____． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 已知：如图，在中，于点，点在边上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求证：． 20. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． （1）建立适当的平面直角坐标系后，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_____； （2）将向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的； （3）在（1），（2）的条件下，若线段上有一点，则平移后的对应点的坐标为______． 21. 某家庭记录了使用节水龙头的日用水量样本数据（单位：），得到频数分布表如下： 日用水量 频数 百分比 1 4% 2 8% 20% 32% 6 3 12% （1）求的值； （2）在图上补全频数分布直方图； （3）估计该家庭使用节水龙头100天后，其中日用水量小于的天数是多少天？ 22. 如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作交直线于点，垂足为，连接．     （1）求证：； （2）当D在中点时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若D为中点，则当　　时，四边形是正方形？ 23. 某商场计划购进甲、乙两种衣服进行销售．已知甲种衣服的进货单价比乙种衣服的进货单价贵50元，购进3件甲种衣服的费用与购进4件乙种衣服的费用相等．进货后，商场确定甲衣服的售价为每件250元，乙衣服的售价为180元/件． （1）求甲、乙两种衣服的进货单价各是多少元？ （2）若商场准备购进甲、乙两种衣服共100件，但进货总金额不能超过18000元．若设甲种衣服购进件，销售完100件甲、乙两种商品的总利润为元，求与之间的函数关系式，并求的最大值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴和轴分别相交于点和点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为2． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在轴上，满足，求点的坐标； （3）若直线与三边有两个公共点，求的取值范围． 25. 若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”． （1）下列三组数是“快乐三数组”有______（填序号）； ①3，4，5；②，，；③，1，； （2）若关于的方程的解与关于的方程的解与1构成“快乐三数组”，求的值； （3）如图，在四边形中，，，连接对角线，若的长为c，的两条邻边长分别为a，b，若，b，构成“快乐三数组”，且，求的长． 26. 在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动： （1）【探究发现】 如图1，在正方形中，点是边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转，使得点与点重合得到，连接．则是______三角形． （2）【联想拓展】 如图2，若点是正方形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接．求证：． （3）【迁移应用】 如图3，已知菱形，，，点是菱形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接．当时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 怀化市2025年上学期期末八年级教学质量抽测试卷 数学 温馨提示： （1）本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分120分． （2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． （3）请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1. 围棋起源于中国，截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据每个象限内点的坐标特点进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴点在第二象限， 故选B． 【点睛】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限内点的符号特点是解题的关键：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 3. 若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形的两个锐角互余计算得出． 【详解】解：直角三角形中，一个锐角是， 另一个锐角的度数为：， 故选：B． 4. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据一次函数解析式判断其经过的象限，当一次函数中，时，函数图象经过第一、二、三象限，由此可得答案． 【详解】解：中，，， 函数图象经过第一、二、三象限， 函数图象不经过第四象限， 故选：D． 5. 已知一组数据的最大值为100，最小值为20，若取组距为15，作等距分组，则分成的组数为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，理解极差和组距，组数的意义是正确判断的前提．根据组数=（最大值-最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位． 【详解】解：∵极差为，且组距为15， ∴组数为， ∴分成的组数为6， 故选：A． 6. 如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点H．，Q是边上一动点，则点之间的最小距离为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】过点H作于点Q，则当时，最小，由角平分线的定义得，再由直角三角形的性质得，最后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点H作于点Q，则当时，最小， 由题意得，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查尺规作图—角平分线、角平分线的性质、直角三角形的性质、垂线段最短，理解题意得平分是解题关键． 7. 下列命题中，①对角线相等的四边形是矩形；②对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；③四角相等的四边形是正方形；④四边相等的四边形是菱形．其中正确的有（　　） A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形、菱形、正方形的判定，根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一分析各命题的正确性． 【详解】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原说法错误； ②对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，原说法正确； ③四角相等的四边形是矩形，原说法错误； ④四边相等的四边形是菱形，原说法正确； 故选：B． 8. 如图，在四边形中，是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数． 【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，   故选：C． 9. 直角三角形的三边为，，且、都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、整式的混合运算，根据、都为正整数，可得：，根据勾股定理可得：，整理可得：，从而可得：三角形三边长分别为、、，三角形三边的长度可能是的倍数、的倍数、的倍数，根据三角形三边长的特征判断即可． 【详解】解：、都为正整数， ， 是直角三角形的斜边， 整理得：， 移项、合并同类项得：， 两边同时除以得：， ，， 三角形三边长分别为、、， 三角形三边的长度可能是的倍数、的倍数、的倍数， A选项：当时，， 此时， 三边长分别为、、， 故A选项符合条件； B选项： 不是、、的倍数， 故B选项不符合题意； C选项： 不是、、的倍数， 故C选项不符合题意； D选项： 不是、、的倍数， 故C选项不符合题意． 故选：A． 10. 李华早上7点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会后沿原路以原速返回，小明比爸爸早5分钟到家．设两人离家的距离与小明离开家的时间之间的函数关系如图所示，下列说法：①公园与家的距离为2000米；②爸爸回家的速度为；③小明在公园锻炼的时间是25分钟；④小明在去公园的途中，在离家1600米处与爸爸相遇．以上说法正确的有（　　）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实际问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，从图象中获得相关信息，利用数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】根据图象可得：公园与家的距离为2000米，故①正确； 爸爸的速度为：，故②正确； ∵， ∴小明在公园锻炼的时间是15分钟，故③错误； 小明的速度为：， 设小明在返回途中离家a米处与爸爸相遇， 根据题意得，， 解得，， ∴小明在去公园的途中，在离家1600米处与爸爸相遇，故④正确； 综上所述，以上说法正确的有3个． 故选：C． 二、填空题 11. 已知点在一次函数的图象上，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将代入一次函数，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：0． 12. 某班级开展剪窗花活动，小华同学将剪好的兔子放在适当的平面直角坐标系中．若兔子两只耳朵上的点与点恰好关于轴对称，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要是考查了关于对称轴的对称的点的坐标特征，能够熟记关于y对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是关键． 根据关于y轴的对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得出a，b的值，再代入要求的代数式求值即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 13. 李明将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，正面朝上的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频数与频率，掌握频率频数总数是正确解答的关键．根据频率频数总数进行计算即可． 【详解】解：李明抛掷一枚质地均匀硬币，连续抛掷10次，6次正面朝上，反面朝上4次， 则正面朝上的频率是． 故答案为：． 14. 在菱形中，长为，对角线长为，该菱形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质与勾股定理是解题的关键． 先根据菱形对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出另一对角线一半的长，从而得出另一对角线的长度，然后利用菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：如图，，， ∵菱形， ∴， ，， ∴， 在中，由勾股定理，得 ∴， ∴菱形的面积=， 故答案为：． 15. 如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的方程的解是________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程结合的问题，解题的关键是数形结合思想在一次函数与一元一次方程中的运用．先利用待定系数法求得k、b，再解一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴所求方程为， 解得， 故答案为：． 16. 如图是用边长相等的正三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据题意可得正多边形的外角为，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：如图： 是等边三角形， ， 正三角形和正n边形密铺， 拼接点的角刚好能拼成一个周角，， ， ， 正n边形的外角为：， 这个多边形的边数是， 故答案为：． 17. 如图，正方形的边长为4，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识．先根据正方形的性质得到，，，再根据折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为4，， ∴，，， 由折叠的性质得， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， 即． 故答案为： 18. 如图，正方形的对角线的交点与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点……依此类推，则点的横坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化—旋转，等腰直角三角形的性质等，根据题意找到规律并利用规律求解是解答本题的关键．根据题意，求出、、、、、的坐标，可得出规律：每四个点一个循环，，由，即可推出． 【详解】解：∵将顶点绕点逆时针旋转得点， ∴， ∵再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点…… ∴，，，，，…… 观察发现，每四个点一个循环，其中， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 已知：如图，在中，于点，点在边上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． （1）先利用平行四边形的性质结合已知条件推导出，，，进而根据矩形的判定定理可得结论； （2）先根据矩形的性质得到，再根据定理即可证明结论． 【小问1详解】 证明：在中，且， ∵， ∴ 即 又∵即， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 证明：由（1）知四边形是矩形， ∴ ∴ 在中， 在和中， ∴． 20. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． （1）建立适当的平面直角坐标系后，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_____； （2）将向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的； （3）在（1），（2）的条件下，若线段上有一点，则平移后的对应点的坐标为______． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形-平移变换，正确建立平面直角坐标系，熟练掌握平移性质是解答的关键． （1）根据点B、C坐标建立平面直角坐标系，进而写出点A坐标； （2）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接格点即可画出平移后的图形； （3）根据坐标平移性质“左减右加，上加下减”可得结论． 【小问1详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系，点A坐标为 ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作： 【小问3详解】 解：由平移性质得：平移后的对应点的坐标为． 21. 某家庭记录了使用节水龙头的日用水量样本数据（单位：），得到频数分布表如下： 日用水量 频数 百分比 1 4% 2 8% 20% 32% 6 3 12% （1）求的值； （2）在图上补全频数分布直方图； （3）估计该家庭使用节水龙头100天后，其中日用水量小于的天数是多少天？ 【答案】（1），， （2）见解析， （3）64天 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，理解频数、频率、总数之间的关系是正确解答的关键． （1）根据频数、总数、频率之间的关系进行计算即可； （2）根据频数分布表，和a、b的值，即可补全频数分布直方图； （3）样本中日用水量小于的天数占调查天数的，据此求解即可． 【小问1详解】 解： 记录总数为： ∴a的值为5，b的值为8，c的值为24%． 【小问2详解】 如图所示 【小问3详解】 （天） 答：日用水量小于的天数是64天． 22. 如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作交直线于点，垂足为，连接．     （1）求证：； （2）当D在中点时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若D为中点，则当　　时，四边形是正方形？ 【答案】（1）见解析 （2）菱形，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）求出四边形是平行四边形，求出，根据菱形的判定推出即可； （3）当，四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 理由如下： 为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，为中点， ， 四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时， ， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 某商场计划购进甲、乙两种衣服进行销售．已知甲种衣服的进货单价比乙种衣服的进货单价贵50元，购进3件甲种衣服的费用与购进4件乙种衣服的费用相等．进货后，商场确定甲衣服的售价为每件250元，乙衣服的售价为180元/件． （1）求甲、乙两种衣服的进货单价各是多少元？ （2）若商场准备购进甲、乙两种衣服共100件，但进货总金额不能超过18000元．若设甲种衣服购进件，销售完100件甲、乙两种商品的总利润为元，求与之间的函数关系式，并求的最大值． 【答案】（1）200元/件，150元/件 （2）；4200 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，一元一次方程，一元不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙种衣服进件为元/件，则甲种衣服的进价为元/件，根据“购进3件甲种衣服的费用与购进4件乙种衣服的费用相等”建立一元一次方程求解； （2）根据利润等于每件的利润乘以数量建立总利润为关于的一次函数，再由进货总金额不能超过18000元，列不等式求出的取值范围，最后由一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设乙种衣服的进件为元/件，则甲种衣服的进价为元/件． 根据题意得： 解得： 经检验：是原方程的解， ∴ 答：甲种衣服的进价为200元/件，乙种衣服的进价为150元/件． 【小问2详解】 解： ∴随的增大而增大， ∵ ∴ ∴当时，有最大值为4200． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴和轴分别相交于点和点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为2． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在轴上，满足，求点的坐标； （3）若直线与的三边有两个公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把点C的纵坐标代入，可得点C的坐标，再运用待炡系数法求解即可； （2）设点，根据题意得到，求解即可； （3）分别求出直线经过点E和点O时m的值即可． 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数的图象上，且点的纵坐标为2， ∴， ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知一次函数的解析式为， ∵一次函数与和轴分别相交于点和点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在轴上， ∴设， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴直线恒过定点， ∵， ∴当直线经过点时，，解得； ∴直线经过点时，，解得； ∵直线与的三边有两个公共点． ∴的取值范围是． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出k、b的值利用三角形的面积公式结合结合已知条件得出一元一次方程． 25. 若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”． （1）下列三组数是“快乐三数组”有______（填序号）； ①3，4，5；②，，；③，1，； （2）若关于的方程的解与关于的方程的解与1构成“快乐三数组”，求的值； （3）如图，在四边形中，，，连接对角线，若的长为c，的两条邻边长分别为a，b，若，b，构成“快乐三数组”，且，求的长． 【答案】（1）②③ （2）或1 （3） 【解析】 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了分式方程、一元一次方程的求解，以及三角形的三边关系和勾股定理，准确的计算是解题关键； （1）利用定义进行验证即可判断； （2）分别求解方程得，，再分类讨论，三种情况即可求解； （3）由题意得，根据可得,；结合即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴②③是“快乐三数组”， 故答案为：②③； 【小问2详解】 解关于的方程，得：， 解关于的方程得： ①当时，，解得； ②当时，，解得（此时x负数，不合题意，舍去）； ③当时，，解得； 所以或1； 【小问3详解】 解：由题意得：，， ∴，， ∵，b，构成“快乐三数组”， ∴， 整理得：， ∴， 即：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得：或（舍） ∴． 26. 在“综合与实践”课上，同学们以“图形旋转”为主题开展数学活动： （1）【探究发现】 如图1，在正方形中，点是边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转，使得点与点重合得到，连接．则是______三角形． （2）【联想拓展】 如图2，若点是正方形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接．求证：． （3）【迁移应用】 如图3，已知菱形，，，点是菱形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接．当时，求． 【答案】（1）等腰直角 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出，即，由旋转的性质可得：，，从而得出，即可得证； （2），由旋转的性质可得：，，，，从而得出为等腰直角三角形，，再由勾股定理即可得出答案； （3）由旋转性质得，求出，易证，根据四边形为菱形，且，求出，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，即， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形； 【小问2详解】 证明：∵四边形为正方形， ∴， 由旋转的性质可得：，，，， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$