精品解析：河北省保定市竞秀区部分学校2025-2026学年度第二学期期末学业质量检测七年级数学试题

2025—2026学年度第二学期期末学业质量监测 七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 每天运动一小时，健康生活一辈子．下列关于体育运动的图标中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一种多模光纤芯的半径是0.00003125米，将0.00003125用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若等式“”成立，则“”中的运算符号为（ ） A. B. C. D. 4. 将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 的化简结果是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 7. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）: 温度/ 0 10 20 30 声速/ 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（ ） A. 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B. 温度越高，声速越快 C. 当空气温度为时，声速为 D. 当温度每升高，声速增加 8. 数学课上，张老师与同学们做“用频率估计概率”的试验．不透明袋子中有2个白球、4个红球、5个黑球和9个黄球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中有放回的随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 白色 B. 红色 C. 黑色 D. 黄色 9. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块可能是（ ）． A. B. C. D. 10. 数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（ ） A. 图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线 B. 图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C. 图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 D. 图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 11. 如图，三个边长均为的正方形部分重叠在一起，，是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动，连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为（ ） A. 2或4 B. 2或 C. 2或 D. 2或 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 中国高铁运营速度处于全球领先水平，设兰州到酒泉的高铁列车的平均时速为，其行驶路程（单位：）与行驶时间（单位：）之间的关系式为__________． 14. 四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为___________． 15. 如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边于点，若，的面积为，则线段的长为________． 16. 如图，在中，，，点D是边上靠近点A的三等分点，点E是边上一动点，将沿折叠得．当与的一边平行时，的度数为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值 ，其中． 19. 某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． （1）他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； （2）求他得到100元购物券的概率是多少？ （3）若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线对称的图形为，其中是的对称点． （1）请作出对称轴直线及关于直线对称的； （2）在直线上画出点，使得的周长最小； （3）求的面积． 21. 在中，，． （1）作的垂直平分线，交于点，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）过点作，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）连接，求的度数． 22. 现有边长分别为，的正方形号和号，以及长为，宽为的长方形号卡片若干，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形．（卡片间不重叠、无缝隙） 尝试解决： （1）图1是由张号卡片、张号卡片、张号卡片拼接成的正方形，那么这个几何图形表示的等式是__________（用字母，表示）； （2）若想验证，则需要号卡片__________张、号卡片__________张、号卡片__________张． （3）拓展研究：如图2，已知大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用，表示四个直角三角形的两直角边边长，观察图案，以下关系式中正确的有__________．（填写序号） ①；②；③；④． （4）实践应用：若图2中的，，求图中阴影部分的面积． 23. 甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为与甲行驶的时间之间的关系如图所示． （1）观测图像可知点，点，点所代表的实际意义，请将、、分别填入对应的横线上． ①点______表示甲到达终点； ②点______表示甲乙两人相遇； ③点______表示乙到达终点． （2）、两地之间的路程为______千米； （3）求甲骑摩托车的速度； （4）甲出发______h后，甲、乙两人相距180千米． 24. 在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=　　　　，∠DCE=　　　　，BC、DC、CE之间的数量关系为　　　　； （2）设∠BAC=α，∠DCE=β． ①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论． （3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末学业质量监测 七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 每天运动一小时，健康生活一辈子．下列关于体育运动的图标中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 一种多模光纤芯的半径是0.00003125米，将0.00003125用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值小于1的数：把一个绝对值小于1的数表示成的形式（，是正整数）． 根据科学记数法的定义，计算求值即可； 【详解】解：， 故选：C． 3. 若等式“”成立，则“”中的运算符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的运算即可解答； 【详解】 故选D 【点睛】该题考查了幂的运算，底数不变，指数相减是幂的除法运算，解答该题的关键是掌握幂的运算公式． 4. 将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，理解题意是关键． 5. 的化简结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式计算解题即可． 【详解】解：， 故选：B． 6. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知支撑点应是三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点即可判断． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点． 故选：． 【点睛】此题考查了三角形重心这一知识点，知道三角形重心是三角形三边中线的交点是解题的关键． 7. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）: 温度/ 0 10 20 30 声速/ 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（ ） A. 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B. 温度越高，声速越快 C. 当空气温度为时，声速为 D. 当温度每升高，声速增加 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量、因变量的定义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【详解】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速， ∴选项A说法正确，不符合题意； ∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢，温度越高，声速越快， ∴选项B说法正确，不符合题意； 由列表可知，当空气温度为时，声速为， ∴选项C说法正确，不符合题意； ∵，，，， ， ∴当温度每升高，声速增加， ∴选项D说法不正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了自变量，因变量．熟练掌握自变量、因变量的定义是解题的关键．在一个变化过程种，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是因变量． 8. 数学课上，张老师与同学们做“用频率估计概率”的试验．不透明袋子中有2个白球、4个红球、5个黑球和9个黄球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中有放回的随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 白色 B. 红色 C. 黑色 D. 黄色 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，简单地概率公式应用，熟练掌握公式，理解频率估计概率意义是解题的关键． 利用简单地概率公式，求得各色球的概率，结合图象，发现该球频率稳定在，比较解答即可． 【详解】解：根据题意，得不透明袋子中有2个白球、4个红球、5个黑球和9个黄球，这些球除颜色外无其他差别， 故，，，， 根据图象，得该球频率稳定在， 故其概率约为． 即则该球的颜色最有可能是红球 故选：B 9. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据概率公式分别求出数字1，2，3的面数，再结合选项判断，概率公式：某数字的面数=总面数该数字出现的概率． 【详解】解：正方体共有6个面， 数字1的面数：； 数字2的面数：； 数字3的面数：， 即木块上有2个面标1，3个面标2，1个面标3，只有D选项符合． 10. 数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（ ） A. 图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线 B. 图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C. 图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 D. 图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数学原理在实际生活中的运用，根据直线的性质、三角形的特性、垂线段的性质、全等三角形的判定方法，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．图（1）中用数学原理为：两点确定一条直线，解释正确，不合题意； B．图（2）中用数学原理为：三角形具有稳定性，解释正确，不合题意； C．图（3）中用数学原理为：垂线段最短，解释正确，不合题意； D．图（4）中编号为③的部分满足两个角和夹边是完整的，根据全等三角形的判定方法“”，能够得到要配的三角形模具和原来的三角形模具是全等的，因此该选项解释错误，符合题意； 故选D． 11. 如图，三个边长均为的正方形部分重叠在一起，，是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：如图，连接、， 根据题意得每个正方形的面积为， ，， ， 四边形是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 同理得，， ． 12. 如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动，连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为（ ） A. 2或4 B. 2或 C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】设t秒后，与全等，表示出相应边长，再分，两种情况，根据对应边相等列出方程，解之即可． 【详解】解：设t秒后，与全等， 由题意可得：，，，， ∵与全等，， ∴当时，，， ∴，， ∴，； 当时，，， ∴，， ∴，； ∴a的值为2或， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形综合问题，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 中国高铁运营速度处于全球领先水平，设兰州到酒泉的高铁列车的平均时速为，其行驶路程（单位：）与行驶时间（单位：）之间的关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据路程等于速度乘以时间，即可解答． 【详解】解：由题意得，． 14. 四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．分两种情况，①时，②时，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：分两种情况： ①时， 在中，，符合题意； ②时， 在中，，不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，线段的长为3， 故答案为：3． 15. 如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边于点，若，的面积为，则线段的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据尺规作图描述得出为的角平分线，再根据角平分线的性质得到点到的距离，进而求出三角形的面积． 【详解】由作法得平分， 如图所示，过点D作于E，∵， 根据角平分线的性质，得 ， 的面积． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解决本题的关键是熟知角平分线的性质并灵活应用． 16. 如图，在中，，，点D是边上靠近点A的三等分点，点E是边上一动点，将沿折叠得．当与的一边平行时，的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、翻折变换的性质、平行线的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，由，，求得，再分两种情况讨论，一是，则，所以，由折叠得；二是，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 如图1，，则， ∴， ∵将沿折叠得， ∴； 如图2，，则， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值 ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则，先算括号内的乘方、乘法再合并同类项，然后算除法，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值，掌握完全平方公式、多项式乘多项式法则是解题的关键． 19. 某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． （1）他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； （2）求他得到100元购物券的概率是多少？ （3）若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查简单概率问题，涉及简单概率公式、事件分类等知识，读懂题意，熟练掌握一步概率问题的求法是解决问题的关键． （1）由题意，结合简单概率公式求解即可得到他能获得购物券的概率是，再由转盘上没有蓝色区域，即可得到甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； （2）如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，由简单概率公式求解即可得到答案； （3）如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，他得到50元购物券的概率是；若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【小问1详解】 解：由题意可知，转盘被等分成20个扇形，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，则转盘上红、绿或黄色区域共有11份， 他能获得购物券的概率是； 转盘上没有蓝色区域， 甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； 故答案为：，不可能事件； 【小问2详解】 解：如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，则他得到100元购物券的概率是； 【小问3详解】 解：如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，则他得到50元购物券的概率是； 若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线对称的图形为，其中是的对称点． （1）请作出对称轴直线及关于直线对称的； （2）在直线上画出点，使得的周长最小； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线于点，则点即为所求； （3）利用割补法计算三角形面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的面积为． 21. 在中，，． （1）作的垂直平分线，交于点，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）过点作，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）连接，求的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）过点作，交于点，即可； （3）根据平行线的性质可得，根据线段垂直平分线的性质得到，推出，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接， ，， ， ， 垂直平分， ， ， ． 22. 现有边长分别为，的正方形号和号，以及长为，宽为的长方形号卡片若干，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形．（卡片间不重叠、无缝隙） 尝试解决： （1）图1是由张号卡片、张号卡片、张号卡片拼接成的正方形，那么这个几何图形表示的等式是__________（用字母，表示）； （2）若想验证，则需要号卡片__________张、号卡片__________张、号卡片__________张． （3）拓展研究：如图2，已知大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用，表示四个直角三角形的两直角边边长，观察图案，以下关系式中正确的有__________．（填写序号） ①；②；③；④． （4）实践应用：若图2中的，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）、、 （3）①③ （4） 【解析】 【分析】（1）根据图形，有直接求和间接求两种方法，列出等式即可； （2）根据等式以及各个图形的面积即可判断； （3）根据完全平方公式判断即可； （4）根据题意可利用完全平方公式的变形求出，最后根据阴影部分的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：这个几何图形表示的等式是； 【小问2详解】 若想验证，则需要号卡片张、号卡片张、号卡片张； 【小问3详解】 ， ，故①正确； ，故②不正确； 根据勾股定理可得，，故③正确； ， ， ，故④不正确； 故答案为：①③． 【小问4详解】 ，， ， ， 阴影部分的面积． 23. 甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为与甲行驶的时间之间的关系如图所示． （1）观测图像可知点，点，点所代表的实际意义，请将、、分别填入对应的横线上． ①点______表示甲到达终点； ②点______表示甲乙两人相遇； ③点______表示乙到达终点． （2）、两地之间的路程为______千米； （3）求甲骑摩托车的速度； （4）甲出发______h后，甲、乙两人相距180千米． 【答案】（1）①；②；③ （2）240 （3）甲的速度为40km/h （4）或 【解析】 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象和图象中的数据可以解答本题； （2）由图象可得，两地之间路程为240千米； （3）根据出发后3小时到6小时，甲行驶了千米，即可得到甲的速度； （4）分相遇前和相遇后两种情况进行讨论，即可解答． 【小问1详解】 解：分析函数图象知出发2小时时，甲乙在途中相遇；出发3小时时乙到达地；6小时时甲到达地． 故答案为：①；②；③； 【小问2详解】 解：根据函数图象和图象中的数据可以解答本题．由图象可得，两地之间路程为240千米 故答案为：240； 【小问3详解】 解：甲的速度是：千米时，则乙的速度是：千米时； 【小问4详解】 解：①相遇之前：（小时） ②相遇之后：（小时）， 故答案为：或． 24. 在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=　　　　，∠DCE=　　　　，BC、DC、CE之间的数量关系为　　　　； （2）设∠BAC=α，∠DCE=β． ①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论． （3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）． 【答案】（1）70°，40°，BC+DC=CE；（2）①α=β；②当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB=60°． 【解析】 【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质和全等三角形的性质求出即可； （2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可； ②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，证明△ABD≌△ACE（SAS），则∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE，推出∠DAE+∠DCE=180°，即α+β=180°； （Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，同理可证明△ABD≌△ACE（SAS），则∠ABD=∠ACE，推出∠BAC=∠DCE，即α=β； （Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，由①得α=β； （3）当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β，由CE∥AB，得∠ABC=∠DCE，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°；当D在线段BC上时，α+β=180°，由CE∥AB，得∠ABC+∠DCE=180°，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°． 【详解】（1）如图1所示： ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE． 在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE=∠B（180°﹣40°）=70°，BD=CE， ∴BC+DC=CE． ∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC=∠DCE． ∵∠BAC=40°， ∴∠DCE=40°． 故答案为：70°，40°，BC+DC=CE； （2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β．理由如下： ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE． 在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B=∠ACE． ∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC=∠DCE． ∵∠BAC=α，∠DCE=β， ∴α=β； ②分三种情况： （Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β=180°，如图2所示．理由如下： 同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE． ∵∠ADC+∠ADB=180°， ∴∠ADC+∠AEC=180°， ∴∠DAE+∠DCE=180°． ∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β， ∴α+β=180°； （Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，如图3所示．理由如下： 同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE． ∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC， ∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC， ∴∠BAC=∠DCE． ∵∠BAC=α，∠DCE=β， ∴α=β； （Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α=β； 综上所述：当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°； （3）∠ACB=60°．理由如下： ∵当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β， 即∠BAC=∠DCE． ∵CE∥AB， ∴∠ABC=∠DCE， ∴∠ABC=∠BAC． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°； ∵当D在线段BC上时，α+β=180°， 即∠BAC+∠DCE=180°． ∵CE∥AB， ∴∠ABC+∠DCE=180°， ∴∠ABC=∠BAC． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°； 综上所述：当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，∠ACB的度数为60°． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质和多边形内角和等知识．本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $