精品解析：安徽省合肥市第四十五中学2025-2026学年第二学期七年级数学 期末试卷

七年级下学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 北斗芯片的技术日趋成熟，支持北斗三号系统的（即）工艺芯片已实现规模化应用，用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若x2-6xy+9y2=0，那么的值为（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 分式的值为零，则x的值为 B. 根据分式的基本性质，等式恒成立 C. 分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D. 分式是最简分式 7. 关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. 0 B. 5 C. 3 D. 3或5 8. 如图，中，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形纸片沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式组的最大整数解和最小整数解互为相反数，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：________（填“”、“”或“”号） 12. 因式分解：_______． 13. 已知，则可用含、的式子表示为________． 14. 如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当旋转一周后停止运动，记（为常数）： ①当时，的值为________； ②当时，的值为________． 三、（本大题共2题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解不等式组，并把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． 四、（本大题共2题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 画图并填空：如图，的方格纸，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点． （1）请画出； （2）连接，，则这两条线段的关系是________； （3）利用方格纸，在中画出边上的高． 五、（本大题共2题，每小题10分，满分20分） 19. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：______； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 20. 如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 六、（本题满分12分） 21. 【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形． （1）用两种方法表示该大正方形的面积，可推导公式得_____； （2）若，，求大正方形的边长； （3）【知识运用】两正方形如图2方式摆放．正方形边长记为，正方形边长记为，点，，在一条直线上，点为的中点，若，，求图中阴影部分的面积． 七、（本题满分12分） 22. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍． （1）求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1300元．问最多购进多少个甲种月饼？ 八、（本题满分14分） 23. 综合探究 （1）如图1，．求证：； （2）如图2，已知，平分，平分． ①若，且，求证：； ②若是直线上一动点（不与重合），平分交所在直线于点，请在备用图中画出图形，设，请直接写出________（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，可化为分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数． 2. 北斗芯片的技术日趋成熟，支持北斗三号系统的（即）工艺芯片已实现规模化应用，用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 已知，下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项：不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，故A不成立； B选项：不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故B不成立； C选项：不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，故C一定成立； D选项：取，，满足，但，故D不一定成立． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：∵ ∴ A错误 选项B：∵ ∴ B错误 选项C：∵ ∴ C错误 选项D：∵ ∴ D正确 5. 若x2-6xy+9y2=0，那么的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式求出x与y的关系，代入计算即可． 【详解】x2-6xy+9y2=0， （x-3y）2=0， ∴x=3y， 则=， 故选C． 【点睛】本题考查的是求分式的值，掌握完全平方公式、分式的计算是解题的关键． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 分式的值为零，则x的值为 B. 根据分式的基本性质，等式恒成立 C. 分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D. 分式是最简分式 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件、分式的基本性质、最简分式的定义以及分式值的变化规律，根据相关概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A．分式值为零需满足分子为零且分母不为零，对于， 解得，当时，分母，分式无意义， 只能为，故A错误； B．分式的基本性质要求分子分母同乘同一个不为零的整式， 当时，，等式不成立，选项未说明，故B错误； C．当都扩大3倍后，新分式为， 分式值变为原来的3倍，故C错误； D．分子与分母没有公因式，在实数范围内不可分解， 该分式是最简分式，故D正确； 故选：D． 7. 关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. 0 B. 5 C. 3 D. 3或5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，再根据分式方程有增根得出，求解即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于x的方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，中，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．根据垂线段最短，得出当时，最小,利用等积法求出最小值即可． 【详解】解：过点C作于点D，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小， 即最小值为． 故选：B． 9. 如图，矩形纸片沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是矩形与折叠问题，平行线的性质，解题的关键是平行线性质的应用．根据平行线的性质得出，再由折叠的性质得出，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得出， ， ， ， ， 解得． ． 故选：B． 10. 已知关于的不等式组的最大整数解和最小整数解互为相反数，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据最大整数解与最小整数解互为相反数确定关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②：两边同乘得， 化简得， 解得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的最大整数解和最小整数解互为相反数， ∴不等式组的最小整数解为，最大整数解为， 可得， 解得． 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：________（填“”、“”或“”号） 【答案】 【解析】 【分析】本题比较正数和无理数的大小，可利用平方比较法，两个正数中，平方更大的数本身更大，计算两个数的平方后比较平方的大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∵∴ 12. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 13. 已知，则可用含、的式子表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 两边同乘去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 提取公因式，得， ， ，系数化为，得． 14. 如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当旋转一周后停止运动，记（为常数）： ①当时，的值为________； ②当时，的值为________． 【答案】 ①. 3 ②. 2或 【解析】 【分析】①当时， 分在左侧和在右侧两种情况，分别计算出和的度数，代入计算k值； ②当，分在上方和在下方两种情况，利用平行线的性质求出的度数，即可求出与的度数，代入计算k值． 【详解】解：由题可知． ①当时， 在左侧时，如图所示 ． ． ， ，解得． 在右侧时，如图所示 ， ． ， ，解得． ②当时， 在上方时，如图 ． ，． ， ，解得． 在下方时，如图 ，， ． ， ． ， ． ， ，解得． 三、（本大题共2题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算，，，再进行合并即可． 【详解】解：原式＝ 16. 解不等式组，并把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而把解集表示在数轴上． 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 所以原不等式组的解集为． 将解集表示在数轴上略． 四、（本大题共2题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分完成化简，最后代入计算得到结果． 【详解】解： ． 当时，原式． 18. 画图并填空：如图，的方格纸，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点． （1）请画出； （2）连接，，则这两条线段的关系是________； （3）利用方格纸，在中画出边上的高． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，平行且相等 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣平移变换和平移的性质：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）利用点C和的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点，，顺次连接即可； （2）连接，，根据平移的性质得到结论； （3）利用网格特点和三角形的高的定义作图； 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 ，如图，与的关系是平行且相等； 故答案为：平行且相等 【小问3详解】 如图，为所作； 五、（本大题共2题，每小题10分，满分20分） 19. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：______； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2）第个等式：，证明见解析 【解析】 【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答； （2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明． 【小问1详解】 解：第5个等式：； 【小问2详解】 解：第个等式：， 证明：左边， 右边， 左边=右边， 等式成立． 20. 如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，根据平行线得到角度关系是解题的关键． （1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，再结合即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形． （1）用两种方法表示该大正方形的面积，可推导公式得_____； （2）若，，求大正方形的边长； （3）【知识运用】两正方形如图2方式摆放．正方形边长记为，正方形边长记为，点，，在一条直线上，点为的中点，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）8 （3）28 【解析】 【分析】（1）大正方形的边长为，表示正方形的面积为，根据分割法计算面积得正方形的面积为，根据同一个图形的面积相等，得到，解答即可； （2）根据，得到，解答即可； （3）根据点为的中点，，得到，由，得，结合图形，得到图中阴影部分的面积为，变形代入解答即可． 【小问1详解】 解：大正方形的边长为，表示正方形的面积为， 根据分割法计算面积得正方形的面积为， 根据同一个图形的面积相等，得到． 【小问2详解】 由，得到， 故，（舍去）， ∴大正方形的边长是8， 【小问3详解】 解：由点为的中点， 故， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， ． 七、（本题满分12分） 22. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍． （1）求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1300元．问最多购进多少个甲种月饼？ 【答案】（1）甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元 （2）120个 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元，根据“购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个”列出方程求解即可； （2） 设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个，根据“总金额不超过1300元”列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， 答：甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元． 【小问2详解】 设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个， 依题意得：， 解得：， 答：最多购进120个甲种月饼． 八、（本题满分14分） 23. 综合探究 （1）如图1，．求证：； （2）如图2，已知，平分，平分． ①若，且，求证：； ②若是直线上一动点（不与重合），平分交所在直线于点，请在备用图中画出图形，设，请直接写出________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）证明：如图，过点作，则 ， ∵； ∴， ∴， ∴； （2）①证明：如图，过点作，过点作，则 ， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ② 或 当点在点的左侧时，如图， ． 当点在点的右侧时，如图， 【解析】 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质和角的转化即可求证； （2）①过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，进而即可求证； ②分点在点的左侧和右侧两种情况，分别画出图形，利用平行线的性质解答即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：当点在点的左侧时，如图，过点作，则， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴； ∵ ∴ 当点在点的右侧时，如图，过点作，则， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴； ∵ ∴ 综上， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $