4.1《函数》暑假预习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以函数概念为核心，通过温度计测温、机器人赛跑等真实情境设计试题，梯度覆盖基础概念与综合应用，强化函数图像与实际问题转化，适配暑假预习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|5|函数定义、自变量取值范围、图像分析|第4题容器注水图像辨析，考查几何直观| |填空题|5|函数判定、解析式、动点问题|第10题结合三角形动点，融合空间观念| |解答题|6|实际问题建模、图像信息提取|第14题机器人测试情境，体现模型意识；第16题双动点综合，发展推理能力|

4.1《函数》暑假预习 一、单选题 1．下列各图中，能表示变量y是x的函数的是（     ） A．B．C． D． 2．函数中，自变量的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 3．小阳同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔记录一次温度计上显示的度数，记录结果如表： 时间（s） 5 10 15 20 25 30 35 温度计上的度数（） 49 31 22 16 14 12 12 下列说法中不正确的是（  ） A．当时，温度计上的度数是 B．这个表中时间是自变量，温度计上的度数是时间的函数 C．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变 D．当温度计的度数为时，经过的时间可能是 4．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（     ） A． B． C． D． 5．一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（     ） A．快车和慢车相遇时，快车距离B地 B．相遇后，快车再行驶到达B地 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 二、填空题 6．若定义某函数，则__________． 7．有下列关于x和y的式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的是_____（填序号）． 8．一盒装冰激凌售价为18元，内装6支小冰激凌，请写出冰激凌售价（元）与（支）之间的函数解析式________． 9．甲、乙两车早上从城车站出发匀速前往城车站（两车到站后就停止不动），在整个行程中，两车离开城的距离与时间的对应关系如图所示．从乙车出发到甲车到达城车站这一时间段，在哪些时间点两车相距？请写出所有的时间点：_____． 10．如图1，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间（单位：秒）之间的函数关系图象如图2所示（点为曲线部分的最低点）． 则：（1）______； （2）点的纵坐标的值为______． 三、解答题 11．下面是有关海拔与空气含氧量的一组数据： 海拔/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 空气含氧量/（） 299.30 265.50 234.80 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)在海拔的地方空气含氧量是多少？在海拔的地方空气含氧量是多少？ (3)你估计在海拔的地方空气含氧量是多少？ 12．数学学习小组准备利用一根弹簧制作一个简易弹簧秤（用于称物体的质量），需在刻度盘上标注刻度．经过试验与测量，得到弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）（）之间的对应关系如下表： 物体的质量x/ 0 1 2 3 4 弹簧的长度y/ 8 10 12 14 16 根据上表，解决下列问题． (1)在弹性限度内，直接写出y关于x的函数解析式； (2)当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为多少？ (3)学习小组观察弹簧挂物体后的长度为，此时弹簧所挂物体质量为多少？ 13．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示． (1)在这个变化中，自变量是 ； (2)当点运动的路程时，的面积为 ； (3)求的长和梯形的面积． 14．2026年4月19日，在北京亦庄举办了“人形机器人半程马拉松”赛事，冠军机器人“闪电”以50分26秒夺冠，超越了人类男子半马的世界纪录．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙沿同一路线出发，甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间的函数图象（如图）．根据图象回答下列问题： (1)甲行走的速度为______；乙行走的速度是______ ； (2)图中点表示的实际意义为______； (3)当甲出发多少秒时，甲、乙相距． 15．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2，根据图中的信息回答下列问题． (1)①由图2，当时，_______；摩天轮转一圈需要______； ②在3到6分钟时，随着时间的增加，摩天轮上点离地面高度的变化趋势是_________（填“增大”或“减小”）； (2)求出摩天轮的半径为_______； 16．如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为，点Q的速度为，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为，点Q的速度变为．图2是点P出发x秒后，的面积与的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后的面积与的函数关系图象． (1)动点P在线段_____上运动时，保持不变；动点Q到达点A时，x的值为_____； (2)求a，b的值； (3)若与的和为，请求出满足条件的x的取值范围； (4)当P、Q两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围 参考答案 一、单选题 1．D 解：A选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； B选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； C选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； D选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y唯一确定，符合题意． 2．B 解：根据题意得且， 解得且， ∴自变量的取值范围是且． 3．D 解：A、由表格数据可得，当时，温度计上的度数是，说法正确，本选项不符合题意； B、时间主动变化，对每一个确定的，都有唯一确定的温度计度数与之对应，因此时间是自变量，温度计上的度数是的函数，说法正确，本选项不符合题意； C、观察表格数据，温度计度数从逐渐下降到，之后保持不变，因此温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变，说法正确，本选项不符合题意； D、时温度为，时温度为，温度随时间增加持续下降，对应的时间在到之间，，此时温度低于，不可能为，说法错误，本选项符合题意． 4．A 解：向容器内匀速注水，图象的斜率越大，水面上升越快，说明容器的横截面积越小；图象的斜率越小，水面上升越慢，说明容器的横截面积越大， 由图象可知，段最陡峭，段次之，段最平缓， 则水面上升的速度关系为：， 可知容器对应部分的横截面积关系为：， 即容器的形状从下到上依次为：较细、最粗、最细，选项符合． 5．C 解：∵时，， ∴A，B两地相距， 由函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地， ∴快车比慢车早到达目的地，故C结论正确，符合题意； ，， ∴快车的速度为，慢车的速度为，故D结论错误，不符合题意； ∵时，， ∴两车出发后相遇， ∴相遇后，快车再行驶到达B地，故B结论错误，不符合题意； 快车和慢车相遇时，快车距离B地，故A错误．不符合题意. 二、填空题 6． 解：． 7．①② 解：根据函数的定义，逐一判断： ① ：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义； ② ：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义； ③ ：当取一个正数时，有两个值与之对应，不符合函数定义； ④ ：当取一个正数时，有两个值与之对应，不符合函数定义． 因此是的函数的是①②． 8． 解：一盒装冰激凌售价为18元，内装6支小冰激凌， 故冰激凌的单价为（元）， 故冰激凌售价（元）与（支）之间的函数解析式为． 9．或或 解：由图象可得，甲车从到行驶了，用时小时；乙车从到行驶了，用时小时； 故甲车的行驶速度为：；乙车的行驶速度为：， ∵从乙车出发到甲车到达城车站这一时间段，两车相距， ∴设乙车出发时间为， 当，即两车都在运动时，， 解得或， 当时，此时时间为；当时，此时时间为； 当时，乙车到达城，甲车还在行驶，， 解得， 此时时间为； 综上所述，所有的时间点为：或或． 10． 6 4 解：（1）∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，根据图象可知，当时，， ∴， ∵点为的中点， ∴． （2）由图象可知，当运动时间时，最小，即最小， ∴此时， ∴如图所示，此时点P运动的路程为， 由（1）可知，， ∴， 在中，，即． 三、解答题 11．（1）解：由表格可知，存在两个变化的量：海拔和空气含氧量. 海拔主动发生变化，空气含氧量随海拔的变化而变化， 因此反映了海拔和空气含氧量两个变量之间的关系，自变量是海拔，因变量是空气含氧量； （2）解：读取表格对应数据可得， 在海拔的地方，空气含氧量是， 在海拔的地方，空气含氧量是 （3）解：读取表格可得，海拔处空气含氧量为，海拔处空气含氧量为， 是和的中间值， 取两者平均值估算，得， 因此估计海拔处的空气含氧量约为． 12．（1）解：由表可知，弹簧原长为，所挂物体每增加弹簧伸长， y关于x的函数解析式． （2）解：当时，， 当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为； （3）解：当时，则， 解得， 此时弹簧所挂物体质量为． 13．（1）解：∵点运动的路程为，的面积为， ∴根据图象可知，的面积是关于点运动的路程的函数， ∴自变量为， 故答案为：； （2）解：根据图象可知，点运动的路程时，的面积为， 故答案为：； （3）解：根据图象可得：，此时为， ∴，即，解得：， 由图象可得：， 则． 14．（1）解：甲行走的速度为，乙行走的速度是 （2）解：由甲乙的速度可得，， 当时，则， 解得， 此时 ∴图中点表示的实际意义为：甲、乙两个机器人在距离起点米处相遇； （3）解：当时，甲机器人走了 ∴时，甲、乙不可能相距； 当时，则， 解得或（舍去）； 当时，， 解得或（舍去） 综上：当甲出发秒或秒时，甲、乙相距． 15．（1）由图象得，①由图2，当时，；摩天轮转一圈需要； 故答案为：54，6； ②在3到6分钟时，随着时间的增加，摩天轮上点离地面高度的变化趋势是减小； 故答案为：减小； （2）由图可知，点离地面的高度的最大值为70，最小值为5 ∴半径为； 16．（1）解：长方形中，，， ， 当动点P在线段上运动时，，保持不变； 由图3知，动点Q到达点A时，x的值为28； （2）解：由图2得，点P到达点B所用时间为：， ， 解得； 由图3得，点Q从点C到点A所用时间为： ， ， 解得； （3）解：由题意知，当时，点P到达点B，时，点P到达点C，时，点P到达点D， 当时，点Q到达点C，时，点Q到达点B，时，点Q到达点A， 结合图2，3，可得： 当时，，， 令，得：， 解得； 当时，，， 满足， 综上可得，x的取值范围为或； （4）解：设动点P，Q走过的路程为，， 当时， ，， ； 当时， ， ， 当时，， 解得（舍去）， 当时，， 解得， 综上可得，当或时，P、Q两个动点所走过的路程比为． 学科网（北京）股份有限公司 $