暑假预习选择题2026-2027学年八年级北师大版上学期数学

**基本信息** 聚焦勾股定理及应用，通过31道选择构建从概念辨析到空间应用的递进训练，培养几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直角三角形判定|10题|边/角关系判定（如三边比、内角和）|从勾股定理概念到判定方法，建立“数量关系→图形属性”逻辑| |勾股定理计算应用|11题|边长/面积/高计算（如阴影面积、等积法求高）|通过变式训练强化公式正向与逆向应用| |空间图形最短路径|10题|圆柱/长方体侧面展开路径（如蚂蚁爬行）|从平面几何延伸至空间展开，培养空间观念|

2025-2026学年 暑假 八年级上学期 数学预习 选择题 一．选择题（共31小题） 1．由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O＝60°，则tan∠ABC＝（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（　　） A．7 B．5 C．25 D．1 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　） A． B． C． D． 4．在Rt△ABC中，AB2＝10，AC2＝6．则BC2＝（　　） A．8 B．16或64 C．4 D．4或16 5．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（　　）cm2． A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm，则图中所有的正方形的面积之和为（　　） A．169cm2 B．196cm2 C．338cm2 D．507cm2 7．在△ABC中，∠C＝90°，a+b＝14cm，c＝10cm，则S△ABC＝（　　） A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2 8．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 9．若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（　　） A．10 B． C．10或 D．14 10．直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（　　） A．ab＝h2 B．a2+b2＝2h2 C．+＝ D．+＝ 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝10cm，a：b＝3：4，则△ABC的周长（　　） A．12cm B．20cm C．24cm D．48cm 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．4π C．8π D．8 13．四个三角形的边长分别是①2，3，4；②3，4，5；③5，6，7；④5，12，13．其中直角三角形是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 14．以下选项不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．AB：BC：AC＝3：4：5 D．AB＝13，BC＝5，AC＝12 15．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 16．下列条件中，能确定是直角三角形的有（　　） ①三边之比为3：4：5； ②三边长的平方之比为1：2：3； ③三内角之比为1：2：3； ④三内角之比为3：4：5； ⑤两个内角之和等于第三个角． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A﹣∠B＝∠C B．a＝5，b＝12，c＝13 C．（c+b） （c﹣b）＝a2 D．a＝，b＝，c＝ 18．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝b，∠C＝45° C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a＝9，b＝40，c＝41 19．下列说法中，错误的是（　　） A．在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形 B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5．则△ABC是直角三角形 C．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC是直角三角形 D．在△ABC中，若三边长a，b，c满足a：b：c＝1：2：，则△ABC是直角三角形 20．△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（　　） ①∠A＝∠B﹣∠C ②a2＝（b+c）（b﹣c） ③∠A：∠B：∠C＝3：4：5 ④a：b：c＝5：12：13 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）m． A． B． C．6 D． 22．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（　　） A． B． C． D． 23．如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（　　） A．4cm B．5cm C．cm D．cm 24．如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　） A．cm B．25cm C．cm D．16cm 25．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　） A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm 26．如图，若圆柱的底面周长是14cm，高是48cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（　　） A．49cm B．50cm C．54cm D．64cm 27．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝120°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需要（　　）元． A．75a B．50a C．a D．150a 28．如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　） A．20 B．25 C．30 D．32 29．如图，有一个水池，水面是边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　） A．7.5尺 B．8尺 C．8.5尺 D．9尺 30．如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（　　） A．7m B．8m C．9m D．10m 31．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（　　） A．4米 B．7米 C．8米 D．9米 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年 暑假 八年级上学期 数学预习 选择题 八上 预习 选择题 参考答案与试题解析 一．选择题（共31小题） 1．由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O＝60°，则tan∠ABC＝（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、C、B共线，再根据tan∠ABC＝，求出AE、EB即可解决问题． 【解答】解：如图，连接EA，EC， 设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°， ∴AE＝a，EB＝2a， ∴∠AEC＝90°， ∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°， ∴∠ECB＝180°， ∴E、C、B共线， 在Rt△AEB中，tan∠ABC＝． 故选：A． 【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（　　） A．7 B．5 C．25 D．1 【分析】直接根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：∵正方形A的面积为3，正方形B的面积为4， ∴正方形C的面积＝3+4＝7． 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离． 【解答】解：设点C到AB的距离为h， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2， ∵AC＝9，BC＝12， ∴AB＝＝15， ∵S△ABC＝AC•BC＝AB•h， ∴h＝＝． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边． 4．在Rt△ABC中，AB2＝10，AC2＝6．则BC2＝（　　） A．8 B．16或64 C．4 D．4或16 【分析】分当∠C＝90°或当∠A＝90°两种情形，分别利用勾股定理计算即可． 【解答】解：当∠C＝90°时，BC2＝AB2﹣AC2＝10﹣6＝4， 当∠A＝90°时，BC2＝AB2+AC2＝10+6＝16， 故答案为：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键． 5．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（　　）cm2． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，根据长方形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长＝＝5（cm）， ∴阴影部分的面积＝1×5＝5（cm2）， 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 6．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm，则图中所有的正方形的面积之和为（　　） A．169cm2 B．196cm2 C．338cm2 D．507cm2 【分析】根据勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形3，等量代换即可求所有正方形的面积之和． 【解答】解：如右图所示， 根据勾股定理可知， S正方形2+S正方形3＝S正方形1， S正方形C+S正方形D＝S正方形， S正方形A+S正方形E＝S正方形2， ∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝S正方形1， 则S正方形1+正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝3S正方形1＝3×132＝3×169＝507（cm2）． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理．有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 7．在△ABC中，∠C＝90°，a+b＝14cm，c＝10cm，则S△ABC＝（　　） A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2 【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出ab的值，即可确定出直角三角形的面积． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝14cm，c＝10cm， ∴由勾股定理得：a2+b2＝c2，即（a+b）2﹣2ab＝c2＝100， ∴196﹣2ab＝100，即ab＝48， 则S△ABC＝ab＝24（cm2）． 故选：A． 【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 8．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果． 【解答】解：第一个正方形的面积是64； 第二个正方形的面积是32； 第三个正方形的面积是16； … 第n个正方形的面积是， ∴正方形⑤的面积是4． 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的面积． 9．若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（　　） A．10 B． C．10或 D．14 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【解答】解：设第三边为x， ①当8是斜边，则62+x2＝82， ②当8是直角边，则62+82＝x2解得x＝10， 解得x＝2 ． ∴第三边长为10或2． 故选：C． 【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 10．直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（　　） A．ab＝h2 B．a2+b2＝2h2 C．+＝ D．+＝ 【分析】根据直角三角形的面积的计算方法，以及勾股定理就可解得． 【解答】解：根据直角三角形的面积可以导出：斜边c＝． 再结合勾股定理：a2+b2＝c2． 进行等量代换，得a2+b2＝． 两边同除以a2b2，得+＝． 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练运用勾股定理、直角三角形的面积公式以及等式的性质进行变形． 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝10cm，a：b＝3：4，则△ABC的周长（　　） A．12cm B．20cm C．24cm D．48cm 【分析】设a＝3xcm，b＝4xcm，由勾股定理得出方程，解方程求出x，得出a和b，即可得出结果． 【解答】解：设a＝3xcm，b＝4xcm， ∵∠C＝90°， ∴（3x）2+（4x）2＝102， 解得：x＝2， ∴a＝6cm，b＝8cm， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝6+8+10＝24（cm）． 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理的灵活运用，题型比较简单，注意认真计算． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．4π C．8π D．8 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2 ＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2） ＝4， 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 13．四个三角形的边长分别是①2，3，4；②3，4，5；③5，6，7；④5，12，13．其中直角三角形是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【分析】已知三角形三边的长判断这个三角形是否为直角三角形，根据勾股定理逆定理只需要判断最大的边的平方是否等于另外两个边的平方和即可． 【解答】解：①22+32≠42，不能构成直角三角形； ②32+42＝52，能构成直角三角形； ③52+62≠72，不能构成直角三角形； ④52+122＝132，能构成直角三角形． 综上所述：能构成直角三角形是②④． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形． 14．以下选项不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．AB：BC：AC＝3：4：5 D．AB＝13，BC＝5，AC＝12 【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可． 【解答】解：A、设∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝5x°， 2x+3x+5x＝180， 解得：x＝18， 则5x°＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； B、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°， 3x+4x+5x＝180， 解得：x＝15， 则5x°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵32+42＝52， ∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵52+122＝132， ∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 15．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【分析】首先根据题意由非负数的性质可得，进而得到a＝b，a2+b2＝c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形． 【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0， ∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0， 解得：a＝b，a2+b2＝c2， ∴△ABC的形状为等腰直角三角形； 故选：C． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 16．下列条件中，能确定是直角三角形的有（　　） ①三边之比为3：4：5； ②三边长的平方之比为1：2：3； ③三内角之比为1：2：3； ④三内角之比为3：4：5； ⑤两个内角之和等于第三个角． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：①∵三边之比为3：4：5， ∴设三边的长分别为3a，4a，5a， ∵（3a）2+（4a）2＝25a2，（5a）2＝25a2， ∴（3a）2+（4a）2＝（5a）2， ∴能确定是直角三角形， 故①正确； ②∵三边长的平方之比为1：2：3， 设三边长的平方分别为k，2k，3k， ∵k+2k＝3k， ∴能确定是直角三角形， 故②正确； ③∵三内角之比为1：2：3； ∴180×＝90°， ∴能确定是直角三角形， 故③正确； ④∵三内角之比为3：4：5， ∴180°×＝75°， ∴不能确定是直角三角形， 故④不正确； ⑤设第三个角为y， ∴两个内角之和等于第三个角， ∴2y＝180°， ∴y＝90°， ∴能确定是直角三角形， 故⑤正确； 所以，上列条件中，能确定是直角三角形的有4个， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 17．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A﹣∠B＝∠C B．a＝5，b＝12，c＝13 C．（c+b） （c﹣b）＝a2 D．a＝，b＝，c＝ 【分析】根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可． 【解答】解：∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 故A不符合题意； ∵a＝5，b＝12，c＝13， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， 故B不符合题意； ∵（c+b）（c﹣b）＝a2， 即c2﹣b2＝a2， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； ∵a＝，b＝，c＝， ∴c2+b2≠a2， ∴△ABC不是直角三角形， 故D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 18．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝b，∠C＝45° C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a＝9，b＝40，c＝41 【分析】根据所给的数据和三角形内角和定理，勾股定理的逆定理分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：A、由题意知，a2+b2＝c2＝25，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； B、由题意知，∠A＝∠B＝（180°﹣45°）÷2＝62.5°，则△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意； C、由题意知∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； D、由题意知，a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了直角三角形的判定方法．①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 19．下列说法中，错误的是（　　） A．在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形 B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5．则△ABC是直角三角形 C．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC是直角三角形 D．在△ABC中，若三边长a，b，c满足a：b：c＝1：2：，则△ABC是直角三角形 【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【解答】解：A、在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形，可得∠A＝180°÷（1++）＝90°，是直角三角形，不符合题意； B、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得∠C＝180°×＝75°，不是直角三角形，符合题意； C、在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，不符合题意； D、12+（）2＝22，是直角三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可． 20．△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（　　） ①∠A＝∠B﹣∠C ②a2＝（b+c）（b﹣c） ③∠A：∠B：∠C＝3：4：5 ④a：b：c＝5：12：13 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【解答】解：①∠A＝∠B﹣∠C，可得：∠B＝90°，是直角三角形； ②a2＝（b+c）（b﹣c），可得：a2+c2＝b2，是直角三角形； ③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得：∠C＝75°，不是直角三角形； ④a：b：c＝5：12：13，可得：a2+b2＝c2，是直角三角形； 故选：C． 【点评】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算． 21．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）m． A． B． C．6 D． 【分析】设绳长为xm，再根据直角三角的勾股定理列方程，解方程即可． 【解答】解：设绳长为x米， 在Rt△ADC中， AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米， DC＝6m，AC＝x米， ∴AB2+DC2＝AC2， 根据题意列方程：x2＝（x﹣3）2+62， 解得：x＝， ∴绳索AC的长是． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理，运用勾股定理解决问题． 22．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论． 【解答】解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形， ∵圆柱的底面直径为AB， ∴点B是展开图的一边的中点， ∵蚂蚁爬行的最近路线为线段， ∴C选项符合题意， 故选：C． 【点评】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，最短路径问题，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 23．如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（　　） A．4cm B．5cm C．cm D．cm 【分析】先把圆柱体沿AB剪开，则AD的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求出AC的长． 【解答】解：如图所示，圆柱体的侧面展开图为： ∵底面圆周长为8cm， ∴AD＝BC＝4cm， 又∵AB＝3cm， 在Rt△ABC中，AC＝＝＝5（cm）， ∴蚂蚁爬行的最短路程为5cm， 故选：B． 【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 24．如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　） A．cm B．25cm C．cm D．16cm 【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【解答】解：如图所示，将长方体展开，连接AB， 根据题意可知，BD＝5+10＝15cm，AD＝20cm， 由勾股定理得：AB＝＝＝25cm； 如图所示，将长方体展开，连接AB， 根据题意可知，AC＝10+20＝30cm，BC＝5cm， 由勾股定理得：AB＝＝＝5cm； 如图所示，将长方体展开，连接AB， 根据题意可知，BE＝20+5＝25（cm），AE＝10cm， 由勾股定理得：AB＝＝＝5（cm）； 则需要爬行的最短距离是25cm． 故选：B． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 25．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　） A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半， 作A关于EG的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm， 延长BG，过A'作A'D⊥BG于D， ∵AE＝A'E＝DG＝4cm， ∴BD＝16cm， Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝＝12cm， ∴则该圆柱底面周长为24cm． 故选：D． 【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 26．如图，若圆柱的底面周长是14cm，高是48cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（　　） A．49cm B．50cm C．54cm D．64cm 【分析】将圆柱侧面展开可得到长为48cm，宽为圆柱的底面周长14cm的矩形，根据勾股定理即可求出AB的长，即为所求． 【解答】解：如图，圆柱侧面展开图是矩形， 矩形的长为48cm，宽为圆柱的底面周长14cm， 根据勾股定理得： AB＝＝50（cm）， 根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为50cm， 故选：B． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将圆柱体展开为矩形，在矩形中求解是解题的关键． 27．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝120°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需要（　　）元． A．75a B．50a C．a D．150a 【分析】求三角形的面积，作出高线，根据三角函数求得高线的长，利用面积公式即可求解． 【解答】解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D， ∵∠ABC＝120°， ∴∠DBC＝60°， ∵CD⊥BD，BC＝15米， ∴CD＝BC＝米， ∵AB＝10米， ∴S△ABC＝AB×CD＝×10×＝（平方米）， ∵每平方米售价2a元， ∴购买这种草皮至少为×2a＝75a（元）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的面积的计算方法，同时在解题中注意解三角形的条件． 28．如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　） A．20 B．25 C．30 D．32 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图 ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴AB＝＝25； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD＝CD+BC＝20+5＝25， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴AB＝； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴AC＝CD+AD＝20+10＝30， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得： ∴AB＝； ∵25＜5， ∴蚂蚁爬行的最短距离是25， 故选：B． 【点评】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 29．如图，有一个水池，水面是边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　） A．7.5尺 B．8尺 C．8.5尺 D．9尺 【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度为x尺，根据勾股定理解答． 【解答】解：设芦苇的长度为x尺，则AB为（x﹣1）尺， 根据勾股定理得：（x﹣1）2+（）2＝x2， 解得：x＝8.5， 芦苇的长度＝8.5尺， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 30．如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（　　） A．7m B．8m C．9m D．10m 【分析】利用勾股定理进行解答．先求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离． 【解答】解：梯子顶端距离墙角地距离为＝24m， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15m， 15m﹣7m＝8m． 故选：B． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 31．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（　　） A．4米 B．7米 C．8米 D．9米 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【解答】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度＝＝4， ∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是3+4＝7米． 故选：B． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/6/20 20:23:34；用户：1143514030；邮箱：1143514030@qq.com；学号：3816414 学科网（北京）股份有限公司 $