暑假解答题2026-2027学年八年级上学期数学预习

**基本信息** 聚焦勾股定理应用，覆盖计算、证明及实际问题，层次递进培养几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|5题（1-5）|已知直角三角形两边求第三边、面积|从勾股定理直接应用到斜边上高的计算，构建“已知-推导-结论”逻辑链| |综合应用|6题（6-11）|折叠问题、四边形综合、中点问题|通过图形转化（如折叠构全等）实现已知条件向直角三角形模型转化| |实际情境|6题（12-17）|古代问题、最短路径、台风影响|从生活场景抽象几何模型，体现“实际问题-数学化-方程求解”的应用逻辑|

2025-2026学年 暑假 八年级上学期 数学预习 解答题 一．解答题（共17小题） 1．如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，对角线AC⊥BC． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6．AD平分∠CAB交BC 于点D． （1）求BC的长； （2）求CD的长． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝12，△ABD的面积为60，求CD长度． 4．求下列图形中阴影部分的面积． （1）如图1，AB＝8，AC＝6； （2）如图2，AB＝13，AD＝14，CD＝2． 5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15， （1）求AB的长； （2）求CD的长． 6．如图，在长方形一边CD上取一点E，沿AE把△ADE折叠，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长． 7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1． （1）求∠DAB的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 8．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积． 9．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积． 10．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 11．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长． 12．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 13．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？ 14．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 15．如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是多少？ 16．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是多少？ 17．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/6/20 20:36:11；用户：1143514030；邮箱：1143514030@qq.com；学号：3816414 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年 暑假 八年级上学期 数学预习 解答题 参考答案与试题解析 一．解答题（共17小题） 1．如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，对角线AC⊥BC． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据勾股定理得出AC即可； （2）利用勾股定理的逆定理得出△ADC是直角三角形，进而解答即可． 【解答】解：（1）∵AB＝13，BC＝5，AC⊥BC， ∴AC＝， （2）∵AC＝12，CD＝15，AD＝9， ∴CD2＝AC2+AD2， ∴△ADC是直角三角形， ∴四边形ABCD的面积＝． 【点评】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出AC解答． 2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6．AD平分∠CAB交BC 于点D． （1）求BC的长； （2）求CD的长． 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据AAS证明△AED和△ACD全等，进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°， 由勾股定理得：． （2）过点D作DE⊥AB于点E，如图． ∴∠DEA＝90°＝∠C（垂直定义）． ∵AD平分∠CAB（已知）， ∴∠1＝∠2（角平分线定义）． 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（AAS）． ∴AE＝AC＝6，DE＝DC（全等三角形的对应边相等）． ∴BE＝AB﹣AE＝4． 设CD＝x，则DE＝x，DB＝8﹣x． 在Rt△DEB中，∠DEB＝90°， 由勾股定理，得（8﹣x）2＝x2+42． 解得x＝3． 即CD＝3． 【点评】此题考查勾股定理，关键是根据AAS证明△AED和△ACD全等，进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝12，△ABD的面积为60，求CD长度． 【分析】利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长． 【解答】解：∵∠C＝90°，DA＝12，△ABD的面积为60， ∴S△DAB＝DA•BC＝60，即×12×BC＝60． ∴BC＝10． 在Rt△BCD中，CD2+BC2＝BD2，即CD2+102＝122， 解得CD＝2（负值舍去）． 【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 4．求下列图形中阴影部分的面积． （1）如图1，AB＝8，AC＝6； （2）如图2，AB＝13，AD＝14，CD＝2． 【分析】（1）首先利用勾股定理计算出BC的长，进而得到圆的半径BO长，再利用半圆的面积减去直角三角形面积即可； （2）首先计算出AC的长，再利用勾股定理计算出BC的长，然后利用矩形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵AB＝8，AC＝6， ∴BC＝＝＝10， ∴BO＝5， ∵S△ABC＝AB×AC＝×8×6＝24， S半圆＝π×52＝， ∴S阴影＝﹣24； （2）∵AD＝14，CD＝2， ∴AC＝12， ∵AB＝13， ∴CB＝＝＝5， ∴S阴影＝2×5＝10． 【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15， （1）求AB的长； （2）求CD的长． 【分析】（1）根据勾股定理AB＝，代入计算即可； （2）根据三角形的面积公式，代入计算即可求出CD的长． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴AB＝， ∵BC＝15，AC＝20， ∴AB＝＝＝25， ∴AB的长是25； （2）∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD， ∴AC•BC＝AB•CD， ∵AC＝20，BC＝15，AB＝25， ∴20×15＝25CD， ∴CD＝12， ∴CD的长是12． 【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，掌握直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用是本题的关键． 6．如图，在长方形一边CD上取一点E，沿AE把△ADE折叠，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长． 【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AEF，所以AF＝10cm，EF＝DE＝8﹣x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF＝BC﹣BF＝10﹣BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，即：（8﹣x）2＝x2+（10﹣BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长． 【解答】解：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF， ∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE， 设CE＝xcm，则DE＝EF＝CD﹣CE＝8﹣x， 在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2， 即82+BF2＝102， ∴BF＝6cm， ∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm）， 在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2， 即（8﹣x）2＝x2+42， ∴64﹣16x+x2＝x2+16， ∴x＝3（cm）， 即CE＝3cm． 【点评】本题主要考查运用勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，根据已知条件求指定边长的能力． 7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1． （1）求∠DAB的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，∠BAC＝∠ACB＝45°，然后利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，从而可得∠DAC＝90°，最后进行计算即可解答； （2）根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC＝＝＝2， ∠BAC＝∠ACB＝45°， ∵CD＝3，DA＝1， ∴AD2+AC2＝12+（2）2＝9，CD2＝32＝9， ∴AD2+AC2＝CD2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠DAC＝90°， ∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°， ∴∠DAB的度数为135°； （2）由题意得： 四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积 ＝AB•BC+AD•AC ＝×2×2+×1×2 ＝2+， ∴四边形ABCD的面积为2+． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 8．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积． 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，进而可得出结论． 【解答】解：如图，连接AC． ∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝＝5． ∵CD＝12，AD＝13，AC＝5， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24． 【点评】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，先根据题意判断出△ACD是直角三角形是解答此题的关键． 9．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积． 【分析】延长AD至E，使ED＝AD＝2，则AE＝4，由SAS证明△ABD≌△ECD，得出BE＝AC＝3，利用勾股定理逆定理证得△ABE是直角三角形，得出△ABC的面积＝△ABE的面积，即可得出结果． 【解答】解：延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，如图所示： 则AE＝4， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BED和△ACD中， ， ∴△BED≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AC＝3， ∵AE＝4，AB＝5，BE＝3， ∴AE2+BE2＝AB2， ∴△ABE是直角三角形， ∴△ABC的面积＝△ABE的面积＝×3×4＝6． 【点评】此题考查三角形全等的判定与性质、勾股定理逆定理的运用、三角形的面积计算方法；通过作辅助线证明三角形全等，进一步证出直角三角形是解决问题的关键． 10．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）是， 理由是：在△CHB中， ∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25， BC2＝2.25， ∴CH2+BH2＝BC2， ∴△CHB是直角三角形， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）设AC＝x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2， 由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2 ∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2， 解这个方程，得x＝1.25， 答：原来的路线AC的长为1.25千米． 【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． 11．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长． 【分析】根据题意设出AE的长，再由勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：设AE＝x，则BE＝20﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2， 在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2， 由题意可知：DE＝CE， 所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3 所以，E应建在距A点13.3km． 【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 12．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52＝（x+1）2，再解即可． 【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得： x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12， 则x+1＝13， 答：水深12尺，芦苇长13尺． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 13．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？ 【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积解答即可． 【解答】解：连接AC， 在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102， 在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242， 而102+242＝262， 即AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝•AC•BC﹣AD•CD， ＝×10×24﹣×8×6＝96． 所以需费用96×200＝19200（元）． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单． 14．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响； （2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点， 在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间． 【解答】解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C， 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km， 因为160＜200，所以A城要受台风影响； （2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米， ∴△ADG是等腰三角形， ∵AC⊥BF， ∴AC是DG的垂直平分线， ∴CD＝GC， 在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米， 由勾股定理得，CD＝＝＝120（千米）， 则DG＝2DC＝240千米， 遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理是解题关键． 15．如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是多少？ 【分析】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可． 【解答】解：①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB＝＝20（cm）； ②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离， 在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝（cm）； ③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离， 在Rt△ANB中，由勾股定理得：AB＝＝7（cm）． ∴蚂蚁爬行的最短路程是20cm． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线． 16．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是多少？ 【分析】根据题意，过A点和B点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到A点到B点的最短路线，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 当展开前面和右面时，最短路线长是：＝＝15（cm）； 当展开前面和上面时，最短路线长是：＝＝7（cm）； 当展开左面和上面时，最短路线长是：＝（cm）； ∵15＜7＜， ∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm． 【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 17．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离． 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B＝＝20（cm）． 答：蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离是20cm． 【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 学科网（北京）股份有限公司 $