精品解析：山东省烟台市蓬莱区2025-2026学年 七年级下学期数学期末试卷

蓬莱区2025—2026学年第二学期期末学业水平考试 初二数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “数学课本共196页，某同学随手翻开，恰好翻到第98页”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上都不正确 2. 下列命题中，属于真命题的是（　　） A. 同位角相等 B. 任意三角形的外角一定大于内角 C. 多边形的内角和等于180° D. 同角或等角的余角相等 3. 如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D. 不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 6. 如图，，则；如图，，则；如图，，则；如图，，则．以上结论正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（ ） A. 方程的解是 B. 方程的解是 C. 关于x，y的方程组的解是 D. 不等式的解集是 8. 如图，在中，，，点是的中点，是的垂直平分线，点是上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点、分别在、边上，连接、，将分别沿和折叠，点落在点处，连接，点恰好落在线段上，记为点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：_____． 12. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 13. 将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点，表示的刻度分别为，，则的周长为___________． 14. 如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动；点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为________． 15. 如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________． 三、解答题（本题共9个小题，满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 解下列方程组和不等式组： （1）； （2）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． 18. 若关于，的二元一次方程组的解满足不等式，求的取值范围． 19. 某商场文具卖场为了吸引顾客，推出了“购物转转盘”活动，该卖场设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色扇形区域（见扇形内的汉字注明），顾客就可以分别获得相应的奖品（如表）．小明和妈妈购买了125元的商品，获得一次转动转盘的机会，并参与了活动，请解答下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 （1）小明获得中性笔的概率是多少？ （2）小明获得奖品的概率是多少？ （3）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 20. 阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的（1）-（4）所示，虚线部分表示折痕）． 将正方形纸片按以上方式折叠，标记字母如下图． （1）求证：； （2）联系拓展：若，求的度数． 21. 五一假期结束后，为了吸引游客，甘肃定西的贵清山国家森林公园推出了甲、乙两种购票方式． 甲：按照次数收费，门票每人每次25元． 乙：购买一张贵清山国家森林公园年卡后，门票每人每次按五折优惠． 设某人一年内去贵清山国家森林公园的次数为，所需费用为元，且与的函数关系如图所示． 根据图中信息，解答下列问题： （1）分别求出选择甲、乙两种购票方式时，关于的函数解析式． （2）购买一张贵清山国家森林公园年卡的费用为_____元． （3）小明准备利用本学期的周末去贵清山国家森林公园完成“生物多样性”的课题实践活动，他选择哪种购票方式更划算？请说明理由． 22. 如图，、分别是等边三角形的两边、上的点，且，，相交于点，过点作，垂足为，若，求的长度． 23. 综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，，，连接、． 【问题发现】 （1）小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由； 解： （理由：①） 在和中 （理由：②） （2）如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求； 【拓展探究】 （3）在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 24. 某花农培育甲种樱花3株，乙种樱花2株，共需要成本1700元；培育甲种樱花1株，乙种樱花2株，共需成本1500元． （1）求甲、乙两种樱花每株成本分别为多少元？ （2）据市场调研，1株甲种樱花售价为160元，1株乙种樱花售价为840元．该花农决定在成本不超过29000元的前提下培育甲、乙两种樱花，若培育乙种樱花的株数是甲种樱花的3倍还多10株，那么要使总利润不少于5000元，花农有哪几种具体的培育方案？ （3）在（2）的条件下，求出选择何种方案成本最少？最少成本为多少元？ 25. 综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情景：如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，且，交于点． 实践探究： （1）当点在上，点在上方时，如图①，求证：； （2）当点在的延长线上，点在上方时，请在图②补全图形，并直接写出，，之间的数量关系为； （3）“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，当点在边上，点在下方时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬莱区2025—2026学年第二学期期末学业水平考试 初二数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “数学课本共196页，某同学随手翻开，恰好翻到第98页”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：∵本题中数学课本共196页，第98页存在，随手翻开书页时，可能恰好翻到第98页，也可能翻不到， ∴该事件是随机事件． 2. 下列命题中，属于真命题的是（　　） A. 同位角相等 B. 任意三角形的外角一定大于内角 C. 多边形的内角和等于180° D. 同角或等角的余角相等 【答案】D 【解析】 【详解】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，可知A不正确； 根据三角形的外角的概念，可知当内角为钝角时，外角即为锐角，故B不正确； 根据多边形的内角和为（n-2）·180°，故C不正确； 根据同角或等角的余角相等的性质，可知D正确. 故选D. 3. 如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先列出已有的条件，再根据补充的条件，利用全等三角形的判定定理，，，即可判断选项． 【详解】解：已有的条件为，公共角， 补充作为条件，可以根据证明， 故A不符合题意； 补充作为条件，可以根据证明， 故B不符合题意； 补充作为条件，属于，不可以证明， 故C符合题意； 补充作为条件，可以根据证明， 故D不符合题意． 4. 已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的基本性质，解题思路是根据不等号方向的变化判断系数的正负，进而求解的取值范围． 【详解】解：由题意可知原不等式为 ， ∵ 不等式 的解集为 ，不等号方向发生改变， ∴ 根据不等式的性质，不等式两边除以负数时不等号方向改变，可得 ， 解得 ． 5. 如图是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D. 不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计图可知，这个实验的概率大约为，逐项分析事件发生的概率，即可得出结果． 【详解】解：根据统计图可知，这个实验的概率大约为， A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上的概率为，故不符合题意； D、不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球的概率为，故不符合题意． 6. 如图，，则；如图，，则；如图，，则；如图，，则．以上结论正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】过拐点作平行线，利用平行线的同旁内角互补，分别列出、与内错角的关系，然后计算进行判断；过拐点作平行线，利用平行线的内错角相等，分别得到、，然后将两式相加进行判断；过拐点作平行线，用同旁内角互补表示，用内错角相等表示，然后代入进行判断；过点作，利用平行线的内错角相等传递角度进行判断． 【详解】解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ，即， 故①错误； 如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ， 故正确； 如图，过点作，则， ， ，即， ， ， ， ， 即， 故正确； 如图，过点作，则， ， ，， ， ， ， 故正确． 综上，正确结论的个数为个． 7. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（ ） A. 方程的解是 B. 方程的解是 C. 关于x，y的方程组的解是 D. 不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线在直线下方的部分的自变量取值解答D． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 8. 如图，在中，，，点是的中点，是的垂直平分线，点是上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，根据垂直平分线的性质得出，可得，根据可得的最小值为，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴当点，，三点在同一条直线上时，有最小值，最小值为的长， ∵，，点是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 9. 如图，在中，，点、分别在、边上，连接、，将分别沿和折叠，点落在点处，连接，点恰好落在线段上，记为点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用折叠性质确定出等相关角的关系，通过角和差的互补关系，推导出，进而表示出以及，在中，利用两锐角互余列出关于的方程，由此求解即可． 【详解】设， 由折叠可知：，， ，， ，， ， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ． 10. 在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据证明即可； ②证明，得出，即可证明； ③根据，得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形； ④根据，得出，，说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴不可能是等边三角形，故③错误； ④∵， ∴，， ∴点M、B在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故④正确； 综上分析可知，正确的有3个． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：_____． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据求不等式组解集的规律：同大取大，可确定的取值范围，在取值范围内任取一个值即可. 【详解】解：不等式组的解集为，根据同大取大的原则，可得， 取，满足题意． 12. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】已变形 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证三角形是否为直角三角形，从而判断木门的角是否保持垂直，以此确定是否变形． 【详解】解：∵木门正常时，应为直角，根据勾股定理，应有： ∵，， ∴ 又测得， ∴ ∵，即， ∴不再是直角，木门已变形． 13. 将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点，表示的刻度分别为，，则的周长为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意得出，证明，则是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴是等边三角形 ∵点，表示的刻度分别为，， ∴ ∴的周长为． 14. 如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动；点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为________． 【答案】2 或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据的条件，再根据对应边的不同，分两种情况讨论：①，②，分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设运动的时间为t， ， 要使，根据对应边不同，分两种情况讨论： ①当时， ， ； ②当时， ， ； 综上所述， a的值为：2或． 15. 如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查正方形网格中的角度计算，解题核心是通过构造辅助线，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，求出相关角的度数，再计算差值． 【详解】解：如图所示，连接各格点， ，，， ， ，， ，， ， 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由直线求出与坐标轴的交点、，从而得，为等腰直角三角形，．由可推出．过点作交的延长线于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，．通过同角的余角相等证明，进而证明，得到，，从而确定点的坐标为．再利用待定系数法求出直线$EB$的解析式，求其与轴的交点即可得点的坐标． 【详解】解：对于直线， 令，得， ， ； 令，得， ， ． ， ． ，， 为等腰直角三角形， ． ， ． 过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 则． 在中，， ， 为等腰直角三角形， ． ， 又， ． 在和中： ， ， ，． ，， ， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为． 令，得， ， 点的坐标为． 三、解答题（本题共9个小题，满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 解下列方程组和不等式组： （1）； （2）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：整理得， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得 因此方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， 数轴略． 18. 若关于，的二元一次方程组的解满足不等式，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法求出，再结合题意得出关于的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：， 由得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式， ∴， 解得． 19. 某商场文具卖场为了吸引顾客，推出了“购物转转盘”活动，该卖场设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色扇形区域（见扇形内的汉字注明），顾客就可以分别获得相应的奖品（如表）．小明和妈妈购买了125元的商品，获得一次转动转盘的机会，并参与了活动，请解答下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 （1）小明获得中性笔的概率是多少？ （2）小明获得奖品的概率是多少？ （3）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）用黄色区域数除以20即可得到答案； （2）用黄色，绿色，红色的区域数之和除以20即可得到答案； （3）用20乘以获奖概率得到染色的区域总数，再减去原本染色的区域总数即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ∴小明获得中性笔的概率是； 【小问2详解】 解：， ∴小明获得奖品的概率是； 【小问3详解】 解：∵获得奖品的概率提高为， ∴涂色的区域一共有个， ∵， ∴需要再将5个空白扇形涂上颜色． 20. 阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的（1）-（4）所示，虚线部分表示折痕）． 将正方形纸片按以上方式折叠，标记字母如下图． （1）求证：； （2）联系拓展：若，求的度数． 【答案】（1）证明：由题意知，第一次折叠后，得到的折痕与直线之间的位置关系是； 第二次折叠，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是； ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠可得，、，再根据平行线的判定求解即可； （2）过点作，再根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作， 由（1）可知，， ， ， ∵正方形纸片， ∴， ， ． 21. 五一假期结束后，为了吸引游客，甘肃定西的贵清山国家森林公园推出了甲、乙两种购票方式． 甲：按照次数收费，门票每人每次25元． 乙：购买一张贵清山国家森林公园年卡后，门票每人每次按五折优惠． 设某人一年内去贵清山国家森林公园的次数为，所需费用为元，且与的函数关系如图所示． 根据图中信息，解答下列问题： （1）分别求出选择甲、乙两种购票方式时，关于的函数解析式． （2）购买一张贵清山国家森林公园年卡的费用为_____元． （3）小明准备利用本学期的周末去贵清山国家森林公园完成“生物多样性”的课题实践活动，他选择哪种购票方式更划算？请说明理由． 【答案】（1）， （2）100 （3） 解：联立，解得：， ∴直线与直线的交点为． ∴由图象可知当时，直线在直线的图象下方，即， ∴此时选择甲种购票方式更划算； 当时，直线与直线交于点，即此时选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算； 当时，直线在直线的图象上方，即， ∴此时选择乙种购票方式更划算． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，两直线的交点问题．利用待定系数法正确求出一次函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式，即可直接得出答案； （3）求出两直线交点，结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：设选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为； 设选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为， 当时，， ∴购买一张动物园年卡的费用为100元． 故答案为：100； 【小问3详解】 略 22. 如图，、分别是等边三角形的两边、上的点，且，，相交于点，过点作，垂足为，若，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】证明即可得到，得出，又，即，得到，根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，可求出的长． 【详解】解：∵是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ，即， ， ∴． 23. 综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，，，连接、． 【问题发现】 （1）小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由； 解： （理由：①） 在和中 （理由：②） （2）如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求； 【拓展探究】 （3）在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）等式的性质；全等三角形的对应边相等； （2）； （3）解：．理由如下： 如图，过点A作于点M，作于点N． 同（1）可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据角的和差关系结合全等三角形的性质，作答即可； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，进而证明，可知． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：同（1）可知， ． 且， 在与中， ， ； 【小问3详解】 略． 24. 某花农培育甲种樱花3株，乙种樱花2株，共需要成本1700元；培育甲种樱花1株，乙种樱花2株，共需成本1500元． （1）求甲、乙两种樱花每株成本分别为多少元？ （2）据市场调研，1株甲种樱花售价为160元，1株乙种樱花售价为840元．该花农决定在成本不超过29000元的前提下培育甲、乙两种樱花，若培育乙种樱花的株数是甲种樱花的3倍还多10株，那么要使总利润不少于5000元，花农有哪几种具体的培育方案？ （3）在（2）的条件下，求出选择何种方案成本最少？最少成本为多少元？ 【答案】（1）甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元 （2）共有三种培育方案，分别是：培育甲种樱花株，乙种樱花株；培育甲种樱花株，乙种樱花株；培育甲种樱花株，乙种樱花株 （3）选择培育甲种樱花株，乙种樱花株时成本最少，最少成本为元 【解析】 【分析】（1）设甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株，根据题意列出关于的一元一次不等式组，求解即可； （3）设成本为，得出关于的一次函数，结合一次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：设甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元， 由题意得， 解得， ∴甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元； 【小问2详解】 解：设培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴的取值为，，， ∴共有三种培育方案，分别是：培育甲种樱花株，乙种樱花株；培育甲种樱花株，乙种樱花株；培育甲种樱花株，乙种樱花株； 【小问3详解】 解：在（2）的前提下，设成本为， 则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵为整数， ∴当时，最小为， 故选择培育甲种樱花株，乙种樱花株时成本最少，最少成本为元． 25. 综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情景：如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，且，交于点． 实践探究： （1）当点在上，点在上方时，如图①，求证：； （2）当点在的延长线上，点在上方时，请在图②补全图形，并直接写出，，之间的数量关系为； （3）“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，当点在边上，点在下方时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请证明． 【答案】（1）证明：如图，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2），； （3）解：如图，过点作交的延长线于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）过点作交于，先判断出，再判断出，进而判断出，得出，，再判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出，，即可得出结论； （3）同（1）的方法得出，，即可得出结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $