湖北黄冈市蕲春县第一高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2026年春季高一年级期末考试 数 学 本试卷共4页，19题：全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效、 4.考试结束后，请将答题卡上交 1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1+i 1.复数x=的虚部为面 1好8 A.i B.-1 C.1 D.2 2.下列关于平面向量的描述正确的是 一原写 A.若向量a,b都是单位向量，则a=b B.若向量a,b都是单位向量，则|a|=b=1 C任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D平面内起点相同的所有单位向量的终点共线 3.某班级10名学生的数学测验成绩（单位：分）为：72,78,80,90,75,82,95,85， 88,92,则这组数据的70%分位数是 A.85 B.86.5 C.88 D.89 4.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 OA'B'C,且O'A'∥BC',OA'=2B'C=4,A'B'=2,则该 平面图形的面积为 A.12 B.12√2 A C.6 D:6√2 5.已知α，B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是 A.若m∥a,m∥B,则a∥F B.若m∥a,n∥a,则m∥n C.若a⊥B,mCa,nCB,则m⊥n D若m∥a,m⊥B,则a⊥g 高一数学试卷第1页（共4页） sina 6.已知 =3+1 sina-cosa 82,则tan(a+空)= A.√3 B.-√3 C.2+√3 D.2-√3 7图1是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具， 在农业上得到广泛应用.在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每40s转1 圈，筒车的轴心O距水面的高度为√m.设筒车上的某个盛水桶P(看作点)到水面 的距离为d(单位：m)(若在水面下则d为负数)，若以盛水桶P刚浮出水面时开始 计时，d与时间（单位：s)之间的关系为d=Asin(au十g)+K(A>0,w>0,一受< <),则= 水面 图1 图2 A君 B.g Ca D 3 8.如图，在正三棱台ABCA1B1C1中，若AB=2A1B1=2AA1 A =4,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 r 3 A.2 8 共，层川 2 c号 哈 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知数据x1,x2,x3,x4(且x1<x2<x3<x4)的平均数为x,方差为s,中位数为 xo,极差为tx;数据x1一1，x2一1，x3十1，x4十1的平均数为y,方差为s形，中位数为 yo,极差为ty.则 A.x=y B.s2>s3 C.xo<yo D.t:<t, 10.如图是广场上供大家休息的石凳，这些石凳是由正方体截去八 个一样的四面体得到的，若截去的八个四面体体积和是合，则 正确的有 A.该多面体有14个面 B.该多面体有24条棱 C.该正方体的棱长为2 D.该多面体表面积为3+√3 高一数学试卷第2页（共4页） 11.点O在△ABC所在的平面内，则下面四个结论正确的是 A.若1OA1=1OB1=OC1,则点0是△ABC的外心 B若OA（ AC AE 一)=0·( BC BA IBC BAI -)=0,则点O为△ABC IA 的垂心 AB C:若动点P满足OP=OA+λ(A二 AC IABI IACI ),入∈(0，+o),则P的轨迹一定通过 △ABC的内心 D.若E,F,G分别为AB,BC,AC的中点，且AC=BG=2,OA·OC=0,则OE· O庐的最大值为5 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.函数f(x)=cos2x+4 sinx cosa-sinx的最大值为 13.如果向量a,b满足|a|=3,1b|=4,(a+b)·(a+3b)=81,则a与b的夹角是 14.如图所示，三个半径为r的小球装入半径为6cm的半球中，三个 小球两两相切并与半球内切，小球与半球底面相切，则小球半径 r= cm 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知复数z1=3十4i,z2=1一ai(a∈R,i是虚数单位). (1)若是纯虚数，求xl: (2)若之2是实系数一元二次方程x2一px十3=0的根，求实数a和p的值. 16.(15分)某软件接人了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，一用户提 出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”.该软件就将他 最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计后，将数据分成了 [55,65),[65,75),[75,85),[85,95),[95,105](单位：s)这5组，并整理得到频率 分布直方图，如图所示： 山…。 ↑频率/组距 产甲0s09 0.025 0.02 0.01 5565758595105红灯等待时间s (1)求图中a的值； (2)估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； (3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等 待时间低于85s的次数. 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知a=2,AB·AC= ac+BA·BC (1)求证：B=2A; (2)若d为△ABC的AB边上的高，求b2+4d的最大值及相应的A的值. 18.(17分)已知函数f(x)=2sin(2x-骨)+1. 关师T (1用五点作图法作出函数了x)在[管，1上的简图； (2)求f(x)>2的解集； (3)关于z的方程fe)-在区间0，上有两个解且1<求血：一). 19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PAB⊥平面 ABCD,且PA=4,AB=8,PB=4√5，AC⊥BC. (1)求证：平面PBC⊥平面PAC; (2)当AC=4时，求直线PD与平面PAB所成角的正弦值； (3)当2≤AC≤4时，求二面角A-PB-C的正弦值的取值 范围. 高一数学试卷第4页（共4页） 2026年春季高一年级期末供题 数学试题答案与评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.C2.B3.D4B5.D6.B7.A8.D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.AD 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 125138514.321-9低89-鸟 2 2 四、解答题：共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13【解折10)三=-m3-4到_B-4a）-4+3a方 …3分 z1(3+4i)(3-4i) 25 :三是纯虚数，：3-4☑-0，且-(4+30 ≠0 25 25 …5分 (2)依题意，(1-cm)}'-p(1-i)+3=0,(4--p+a(p-2)i=0, 即(4-a2-p)=0且a(p-2)=0, …10分 a=0Ja=t√5 P=4或p=2 即 …13分 注：掉一组解扣2分 16.【详解】(1)因为各组频率之和为1，组距为10， 所以10×(0.01+0.025+a+0.02+0.01)=1, 解得a=0.035 …4分 (2)因为10×(0.01+0.025)=0.35<0.5,10×(0.01+0.025+0.035)=0.7>0.5 所以中位数位于第三组[75,85)中， 设中位数为x,则0.1+0.25+0.035(x-75)=0.5, 试卷第1页，共4页 解得x=75+0.15 0.035 ≈79.3，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3.…10分 (3)由题红灯等待时间低于85秒的频率为0.1+0.25+0.35=0.7， 故估计在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为10×0.7=7次. …15分 17.解析：(1)由AB.AC=ac+BA.BC得cbcos4=ac+cacosB, 两边同时约去c,并由正弦定理得：sinBcosA=sinA+sinAcosB, 所以sinBcos4-sinAcosB=sinA,，即sin(B-A)=sin4.…4分 在△ABC中，因为A,C为内角，所以B-A=A,或B-A=π-A· 若B-A=元-A,则B=π（舍去）. 故B-A=A,即B=2A.证毕 ……7分 (2)由(1)知B=2A,由正弦定理得，b-asinB_sim2 =2ac0sA=4c0sA,…8分 sinA sinA 又d=asinB=2sin2A, …9分 +4d=16cos2A+8sin 24=8+8(cos 24+sin 24)=8+82sin(24+ 4 …11分 由三角形内角4B,C均为正数，即A>0,B=2A>0.C=π-3A>0,解得A∈0， 03 所以，2A+严∈（匹，11元） …13分 4412 故当2A+元=元即A=元时b2+4d取最大值8+8√. …15分 42 18.解析：(1) 3π 2元 8=(1.31.3) 0 3 2 2 5π 2π 11π 公 6 12 3 12 6 y 1 3 1 -1 1 …3分 图象如右： …5分（注：点位置标错扣2分) （2)由f0=2m0x+12滑m2x9号 试卷第2页，共4页 可得名+2版<2x-昏+2ae刀，解得<< 36 元+kkeZ) 12 故f(x)>2的解集为 工+k π+knXkeZ) …9分 12 (3)当xe(0,)时，-亚<2x-π<5r 3 33 因为司，青2号智导骨智 白于)=f)=3所以n2骨=sm2,-子 2行+26行元所以出+ 5π …13分 6 因为5，所以2x青e@至且cm2y3-日 …15分 2 es)mg2mga4-孕》ome骨9 …17分 19.【解析】(1)由PA=4,AB8,PB=4V5,可知PA2+AB2=PB2, 故PA⊥AB: 又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PAC平面PAB, 故PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,故PA⊥BC, 又AC⊥BC,AC∩PA=A,AC,PAC平面PAC, 故BC⊥平面PAC,BCC平面PBC, 故平面PBC⊥平面AC: …4分 (2)由(1)知PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD, 故PA⊥AB,而AC⊥BC,底面ABCD是平行四边形， AC-4,AB=8,故AD=BC=V⑧2-4-4V3, S△ABP=号2AAB=号×4×8=16： 设点D到平面PAB的距离为d, VD-PAB-VP-ABD-VP-ABCD: 得16t×号4:AC.BC-x444W= 3 解得k2W3, …7分 试卷第3页，共4页 设直线PD与平面PAB所成角为6，则sin6=品而PD-VPA+AD=8, sin 0= w53 …10分 84 (3)作AMLPC于M,作MN⊥PB于N,连接AN, 由于平面PBC⊥平面PAC,平面PBC∩平面PAC-PC, AMC平面PAC,故AM⊥平面PBC,PBC平面PBC, 故AMLPB,而MN⊥PB,N∩AEM,MN,AMC平面AMN, 故PB⊥平面AMN,则∠AMM即为二面角A-PB-C的平面 D 角： …12分 设AC=x,2AC≤4，则2≤4， PC-VPA2+AC2-V16+x2, 由于SAPAG-PAXAC--PCAM,可得AM=4r …13分 V16+x2 又SAPAS广PAXAB=-PB×AN,则AN=PA×AB-4×885 PB 45 5,…14分 故在Rt△AMN中， 设∠ANM-a,sinc= AM 4x 55 1 8=2X …15分 AN V16+x2 16 由于24,1≤≤4，故华sm心s0 即三面角4PBC的正弦值的取值范围为织40] ………17分 试卷第4页，共4页