专题02 二次函数与几何图形综合（高效培优专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合五大核心题型，通过典例系统覆盖最值、存在性及几何转化问题，强化函数建模与几何推理的融合应用，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段、距离与周长的最值问题|5道|结合轴对称、二次函数顶点性质求最值|以二次函数解析式求解为基础，通过几何图形性质（如对称）转化最值问题，体现数形结合| |面积的最值问题|5道|运用割补法、铅垂高法构建面积函数|基于函数表达式表示线段长度，转化为面积二次函数求最值，强化模型意识| |特殊三角形的存在性问题|5道|涉及等腰、直角三角形的判定与坐标计算|结合三角形性质列方程，利用二次函数图像求交点，培养推理能力| |平行四边形的存在性问题|5道|通过坐标平移、中点公式探究顶点坐标|依据平行四边形对边平行且相等性质，建立坐标关系求解，发展空间观念| |角度关系与几何转化问题|5道|利用全等、相似转化角度条件|将角度关系转化为线段关系，结合函数表达式求解，提升数学思维的逻辑性|

专题02 二次函数与几何图形综合 题型一 线段、距离与周长的最值问题 题型二 面积的最值问题 题型三 特殊三角形的存在性问题 题型四 平行四边形的存在性问题 题型五 角度关系与几何转化问题 题型一：线段、距离与周长的最值问题 1．已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 2．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于两点． (1) ___________， __________； (2)求点B的坐标； (3)点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线平行于y轴交直线于点M，求的最大值 (4)直接写出当时，x的取值范围是___________． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）． (1)求此抛物线的解析式和对称轴． (2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点在轴下方的抛物线上运动，直线，分别交抛物线的对称轴于点，，当点，均在点的下方时，试判断是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点，与轴交于点．点为轴下方抛物线上的动点，设点的横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)过点作轴于点，过点作轴的平行线与轴交于点，与相交于点，过点作轴的垂线，交轴于点，设矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②当随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 题型二：面积的最值问题 1．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 2．如图，抛物线经过点、、． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大． 3．如图，已知抛物线经过，B两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 4．如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 5．如图，正方形的顶点在边长为2的正方形的边上，若设，正方形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)正方形有没有最小面积？若有，试确定E点的位置；若没有，试说明理由． 题型三：特殊三角形的存在性问题 1．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由． 4．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴的正半轴交于点． (1)求a与b的值； (2)点是线段上一动点，过点作轴的平行线，与交于点，与抛物线交于点，连接，探究是否存在点使得为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由． 题型四：平行四边形的存在性问题 1．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求、、点的坐标； (3)为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点. (1)求抛物线的解析式； (2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该抛物线的对称轴上有一点，是否在该抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形．如果存在，求出所有符合条件的点的坐标．如果不存在，请说明理由． 5．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式． (2)过点作直线平行于轴，交抛物线于点，求四边形的面积． (3)是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型五：角度关系与几何转化问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 2．如图，已知二次函数的图象经过点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接、，求四边形的面积 (3)若点是抛物线图象上的一点，且满足，请直接写出满足要求的所有点的坐标． 3．如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标； (3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标． 4．如图，抛物线与x轴交于点，点B与点C是该抛物线上的两点，且点B在第一象限，点C在第四象限，连接，． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)记点B与点C的横坐标分别为m与n，试证明：当时，平分． 5．抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与几何图形综合 题型一 线段、距离与周长的最值问题 题型二 面积的最值问题 题型三 特殊三角形的存在性问题 题型四 平行四边形的存在性问题 题型五 角度关系与几何转化问题 题型一：线段、距离与周长的最值问题 1．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解析式是解题关键． （1）将点与点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，由此求出的值，从而进一步得出解析式即可； （2）由得出开口方向向下，对称轴为直线，再根据越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小，以及结合进行分析，即可作答． （3）根据垂线段最短可知当时，最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵， ∴把代入，得， ∴观察图象，当时，y的取值范围为． （3）解：当是边上的高时，的值最小， 由（2）得对称轴为直线，有最大值，且 ∵点是的顶点， 即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的最小值是． 2．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将分别代入两个函数解析式进行计算即可； （2）联立两个函数解析式，解一元二次方程即可； （3）设利用，得到一个二次函数，求最值即可； （4）根据图象，找到抛物线在直线上方时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入：得： ，解得：； 将代入：得： ，解得：； 故答案为：； （2）解：由（1）得：抛物线的解析式为：， 一次函数的解析式为：； 则：， ∴， 解得：； 当时，， ∴； （3）解：设， ∵P在直线上方， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴当时，取最大值为：； （4）解：由图象可知： 当时，抛物线在直线的上方， ∴时：； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，根据二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 3．(1)y＝x2﹣x﹣2；对称轴为x＝ (2)存在，P的坐标为（，﹣） 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）连接PB，由抛物线的对称性得：PA＝PB，可得 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， ∵该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得： 解得：    ∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2． ∵抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2＝﹣ ∴抛物线的对称轴为x＝ ． （2）解：存在，理由如下： 连接PB 由抛物线的对称性得：PA＝PB ∴△PAC的周长PA+PC+AC＝PB+PC+AC， ∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小， 即当B、P、C三点共线时，△PAC的周长最小， 设直线BC的解析式为y＝kx+m， 将点B（4，0），点C（0，﹣2）代入， 得，解得：， 即直线BC的解析式为y＝x﹣2． 令x＝，则有y＝﹣2＝﹣， 即点P的坐标为（，﹣）． ∴在此抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小，此时点P的坐标为（，﹣）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4．(1) (2)是定值，且 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，设，求出的坐标，进而求出的长，计算即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点， ， 解得，                                   抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 抛物线的解析式为 对称轴为直线， 在中，当时，， ， 如图，设点， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式， 在中，当时，， ， ． 同理可得直线的解析式为，                      在中，当时，， ， ， ． ∴是定值，且． 5．(1) (2) (3)①； ②当或时，随的增大而增大． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）利用二次函数解析式求出的坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求解，即可解题； （3）①根据题题意作草图，利用函数解析式推出点的纵坐标为，点的纵坐标为，再分情况：当时，当时，结合矩形周长公式求解，即可解题； ②结合二次函数的增减性进行分析，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线经过点，与轴交于点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 当时，有， 解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； （3）解：①根据题意作图如下： 点的横坐标为，直线的解析式为； 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 当时， 有，， 矩形的周长为． 当时， 有，， 矩形的周长为． 综上，； ②当时，解析式对称轴为直线，且， 当随的增大而增大时，的取值范围为； 当时，解析式对称轴为直线，且， 当随的增大而增大时，的取值范围为； 综上，当或时，随的增大而增大． 题型二：面积的最值问题 1．(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解： 、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 2．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答即可； （2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式，可得点，，从而得到，再由结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把点、、代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线的解析式为， 把、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是抛物线上的动点， ∴点，， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大． 3．(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了求函数的解析式，二次函数的图象性质，二次函数与面积的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，将的坐标代入，进行计算，得，再把化为顶点式，即可作答． （2）先求出，再运用数形结合思想进行作答即可； （3）由（2）得，则，设，则，则． 结合二次函数的图象性质得，再代入二次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：将的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 则， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得，顶点坐标为； ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 观察函数图象，得当时，； （3）解：由（2）得， ∵ ∴． 设，则， ∴． ∵抛物线的顶点坐标为，开口向上， 即当时，函数最小值为， ∴，（舍去） ∴， 解得，， ∴此时点P的坐标为或． 4．(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 5．(1) (2)有最小面积，E点为的中点 【分析】（1）先证明．得到，根据勾股定理得到，结合正方形的面积展开求解即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的顶点在边长为2的正方形的边上， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 在中， ∴（）； （2）解：， ∵， ∴抛物线有最小值，且当时，取得最小值，最小值为2． 故时，正方形的面积最小，最小为2．此时E为 中点； 题型三：特殊三角形的存在性问题 1．(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 2．(1) (2)存在，，，， 【分析】（1）根据待定系数法和题目所给的条件即可求出抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况考虑：①当时，②当时，③当时，分别求出P的坐标即可． 【详解】（1）解： 直线与轴交于点A， ， 抛物线过点和， ， 解方程组得， ． （2）存在 ，且过原点， ， 点在上， 设点 ，，， 以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形 ①当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ②当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ③当时，是直角三角形，则， ，， ， ， 即， 或，此时或； 综上所述，，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，直角三角形，勾股定理，分类求解是解决问题的关键． 3．(1) (2) (3)或 【分析】（1）运用待定系数法将代入，即可求解； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）在中，令时，得：， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 过点作轴交直线于点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴当以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上 联立得 解得：或 ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识是解题关键． 4．(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 5．(1) (2)存在，点E的坐标为或 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线的函数表达式，根据题意，需要分两种情况：①当点F为直角顶点时；②当点C为直角顶点时，分别画出图形，根据直角三角形的性质可求得结论． 【详解】（1）解：将点、代入， 得， 解得； （2）解：存在， 理由如下： 由（1）得，二次函数解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 又， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴或， ①当时，如图1所示， ∵轴， ∴轴， ∴点F的纵坐标与点C的纵坐标相同， ∴点F的纵坐标是3， ∵点F在抛物线上， ∴当时，解得（舍去）或， ∴点D的坐标是， 设直线的解析式为， ∵点B与C的坐标分别是与， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点E的坐标是； ②当时，如图2所示， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 过C作于H， ∴H为的中点， ∴， 设点E的坐标是， ∴点F的坐标是，点H的坐标是， ∴， 解得 (舍去)或， ∴点E的坐标是， 综上，点E的坐标为或， 题型四：平行四边形的存在性问题 1．(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 2．(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及二次函数与特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将，，代入即可求解； （2）分别令，令，即可求解； （3）分类讨论为对角线时：为对角线时：为对角线时：三种情况即可求解； 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴； （2）解：由知，令，得； 令，即， 解得． ∴ （3）解：如图：设点 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 综上所述： 3．(1) (2)存在，理由见解析，满足条件的点F的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质， （1）将，代入，得，进行计算即可得； （2）在中，当时，，则点C的坐标为，设抛物线与y轴的交点为K，由题意，得，根据得轴，①当点F在x轴下方时，易知；②当点F在x轴上方时，令，得，进行计算即可得； 掌握二次函数的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）存在，理由如下： 解：在中，当时，， 点C的坐标为， 如图，设抛物线与y轴的交点为K， 由题意，得， ∵， 轴. ①当点F在x轴下方时，易知； ②当点F在x轴上方时，令，得， ， 解得， ，. 综上所述，满足条件的点F的坐标为或或． 4．(1) (2)存在，或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，再设，然后根据平行四边形得到，则，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点 ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在， 对于抛物线，可得对称轴为直线， 设 ∵点为顶点的四边形是以为边的平行四边形 ∴， ∴ ∴ 解得或 ∴或． 5．(1) (2)12 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可求出二次函数的对称轴，根据直线平行于轴得到点B和点C关于对称轴对称，据此求出点C的坐标，再根据列式求解即可； （3）设出点P的坐标，分三种情况：为对角线，为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵直线平行于轴，交抛物线于点， ∴点B和点C关于对称轴对称， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 题型五：角度关系与几何转化问题 1．(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； （2）解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， ． 2．(1) (2) (3)， 【分析】（1）运用待定系数法将，，代入，即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，根据四边形的面积为，即可求解； （3）先求出点C关于对称轴的对称点；先运用待定系数法求出直线的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与平行的直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为，其图象经过点，，， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵， ∴， 过点D作轴交直线于点E，如图1， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴ ∴四边形的面积为 （3）解：抛物线上存在点P，使，理由如下： 如图2， ①取点关于对称轴的对称点，连接，， ∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴符合题意； ②当直线时，则有， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式中一次项系数为1． 设与平行的直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线解析式得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，互相平行的两直线的关系等，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键． 3．(1)y＝﹣x2＋2x＋3 (2)M（，） (3)Q（﹣1，0）或（5，﹣12） 【分析】（1）根据二次函数的交点式，即可求解； （2）先求出C（0，3），可得直线BC的解析式为y＝-x＋3，然后设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），再利用二次函数的性质，即可求解； （3）过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，先求出点P坐标（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，从而得到△PBC为直角三角形，进而得到tan∠PBC＝，然后设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0）， ∴函数的表达式为：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3； （2）解：当 时， ， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为 ， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得： ， ∴直线BC的解析式为y＝-x＋3， 设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3）， ∴MN＝-m2＋2m＋3-（- m＋3）＝- m2＋3m＝ -（m -）2＋， 当m ＝时，MN的长度最大， 此时M（，）； （3）如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC， ∵ ， ∴点P坐标（1，4）， ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴PC＝，PB＝，BC＝， ∴ ， ∴△PBC为直角三角形， ∴tan∠PBC＝， 设点Q（x，﹣x2＋2x＋3）， ∵， 则， 解得：x＝0或5或﹣1（舍去0）， 故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，熟练掌握二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数是解题的关键． 4．(1) (2) 证明：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ∴该抛物线的表达式为， 设点，， 则，，，， 在和中，，， ． ， ， ，即， 平分． 【分析】（1）首先利用待定系数法求出抛物线解析式，然后配方成顶点式求解即可； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设点，，然后表示出，，，，然后证明出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ，即， ， ， ， ∴该抛物线的顶点坐标为． （2）略 5．(1)， (2)点P坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点B作交延长线于点E，可证，则可求点E坐标，然后求直线的解析式，联立方程组，解方程组即可求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 对称轴为直线， ∴对称轴与x 轴的交点D坐标为． （2）解：过点B作交延长线于点E， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E坐标为， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 联立方程组， 解得， ∴点P坐标为． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与几何图形综合 题型一 线段、距离与周长的最值问题 题型二 面积的最值问题 题型三 特殊三角形的存在性问题 题型四 平行四边形的存在性问题 题型五 角度关系与几何转化问题 题型一：线段、距离与周长的最值问题 1．已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解析式是解题关键． （1）将点与点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，由此求出的值，从而进一步得出解析式即可； （2）由得出开口方向向下，对称轴为直线，再根据越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小，以及结合进行分析，即可作答． （3）根据垂线段最短可知当时，最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵， ∴把代入，得， ∴观察图象，当时，y的取值范围为． （3）解：当是边上的高时，的值最小， 由（2）得对称轴为直线，有最大值，且 ∵点是的顶点， 即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的最小值是． 2．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于两点． (1) ___________， __________； (2)求点B的坐标； (3)点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线平行于y轴交直线于点M，求的最大值 (4)直接写出当时，x的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将分别代入两个函数解析式进行计算即可； （2）联立两个函数解析式，解一元二次方程即可； （3）设利用，得到一个二次函数，求最值即可； （4）根据图象，找到抛物线在直线上方时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入：得： ，解得：； 将代入：得： ，解得：； 故答案为：； （2）解：由（1）得：抛物线的解析式为：， 一次函数的解析式为：； 则：， ∴， 解得：； 当时，， ∴； （3）解：设， ∵P在直线上方， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴当时，取最大值为：； （4）解：由图象可知： 当时，抛物线在直线的上方， ∴时：； 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）． (1)求此抛物线的解析式和对称轴． (2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；对称轴为x＝ (2)存在，P的坐标为（，﹣） 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）连接PB，由抛物线的对称性得：PA＝PB，可得 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， ∵该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得： 解得：    ∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2． ∵抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2＝﹣ ∴抛物线的对称轴为x＝ ． （2）解：存在，理由如下： 连接PB 由抛物线的对称性得：PA＝PB ∴△PAC的周长PA+PC+AC＝PB+PC+AC， ∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小， 即当B、P、C三点共线时，△PAC的周长最小， 设直线BC的解析式为y＝kx+m， 将点B（4，0），点C（0，﹣2）代入， 得，解得：， 即直线BC的解析式为y＝x﹣2． 令x＝，则有y＝﹣2＝﹣， 即点P的坐标为（，﹣）． ∴在此抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小，此时点P的坐标为（，﹣）． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点在轴下方的抛物线上运动，直线，分别交抛物线的对称轴于点，，当点，均在点的下方时，试判断是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，设，求出的坐标，进而求出的长，计算即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点， ， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 抛物线的解析式为 对称轴为直线， 在中，当时，， ， 如图，设点， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式， 在中，当时，， ， ． 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ， ， ． ∴是定值，且． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点，与轴交于点．点为轴下方抛物线上的动点，设点的横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)过点作轴于点，过点作轴的平行线与轴交于点，与相交于点，过点作轴的垂线，交轴于点，设矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②当随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①； ②当或时，随的增大而增大． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）利用二次函数解析式求出的坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求解，即可解题； （3）①根据题题意作草图，利用函数解析式推出点的纵坐标为，点的纵坐标为，再分情况：当时，当时，结合矩形周长公式求解，即可解题； ②结合二次函数的增减性进行分析，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线经过点，与轴交于点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 当时，有， 解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； （3）解：①根据题意作图如下： 点的横坐标为，直线的解析式为； 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 当时， 有，， 矩形的周长为． 当时， 有，， 矩形的周长为． 综上，； ②当时，解析式对称轴为直线，且， 当随的增大而增大时，的取值范围为； 当时，解析式对称轴为直线，且， 当随的增大而增大时，的取值范围为； 综上，当或时，随的增大而增大． 题型二：面积的最值问题 1．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解： 、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 2．如图，抛物线经过点、、． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答即可； （2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式，可得点，，从而得到，再由结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把点、、代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线的解析式为， 把、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是抛物线上的动点， ∴点，， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大． 3．如图，已知抛物线经过，B两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了求函数的解析式，二次函数的图象性质，二次函数与面积的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，将的坐标代入，进行计算，得，再把化为顶点式，即可作答． （2）先求出，再运用数形结合思想进行作答即可； （3）由（2）得，则，设，则，则． 结合二次函数的图象性质得，再代入二次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：将的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 则， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得，顶点坐标为； ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 观察函数图象，得当时，； （3）解：由（2）得， ∵ ∴． 设，则， ∴． ∵抛物线的顶点坐标为，开口向上， 即当时，函数最小值为， ∴，（舍去） ∴， 解得，， ∴此时点P的坐标为或． 4．如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 5．如图，正方形的顶点在边长为2的正方形的边上，若设，正方形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)正方形有没有最小面积？若有，试确定E点的位置；若没有，试说明理由． 【答案】(1) (2)有最小面积，E点为的中点 【分析】（1）先证明．得到，根据勾股定理得到，结合正方形的面积展开求解即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的顶点在边长为2的正方形的边上， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 在中， ∴（）； （2）解：， ∵， ∴抛物线有最小值，且当时，取得最小值，最小值为2． 故时，正方形的面积最小，最小为2．此时E为 中点； 题型三：特殊三角形的存在性问题 1．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，，， 【分析】（1）根据待定系数法和题目所给的条件即可求出抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况考虑：①当时，②当时，③当时，分别求出P的坐标即可． 【详解】（1）解： 直线与轴交于点A， ， 抛物线过点和， ， 解方程组得， ． （2）存在 ，且过原点， ， 点在上， 设点 ，，， 以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形 ①当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ②当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ③当时，是直角三角形，则， ，， ， ， 即， 或，此时或； 综上所述，，，，． 3．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）运用待定系数法将代入，即可求解； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）在中，令时，得：， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 过点作轴交直线于点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴当以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上 联立得 解得：或 ∴或． 4．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 5．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴的正半轴交于点． (1)求a与b的值； (2)点是线段上一动点，过点作轴的平行线，与交于点，与抛物线交于点，连接，探究是否存在点使得为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点E的坐标为或 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线的函数表达式，根据题意，需要分两种情况：①当点F为直角顶点时；②当点C为直角顶点时，分别画出图形，根据直角三角形的性质可求得结论． 【详解】（1）解：将点、代入， 得， 解得； （2）解：存在， 理由如下： 由（1）得，二次函数解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 又， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴或， ①当时，如图1所示， ∵轴， ∴轴， ∴点F的纵坐标与点C的纵坐标相同， ∴点F的纵坐标是3， ∵点F在抛物线上， ∴当时，解得（舍去）或， ∴点D的坐标是， 设直线的解析式为， ∵点B与C的坐标分别是与， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点E的坐标是； ②当时，如图2所示， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 过C作于H， ∴H为的中点， ∴， 设点E的坐标是， ∴点F的坐标是，点H的坐标是， ∴， 解得 (舍去)或， ∴点E的坐标是， 综上，点E的坐标为或， 题型四：平行四边形的存在性问题 1．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 2．抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求、、点的坐标； (3)为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及二次函数与特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将，，代入即可求解； （2）分别令，令，即可求解； （3）分类讨论为对角线时：为对角线时：为对角线时：三种情况即可求解； 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴； （2）解：由知，令，得； 令，即， 解得． ∴ （3）解：如图：设点 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 综上所述： 3．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点. (1)求抛物线的解析式； (2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，理由见解析，满足条件的点F的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质， （1）将，代入，得，进行计算即可得； （2）在中，当时，，则点C的坐标为，设抛物线与y轴的交点为K，由题意，得，根据得轴，①当点F在x轴下方时，易知；②当点F在x轴上方时，令，得，进行计算即可得； 掌握二次函数的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）存在，理由如下： 解：在中，当时，， 点C的坐标为， 如图，设抛物线与y轴的交点为K， 由题意，得， ∵， 轴. ①当点F在x轴下方时，易知； ②当点F在x轴上方时，令，得， ， 解得， ，. 综上所述，满足条件的点F的坐标为或或． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该抛物线的对称轴上有一点，是否在该抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形．如果存在，求出所有符合条件的点的坐标．如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，再设，然后根据平行四边形得到，则，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点 ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在， 对于抛物线，可得对称轴为直线， 设 ∵点为顶点的四边形是以为边的平行四边形 ∴， ∴ ∴ 解得或 ∴或． 5．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式． (2)过点作直线平行于轴，交抛物线于点，求四边形的面积． (3)是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可求出二次函数的对称轴，根据直线平行于轴得到点B和点C关于对称轴对称，据此求出点C的坐标，再根据列式求解即可； （3）设出点P的坐标，分三种情况：为对角线，为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵直线平行于轴，交抛物线于点， ∴点B和点C关于对称轴对称， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 题型五：角度关系与几何转化问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； （2）解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， ． 2．如图，已知二次函数的图象经过点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接、，求四边形的面积 (3)若点是抛物线图象上的一点，且满足，请直接写出满足要求的所有点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）运用待定系数法将，，代入，即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，根据四边形的面积为，即可求解； （3）先求出点C关于对称轴的对称点；先运用待定系数法求出直线的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与平行的直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为，其图象经过点，，， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵， ∴， 过点D作轴交直线于点E，如图1， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴ ∴四边形的面积为 （3）解：抛物线上存在点P，使，理由如下： 如图2， ①取点关于对称轴的对称点，连接，， ∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴符合题意； ②当直线时，则有， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式中一次项系数为1． 设与平行的直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线解析式得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，，． 3．如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标； (3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标． 【答案】(1)y＝﹣x2＋2x＋3 (2)M（，） (3)Q（﹣1，0）或（5，﹣12） 【分析】（1）根据二次函数的交点式，即可求解； （2）先求出C（0，3），可得直线BC的解析式为y＝-x＋3，然后设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），再利用二次函数的性质，即可求解； （3）过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，先求出点P坐标（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，从而得到△PBC为直角三角形，进而得到tan∠PBC＝，然后设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0）， ∴函数的表达式为：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3； （2）解：当 时， ， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为 ， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得： ， ∴直线BC的解析式为y＝-x＋3， 设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3）， ∴MN＝-m2＋2m＋3-（- m＋3）＝- m2＋3m＝ -（m -）2＋， 当m ＝时，MN的长度最大， 此时M（，）； （3）如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC， ∵ ， ∴点P坐标（1，4）， ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴PC＝，PB＝，BC＝， ∴ ， ∴△PBC为直角三角形， ∴tan∠PBC＝， 设点Q（x，﹣x2＋2x＋3）， ∵， 则， 解得：x＝0或5或﹣1（舍去0）， 故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）． 4．如图，抛物线与x轴交于点，点B与点C是该抛物线上的两点，且点B在第一象限，点C在第四象限，连接，． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)记点B与点C的横坐标分别为m与n，试证明：当时，平分． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ∴该抛物线的表达式为， 设点，， 则，，，， 在和中，，， ． ， ， ，即， 平分． 【分析】（1）首先利用待定系数法求出抛物线解析式，然后配方成顶点式求解即可； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设点，，然后表示出，，，，然后证明出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ，即， ， ， ， ∴该抛物线的顶点坐标为． （2）略 5．抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点B作交延长线于点E，可证，则可求点E坐标，然后求直线的解析式，联立方程组，解方程组即可求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 对称轴为直线， ∴对称轴与x 轴的交点D坐标为． （2）解：过点B作交延长线于点E， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E坐标为， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 联立方程组， 解得， ∴点P坐标为． 11 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $