27.1 反比例函数的概念（讲义，3大知识8大题型）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦反比例函数概念这一核心知识点，系统梳理定义、解析式特征（分式型、负指数幂型、乘积型）、待定系数法确定解析式，以及反比例关系与函数的比较，构建从概念理解到应用的递进学习支架。 资料通过“即学即练”“典例精析”结合实际问题（如压强、电流等），培养学生用数学眼光抽象数量关系，题型分类训练提升数学思维的推理与运算能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过变式巩固查漏补缺。

第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 知识点一 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数解析式的特征：1）； 2） 分母中含有自变量x，且自变量的指数为-1. 反比例函数常见解析式的形式：1）分式型：（为常数，） 2）负指数幂型：为常数， 3）乘积型：xy=k（为常数，） 即学即练 1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁大连·二模）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（）与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强P（）是时，木板面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）若反比例函数的图象经过点，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 知识点二 反比例函数解析式的确定 1. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需给出一组x，y的对应值或图像上一个点的坐标，代入解析式求出k的值，即可确定反比例函数的解析式. 2. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： （1）设：设所求的反比例函数的解析式为； （2）列：把x，y的一对对应值或图像上任意一点的坐标代入所设解析式中，得到关于k的方程； （3）解：解方程求出k的值； （4）代：把k的值代回所设反比例函数的解析式即可. 【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数. 即学即练 1．（2026·贵州黔南·一模）若反比例函数的图象经过点，则k的值为（   ） A． B． C．3 D．12 2．（2026·重庆·模拟预测）下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 3．（2026·云南楚雄·二模）若一个反比例函数的图象经过，两点，则m的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 知识点三 反比例关系与反比例函数的比较 1）如果ab=k(k为常数，k≠0)，那么a与b这两个量成反比例关系，这里a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式.例如： ①若y+2与r-5成反比例关系，则 ②若y与x2成反比例关系，则 2）成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系，如表示y与与x2成反比例关系，但y不是关于x的反比例函数. 题型01 反比例函数的识别 判断一个函数是否是反比例函数，首先看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或或xy=k (k为常数，k≠0). 典｜例｜精｜析 【例1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 题型02 根据反比例函数的定义求参数 忽视这个条件，而得到错误结论. 典｜例｜精｜析 【例2】（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 题型03 求反比例函数值 典｜例｜精｜析 【例3】（2026·贵州铜仁·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，若反比例函数的图象经过这两点，则的值为______． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的表达式为，当时，的值为______． 2．（2026·山西晋中·二模）某农场有一个储水量为的圆柱形储水罐，现计划对农场进行改造，需减少储水罐的占地面积．在储水量不变的前提下，储水罐的高度（m）与底面积（）成反比例函数关系，则当储水罐底面积由变为时，其高增加了________m． 3．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 题型04 由反比例函数值求自变量 典｜例｜精｜析 【例4】（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，电路中在电压保持不变的条件下，电流I（）与电阻R（）成反比例函数关系，当电流（）时，电阻R为______． 2．（2024·北京平谷·一模）如图，反比例函数经过点、点，则______． 题型05 用反比例函数描述数量关系 对于一个实际问题，应根据已知条件或数量关系列出函数表达式，判断其中的两个变量是否为反比例函数关系，实际问题中的函数自变量的取值范围，除了要使函数表达式有意义，还要使得实际问题有意义. 典｜例｜精｜析 【例5】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·湖南长沙·三模）已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 3．（2026·甘肃兰州·一模）如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（   ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 题型06 已知反比例关系求解析式 典｜例｜精｜析 【例6】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知与成反比例关系，且当时，． (1)求y与x的函数表达式． (2)试判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如表，如果与成正比例关系，那么表格中“？”处应填__，如果与成反比例关系，那么表格中“？”处应填__． 15 ？ 3 5 2．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知函数 ，与x成反比例关系， 与 成反比例关系．当 时， ，当 时， 求y关于x的函数表达式． 题型07 判断反比例函数图象上的点 典｜例｜精｜析 【例7】（2026·重庆·二模）下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·山西临汾·期中）反比例函数的图象经过点，，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．3 2．（江苏省宿迁市泗洪育才北辰学校2024-2025学年上学期10月份八年级数学期中模拟测试卷）在平面直角坐标系中，有五个点，其中有四个点在同一反比例函数图象上，则不在这个反比例函数图象上的点是（   ） A．点E B．点D C．点C D．点B 3．（2026·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则________（填“”“”或“”）． 题型08 待定系数法求反比例函数解析式 典｜例｜精｜析 【例8】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，在正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中每个小正方形的边长为1．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点在格点上，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 变｜式｜巩｜固 1．（2026·陕西西安·二模）若反比例函数和的图象分别经过点和，则______． 2．（2026·陕西宝鸡·二模）已知点、在反比例函数（为常数，且）的图象上，且，则的值为______． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）一个反比例函数的图象经过，，三点，则该反比例函数的表达式为__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 知识点一 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数解析式的特征：1）； 2） 分母中含有自变量x，且自变量的指数为-1. 反比例函数常见解析式的形式：1）分式型：（为常数，） 2）负指数幂型：为常数， 3）乘积型：xy=k（为常数，） 即学即练 1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义判断各选项函数类型，即可得到答案． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合定义； 选项B：是二次函数，不符合定义； 选项C：符合 （）的形式，是反比例函数，符合要求； 选项D：是正比例函数，不符合定义． 2．（2026·辽宁大连·二模）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（）与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强P（）是时，木板面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图象上的已知点求出反比例函数解析式，再将给定的压强值代入解析式求出对应的木板面积 【详解】解：设压强与木板面积的函数解析式为． ∵函数图象过点， ∴， ∴， ∴函数解析式为． 当时， ， ∴． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）若反比例函数的图象经过点，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】求出时的函数值即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴. 知识点二 反比例函数解析式的确定 1. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需给出一组x，y的对应值或图像上一个点的坐标，代入解析式求出k的值，即可确定反比例函数的解析式. 2. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： （1）设：设所求的反比例函数的解析式为； （2）列：把x，y的一对对应值或图像上任意一点的坐标代入所设解析式中，得到关于k的方程； （3）解：解方程求出k的值； （4）代：把k的值代回所设反比例函数的解析式即可. 【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数. 即学即练 1．（2026·贵州黔南·一模）若反比例函数的图象经过点，则k的值为（   ） A． B． C．3 D．12 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴ 2．（2026·重庆·模拟预测）下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的定义，先根据已知对应值求出参数，得到反比例函数解析式，再代入对应值求解即可。 【详解】解：∵ 反比例函数为，取已知对应值代入解析式 得 解得 ∴ 反比例函数解析式为 将代入解析式得 ， 解得 3．（2026·云南楚雄·二模）若一个反比例函数的图象经过，两点，则m的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】先利用点A的坐标求出，再代入点B的坐标列方程求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为． ∵反比例函数图象经过点． ∴． 又∵点也在反比例函数图象上． ∴． 解得． 知识点三 反比例关系与反比例函数的比较 1）如果ab=k(k为常数，k≠0)，那么a与b这两个量成反比例关系，这里a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式.例如： ①若y+2与r-5成反比例关系，则 ②若y与x2成反比例关系，则 2）成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系，如表示y与与x2成反比例关系，但y不是关于x的反比例函数. 题型01 反比例函数的识别 判断一个函数是否是反比例函数，首先看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或或xy=k (k为常数，k≠0). 典｜例｜精｜析 【例1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，为常数且）是解题的关键． 根据反比例函数的定义（形式为或，其中为常数且，自变量单独在分母），逐一判断每个函数是否符合． 【详解】解：①符合形式，，是反比例函数； ②是正比例函数形式，不是反比例函数； ③符合形式，，是反比例函数； ④，即，符合形式，，是反比例函数 ⑤，分母是，不是单独的，不是反比例函数； ⑥，含有常数项，不符合形式，不是反比例函数； 故是反比例函数的有①、③、④，共3个， 故选：C． 2．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 【答案】②④⑥ 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，），或可转化为（）、（）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数， ②可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ③中自变量的次数为，不符合反比例函数定义，不是反比例函数， ④可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑤是二次函数，不是反比例函数， ⑥可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑦是正比例函数，不是反比例函数， 综上所述，反比例函数有②④⑥． 故答案为：②④⑥． 题型02 根据反比例函数的定义求参数 忽视这个条件，而得到错误结论. 典｜例｜精｜析 【例2】（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【分析】反比例函数的一般形式为 (, 为常数)，可得分母中的次数为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】4 【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 将，代入得：， 则． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义： （1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：． 题型03 求反比例函数值 典｜例｜精｜析 【例3】（2026·贵州铜仁·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，若反比例函数的图象经过这两点，则的值为______． 【答案】 【详解】解：反比例函数的图象经过，两点，可得， ， 整理得， 解得． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的表达式为，当时，的值为______． 【答案】 【分析】把代入即可求解． 【详解】解：当时，． 2．（2026·山西晋中·二模）某农场有一个储水量为的圆柱形储水罐，现计划对农场进行改造，需减少储水罐的占地面积．在储水量不变的前提下，储水罐的高度（m）与底面积（）成反比例函数关系，则当储水罐底面积由变为时，其高增加了________m． 【答案】0.4 【分析】根据圆柱体积公式，已知储水量（体积）不变，因此可得反比例关系：． 【详解】解：由题意可知：，即． 当原底面积时，原高度； 当底面积变为时，新高度； 则当储水罐底面积由变为时，其高增加了． 3．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】因为都在反比例函数的图象上，可知，把已知代入可求得的值，再通分后代入求解即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ， 且， ， ∴． 题型04 由反比例函数值求自变量 典｜例｜精｜析 【例4】（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 【答案】 0 【分析】根据点在反比例函数图象上，点的坐标满足函数解析式，得到与，与的关系，再推导计算的值即可． 【详解】解：∵点和点都在函数的图象上， ∴将两点坐标代入函数解析式，可得 ，， 整理得 ，， ∴，即 ， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，电路中在电压保持不变的条件下，电流I（）与电阻R（）成反比例函数关系，当电流（）时，电阻R为______． 【答案】5 【分析】设反比例函数解析式为，由图知，点在反比例函数图象上，运用待定系数法求出反比例函数解析式，再把（）代入计算，即可解题． 掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 由图知，反比例函数图象过点， ， 反比例函数解析式为， 当电流（）时， 有， 解得． 2．（2024·北京平谷·一模）如图，反比例函数经过点、点，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．把点坐标代入解析式求出，进而求出反比例函数的解析式，然后将代入反比例函数的解析式即可． 【详解】解：由图可知，， 将代入， 得：， ， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 题型05 用反比例函数描述数量关系 对于一个实际问题，应根据已知条件或数量关系列出函数表达式，判断其中的两个变量是否为反比例函数关系，实际问题中的函数自变量的取值范围，除了要使函数表达式有意义，还要使得实际问题有意义. 典｜例｜精｜析 【例5】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·湖南长沙·三模）已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确等量关系是解题关键，利用土地总面积除以总人数，进而表示出人均占有的土地面积． 【详解】解：∵长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积S（单位：人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化， ∴S与n的函数关系式是：； 故选B． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【答案】(1)；一次 (2)；反比例 (3)；二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，化简即可得出答案； （2）根据题意可得，化简即可得出答案； （3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次． （2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数， 故答案为：，反比例． （3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴是的二次函数， 故答案为：，二次． 3．（2026·甘肃兰州·一模）如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（   ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 【答案】D 【分析】分别表示出与正方形的周长之和，面积之积，然后得出，进而得出，，，然后再根据函数的定义判断即可． 【详解】解：∵的半径为，正方形的边长为， ∴与正方形的周长之和为， 与正方形的面积之积为， 阴影部分的面积为， ∴，，， ∴若与正方形的周长之和即L为定值时，y关于x的函数关系式为∶ ，为一次函数，选项A不符合题意， S关于x的函数关系为∶为二次函数，选项B不符合题意， 若与正方形的面积之积即为定值， y关于x的函数关系为∶ ，为反比例函数，选项C不符合题意 S关于x的函数关系为∶，不是反比例函数，选项D符合题意． 题型06 已知反比例关系求解析式 典｜例｜精｜析 【例6】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知与成反比例关系，且当时，． (1)求y与x的函数表达式． (2)试判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】本题考查求反比例函数解析式，求函数值． （1）根据题意，设，待定系数法求解析式即可； （2）令，求出值，进行判断即可． 解题的关键是正确的设出函数关系式，准确的计算． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）不在；理由如下： 当时，， ∴不在该函数图象上． 变｜式｜巩｜固 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如表，如果与成正比例关系，那么表格中“？”处应填__，如果与成反比例关系，那么表格中“？”处应填__． 15 ？ 3 5 【答案】 25 9 【分析】本题考查正比例关系及反比例关系，如果与成正比例关系，则，求解即可得到答案；如果与成反比例关系，则，求解即可得到答案．熟记正比例关系及反比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：如果与成正比例关系，则， 解得； 如果与成反比例关系，则， 解得； 故本题答案为：． 2．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知函数 ，与x成反比例关系， 与 成反比例关系．当 时， ，当 时， 求y关于x的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法确定反比例函数的解析式的方法，解决本题的关键是得到与的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的． 首先根据题意，分别表示出与，与的函数关系式，再进一步表示出与的函数关系式，然后根据已知条件，得到方程组，即可求解． 【详解】解：设 则 ∵当时，，当时，， ∴ 解得 ∴y关于x的函数表达式为 题型07 判断反比例函数图象上的点 典｜例｜精｜析 【例7】（2026·重庆·二模）下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数为，可得． A选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意； B选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意； C选项：点，，不满足等式，点不在图象上，符合题意； D选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·山西临汾·期中）反比例函数的图象经过点，，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求出比例系数，再代入点坐标计算的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在该反比例函数图象上， ∴， ∴． 2．（江苏省宿迁市泗洪育才北辰学校2024-2025学年上学期10月份八年级数学期中模拟测试卷）在平面直角坐标系中，有五个点，其中有四个点在同一反比例函数图象上，则不在这个反比例函数图象上的点是（   ） A．点E B．点D C．点C D．点B 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．在同一反比例函数上，k的值就相等．由题意得：，横纵坐标相乘得比例系数．只需把所给点的横纵坐标相乘，结果相等的，就在此函数图象上． 【详解】解：A、； B、； C、； D、； E、． 由以上可知C点与其余四点不在同一函数图象上． 故选：C． 3．（2026·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的解析式，分别将两点坐标代入，用表示出和，计算后，结合的条件判断其与的大小关系即可． 【详解】解：将点代入，得，即， 将点代入，得，即， ∴． ， ， 即． 题型08 待定系数法求反比例函数解析式 典｜例｜精｜析 【例8】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，在正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中每个小正方形的边长为1．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点在格点上，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】由图，设，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为定值，列出方程求出的值，进而求出值即可. 【详解】解：由图象和题意，可设， ∵点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴. 变｜式｜巩｜固 1．（2026·陕西西安·二模）若反比例函数和的图象分别经过点和，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程进行求解即可. 【详解】解：∵反比例函数和的图象分别经过点和， ∴，，即， ∴ 解得， ∴. 2．（2026·陕西宝鸡·二模）已知点、在反比例函数（为常数，且）的图象上，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点、的坐标代入反比例函数解析式，得到、与的关系，结合已知，即可求出的值． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， 化简得， 把代入得， 解得， 把代入得． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）一个反比例函数的图象经过，，三点，则该反比例函数的表达式为__________． 【答案】 【分析】设反比例函数的一般形式，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于比例系数，先根据点和点的坐标求出的值，再代入点求出，即可得到反比例函数表达式． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 由反比例函数的性质可知，反比例函数图象上任意一点的横纵坐标乘积等于，因此对 和 有： ， 整理得： ， ，等式两边同时除以得： ， 解得： ， 因此点的坐标为， 将代入得： 因此该反比例函数的表达式为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $