例析古典概型问题的常见题型-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

商一黄学轻典赛突有清中学生款理化 例析古典概型问题的常见题型 ■徐春生 一、与数字有关的古典概型问题 共有8种结果。 例1从1,2,3,4,5,6中先后任取两个 (2)设事件A为“2枚正面朝上，1枚反 数字，先取的数字为十位上的数，后取的数字 面朝上”，其结果为（正，正，反），（正，反，正）， 为个位上的数，组成一个两位数，则组成的两 (反，正，正)，共有3种结果。 位数大于50的概率是。 (3)每种结果出现的可能性相等，结合古 解：（方法1）任取两个数字组成一个两 位数所包含的样本点为12,13,14,15,16， 典概型的概率公式得P(A)=3 8 21,23,24,25,26,31,32,34,35,36,41,42, 点评：抛掷n枚质地均匀的硬币，每枚硬 43,45,46,51,52,53,54,56,61,62,63,64, 币都有“正面朝上”“反面朝上”两种等可能结 65,共有30个。设事件A为“组成的两位数 果，因此该试验共有2”个等可能发生的样本 大于50”，则事件A包含的样本点为51,52， 点，将所有的样本点（第一枚硬币的结果（正 53,54,56,61,62,63,64,65,共有10个。由 或反)，第二枚硬币的结果（正或反），…，第n 古典概型的概率公式得P(A)品日。 枚硬币的结果（正或反）)列举出来，求出事件 包含的样本点个数，即可得到所求事件发生 (方法2)因为50的个位上的数字是0， 的概率。 所以大于50的两位数只要十位上的数字不 三、与顺序有关的古典概型问题 小于5即可。十位上的数字包含的所有的样 例3（多选题）随意安排甲、乙、丙3人 本点为1,2,3,4,5,6，共有6个。设事件B 在3天节日中值班，每人值班1天，则下列说 为“十位上的数字不小于5”，则事件B包含 法正确的是()。 的样本点为5,6，共有2个。由古典概型的概 A.这3人的值班顺序共有12种不同的 率公式得P(B)=2=1 1 6=3,即所求概率为3 安排方法 B.甲在乙之前值班有3种不同的安排方 点评：关于数字问题的古典概型，要注意 数字的选取及顺序问题，可以用列举法写出 法 符合要求的样本点，再进行计算。 C.甲在乙之前值班的概率是】 二、抛硬币中的古典概型问题 例2先后抛掷质地均匀的3枚硬币各 D,乙不在第1天值班的概率是名 3 一次。 解：根据题意画出树状图，如图1所示。 (1)一共可能出现多少种结果？ (2)出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上” <所二2乙<得-甲丙<二 的结果有多少种？ 图1 (3)出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上” 由图可知，不同的安排方法共有6种，A 的概率是多少？ 错误。由图可知，甲在乙之前值班的安排方 解：(1)先后抛掷质地均匀的3枚硬币各 法有3种，B正确。设事件M为“甲在乙之 一次，可能出现的结果为（正，正，正），（正， 前值班”，由古典概型的概率公式得P(M)= 正，反)，（正，反，正），（反，正，正），（正，反， 31 反)，（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）， 6=之C正确。由图可知，乙不在第1天值 47 经典题突破方法 中学生数理化高数学202年6月 班的安排方法有4种，设事件N为“乙不在第 由古典概型的概率公式得P(B)=专 1天值班”，由古典概型的概率公式得P(N) 点评：在进行古典概型试验时常有两种 6=3,D正确。应选BCD。 抽取方式：一种是不放回抽取，另一种是有放 点评：解决与顺序有关的古典概型问题， 回抽取。不放回抽取是指前一次抽取的个 常用树状图法。当涉及的样本点较多时，画 体，不再放回原处，即前一次抽取时有n个个 树状图是一种不错的选择，一般的求解步骤 体，下一次抽取时只有(n一1)个个体。有放 为：分析样本点·表示样本点→计数样本点 回抽取是指前一次抽取的个体再放回原处， →求概率。 搅拌均匀后再一次抽取，即前一次抽取时有 四、抽样中的古典概型问题 n个个体，下一次抽取时还有n个个体。 例4从含有两件正品a1,a:和一件次 品b,的三件产品中每次任取一件，每次取出 感悟务G 后不放回，连续取两次。 1.连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子 两次，则两次掷出的点数之和为偶数的概率 (1)求取出的两件产品中恰有一件次品 )。 的概率。 为( 1 (2)如果将“每次取出后不放回”这一条 A.6 B 件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产 1 c.12 1 品中恰有一件次品的概率是多少？ D.4 解：(1)每次任取一件，取出后不放回地 提示：连续抛掷一枚质地均匀的正方体 连续取两次，所有的样本点为(a1,a),(a1, 骰子两次，所有点数可列表表示（表略）。由 b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),共 表知此问题所包含的样本点共有36个。设 有6个，其中小括号内第一个字母表示第一 事件A为“两次掷出的点数之和为偶数”，则 次取出的产品，第二个字母表示第二次取出 事件A包含的样本点为(1,1)，(1,3)， 的产品，可以确定这些样本点的出现是等可 (1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3), 能的。 (3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3), 设事件A为“取出的两件产品中恰有一 (5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共有18个。由 件次品”，则事件A包含的样本点为(a1,b), 古臭概型的概率公式得P()器-名。应 (a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),共有4个。 选B。 由古典概型的概率公式得P(A)=A 6 2.观察一枚质地均匀的正方体骰子，任 2 意选取其中两个面的点数，则点数之和正好 等于5的概率为。 (2)每次任取一件，取出后有放回地连续 提示：观察一枚均匀的正方体骰子，任意 取两件，所有的样本点为(a1,a1),(a1,a2), 选取其中两个面的点数的所有取法为(1,2)， (a1,b1),(a2,a1）,(a2,a2),(a2,b1), (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4), (b1,a1),(b1,a2),(b1,b1),共有9个，其中小 (2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5), 括号内第一个字母表示第一次取出的产品， (4,6),(5,6),共15种，其中和为5的取法为 第二个字母表示第二次取出的产品，可以确 (1,4),(2,3),共2种。由古典概型概率公式 定这些样本点的出现是等可能的。 得点数之和正好等于5的概率P= 2 设事件B为“取出的两件产品中恰有一 15° 作者单位：广东省仙头市澄海凤翔中学 件次品”，则事件B包含的样本点为(a1,b1), (责任编辑郭正华) (a,b1),(b1,a1),(b1ag),共有4个。 48