余弦定理的应用例析-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

知识结构与拓展 中学生数理化高数学226年6月 余弦定理是沟通三角形“边”与“角”关系 的核心桥梁，是解三角形的关键工具。下面 分析余弦定理在不同情境下的应用。 题型1：边角互化 余弦定理的 例1在△ABC中，角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,已知2 acos B=c一a,当 应用例析 c十4a取最小值时，A=一。 b 解：由2 a cos B=c一a,结合余弦定理得 ■薛家兵 2a.aiteb: 2ac =c一a,整理得c= b -a。 2 所以+4a_a +3a b 3a b b 0+≥2。·b =26,当且仅当会-兴，即6=5。时等号 合基本不等式求得b=√3a,c=2a是解答本 题的关键。 成立。将b=V3a代入c= b2 3a2 题型2：利用边与边的比例关系求值 一a得c= a a 例2在△ABC中，角A,B,C所对的 -a=2a。 由余弦定理得cosA=6十c-a 边分别为a,b,c,已知6-c=子a,2sinB 2bc 3sinC,则cosA的值为 3a2+4a2-a2 ③ 解：由2sinB=3sinC,结合正弦定理得 23a·2a 。因为A∈(0，π，所以 2b=3c,即6=2c。将6=2c代人6-c 3 3 A 6 4a,可得a=2c。 1 点评：利用余弦定理可将角化为边，再结 000w0w90w200000000000000000003w0g300g0w0w203w0000000g0000000000000g00 二、复数 =1之11|之：|=0，所以|之11=0或|2|=0，所 例2（多选题）设x1,之2是复数，则下列 以之1=0或之=0，A正确。对于B,不妨设 说法正确的是()。 A.若1·之2=0，则之1=0或2=0 =+,则=1，此时，不是实数， B.若≈∈R,则1∈R B不正确。对于C,由复数的运算法则得 C.若|之1=|2|，则之1·=之·之2 之1·=之112，之：·2=1之：2，若|之11= D.之1一之：1=√（之1十之2)一4x1之2 |,则之1·=2·2，C正确。对于D,不 分析：由之1·之：=1之1|之2|=0，可得 妨设之1=1十i,之2=1一i,则|之1一之2|= 1≈1=0或|之2|=0，可判断A正确。取≈1= 2i=2且之1之：=2，所以√(x1十之2)一4之1之2 一号+复可判断B不正晚。由1：可 =√22-4×2=√一4，此时2≠√一4，D不 正确。应选AC。 |之112，之2·2=之22，可判断C正确。取之 评注：解题时，要注意复数的定义与举反 =1十i,之，=1一i,根据复数的运算法则得到 例的应用，注意模的平方与共钷复数乘积的 |之1一之：|≠√（之1十必2）一4x1之2，可判断D不 关系。 正确。 作者单位：江苏省无锡市青山高级中学 解：对于A,由之1·之2=0，可得之1·之： (责任编辑王琼霞) 资一数型识糖构室西骨中学生教理化 由余弦定理得cosA= b2+c2-a2 2bc 于B,cosC=a+b-c >0,因为0<C<π 2ab (c）广+2-(2c) 所以角C为锐角。而角A,B未知，则无法 1 判断三角形的形状，B错误。对于C,由sinA 2· 2c·c 3c2 4 =eosB=sin(经+B）=sin(受-B),可得A 点评：余弦定理的夹角公式是二次式，通 过边与边之间的比例关系即可求值。 = 2 +B或A= ·一B,此时△ABC是钝角 2 题型3：利用分子与分母关系求范围 三角形或直角三角形，C错误。对于D,由 例3在△ABC中，角A,B,C所对的 cos合=6+S,结合半角公式得1+cosA 边分别为a,b,c,a2十c2-b=√3ac,则cosA 2 2c 2 十sinC的取值范围为_。 b十C,即b=c·cosA。由余弦定理得b= 2c 解：由a2十c2一b2=√3ac,可得cosB b2+c2-a2 a2+c2-b23 ，整理得a十b2=c2,故 2ac 。因为B∈(0，x),所以B △ABC是直角三角形，D正确。应选AD。 6,故A+C= 6,即c=5 -A,所以cosA 点评：利用余弦定理可判断余弦值的正 负，从而可判断三角形的形状。 +sin C-cos A+sinA) sin A+ 感悟与收 2c0sA-5sin(A+). 1.在△ABC中，角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,若c=√2，b=√6，B=120°，则 因为0<A<5,所以5<A+ 7π 6 a= 所以im(A+晋）∈(，5，所以 提示：由余弦定理b=a2+c-2ac· cosB得6=a2十2十√2a,整理得a2+√2a casa+since( 4=0,解得a=√2或a=2√2。当a=2√2时， a>b,与题中B=120°，即边长b最大矛盾， 点评：当已知条件为齐二次分式结构时， 则a=2√2舍去。故a=√2。 可结合余弦定理求解。 2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分 题型4：判断三角形的形状 别为a,b,c,已知5a+3b2=3c2,则sinA的 例4（多选题）已知△ABC的内角A, 取值范围是。 B,C所对的边分别是a,b,c,则下列命题正 提示：由5a2+3b2=3c2,可得a2= 确的是(）。 A.若a十b2<c,则△ABC是钝角三角形 3c2-3b2 b3+c-3c-36 5 ,所以cosA= B.若a2十b>c2,则△ABC是锐角三角形 2be C.若sinA=cosB,则△ABC是等腰三 c2+4b24bc4 5bc 5bc ,当且仅当c=26时等号 角形 D.若o会-，则△ABC是直角 成立。因为A∈(0，x),所以生≤cosA<1。 5 三角形 由sin2A=1-cosA得0<sinA≤5，所以 解：对于A,由余弦定理得cosC= a2+b2-c2 snA∈o,] 2ab <0,因为0<C<π，所以角C为 作者单位：云南省富源县第九中学 钝角，即△ABC是钝角三角形，A正确。对 (责任编辑王琼霞) 5