复数常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2026年3月刊

青一数轻典突壁方清中学生款理化 复数常见典型考题赏析 ■李冬倩 复数是高中数学的重要内容，也是高考 象限，C错误。对于D,复数之在复平面内对 的常考点，高考主要考查复数的概念、复数的 4 应的点为(2,4)，所以sina= 四则运算、复数的几何意义等。下面就复数 √22+49 的常考题型进行举例分析，供同学们学习与 25 5 ,D错误。应选AB。 参考。 题型一：复数的概念 (2)由(1+i)=-2+i,可得：=2+ 1+i 复数的分类及对应点的位置问题，都可 以转化为复数的实部与虚部应满足的条件， (-2+i)(1-i)-1+31 (1+i)(1-i) 2 +受所 只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部 满足的方程或不等式求解即可。解题时，要 以-√-)+()- 2 。应选A。 看复数是否为a十bi(a,b∈R)的形式，以确 (3)由题意得x1十x2=一1，所以x2= 定实部和虚部。 例1。(1)（多选题）若复数之满足之(1一 一x1-1=- i,所以m=xx 13 2i)=10,则()。 A.=2-4i B.一2是纯虚数 x2均为虚数，显然不能比较大小，B错误。易 C.复数之在复平面内对应的点在第三 象限 得-(+)-1，C正确。易得 D.若角α的始边为x轴的非负半轴，复 i=x2,D正确。 数：对应的点在角a的终边上，则sina=5 2 5 应选ACD (2)若复数x满足之(1+i)=一2+i(i是 跟踪训练1：(1)（多选题）下面是关于复 虚数单位)，则x等于()。 数之=一1一i(i为虚数单位)的命题，其中真 A要 B 命题为()。 A.x1=2 n号 B.=2i C.之的共轭复数为1+i (3)(多选题)若关于x的方程x2十x十 D.x的虚部为一1 m=0(m∈R)有两个不同的复数根x1和x2, 其中x=一+会（是虚数单位），则下面 (2)若复数文=2+的实部与虚部相等， ati 则实数a的值为( )。 选项正确的是( A.-3 B.-1 A.m=1 B.z1>2 C.1 D.3 C.x1=1 D.xi=T (3)若复数：是方程x2十x+1=0的根， 解：(1)对于A,由z(1一2i)=10,可得之 则之|等于( 10 10(1+2i) -1-21=(1-2i)(1+2i =2十4i,所以乏=2 A.2 B.1 一4i,A正确。对于B,x一2=2十4i一2=4i, C.2 D.3 为纯虚数，B正确。对于C,复数之=2十4i, 提示：(1)|x|=√I+I=√2，A错误。 其在复平面内对应的点为(2,4)，此点在第一 x2=(一1一i)2=1十2i十i=2i,B正确。之的 39 中学生数理化高数学2026年3月 经典题突破方法 共轭复数为一1十i,C错误。x的虚部为一1， 之：互为共轭复数，可得之2=a一bi,新以之1： D正确。应选BD。 之2=a2十b2∈R,A正确。当x1=2十2i,x2= (2)因为复数：= 2+i(2+i)(a-i) 1一i时，1·2=4∈R,此时之1，x2不是共轭 a+i (a+i)(a-i) 复数，B错误。由1，x2互为共轭复数得|x1 2a+1+a-2)i,又-2 a2+1 ati 的实部与虚部 =,因为≠0，所以-1.即- 相等，所以2a十1=a-2,解得a=一3，所以 1,C正确。 实数a的值为一3。应选A。 当之1=2+i,22=1一2i时，|之1 (3)由方程x2十x十1=0，可得x= =1x21,且 =1,此时1，之2不是共轭复 -1±√=4-1±√3 2 2 ,即= -1±3i 数，D错误。应选AC。 2 跟踪训练2：(1)(2+2i)(1一2i)等于 当复数之=一 1 2 2 i时，可得「之1= )。 A.一2+4i B.-2-4i -)+② 1 =1；当复数之=一 2 C.6+2i D.6-2i (2)已知复数之满足之·=1一2i,则 时，可得之 2 (-》+( 的虚部为( )。 综上可得|x|=1。应选B。 A.1 B.-1 C.2 D.-2 题型二：复数的四则运算 复数的乘法类似于多项式的乘法运算； 提示：(1)(2+2i)(1一2i)=2-4i+2i+4 复数的除法的关键是分子、分母同乘以分母 =6一2i。应选D。 的共轭复数。 (2)由之·i=1-2i,可得-xi=1-2i, 1-i 例21)已知之=2+2，则x一等于 所以之= 1-2i(1-2i)i -i -12 =2十i,所以乏=2 ）。 i,所以乏的虚部为一1。应选B。 A.-i B.i C.0 D.1 题型三：复数的几何意义 (2)(多选题)下列关于非零复数1，x2 因为复数、点、向量之间建立了一一对应 的结论正确的是( )。 的关系，所以可以把复数、向量与解析几何联 A.已知复数之1，之？互为共轭复数，则 系在一起，解题时利用数形结合的方法，可使 21·x2∈R 问题的解决更加直观明了。 B.若之1·2∈R,则复数x1,x2互为共 例3(1)棣莫弗公式(cosx+isin x)” 轭复数 =cosn.x十isin na(其中i为虚数单位)是由 C.若之1，之2互为共轭复数，且之2≠0， 法国数学家棣莫弗(1667一1754)发现的，根 据棣莫弗公式可知，若复数之满足之· 则 (o音+isn否)》”=1+i,则复数对应的 D.若 =1,则之1，之2互为共轭复数 点Z应落在复平面内的()。 1-i(1-i)(1-i) 解：(1)因为之= A.第一象限 B.第二象限 2+2i2(1+i)(1-i) C.第三象限 D.第四象限 -2i 1 2,所以=2，所以之一文 (2)已知i是虚数单位，复数x=a十 4 之=-应选A bi(a,b∈R),且|之-i|=|之十2-i|,则 1. |之一3+√5i的最小值为 ）。 (2)令复数1=a+bi(a,b∈R),由1， A.5 B.4 C.3 D.2 40 南一数赛方青中学生教理化 解：(1)由·(cosg+ising）= 复数x在复平面内对应点的轨迹为圆C:(x 一2)十y2=1,其圆心坐标为C(2,0),半径 1十，结合棣莫弗公式可得，之· 为1，如图1所示。 (o紧+ism)=·(竖+)=E. 即：·(-1十i)=2,所以x=-1+ 2 2(-1-i) (一1+i)(-1一D=一1一i,所以复数之对应 的点Z为（一1，一1），此点落在复平面内的第 图1 三象限。应选C。 因为|x一i|=|x十(y-1)i| (2)因为x=a十bi(a,b∈R),所以x-i =a十(b-1)i,x十2-i=(a+2)十(b-1)i。 √x+(y一1)严，所以|之一i表示圆C上的动 由1之一i|=|之十2-i1,可得 点到定点A(0,1)的距离。因为CA= √a+(b-1)了=√(a+2)+(b-1),解得 √22+1'=V5,所以|之-im=CA-1=5 -1。应选B。 a=一1，所以x=一1+bi,所以x-3十√3i= 一4+(b+5)i,所以|之一3+√31|= 感悟与仪 √/(-4)+(b+√3)2=√16+(6+)2≥4， 1.已知之∈C,之-2=1，则|x+i|的取 当且仅当b=一√5时等号成立，故|之一3十 值范围为一。 提示：因为1=之一2= √i的最小值为4。应选B。 1(x+i)-(2+)|≥|1x+i-|2+i||= 跟踪训练3：(1)在复平面内，O为坐标 原点，复数之1=i(一4十3i),,=7十1对应的 1川之十i一√51，即1≥1x+i一51，所以w5 点分别为Z1,Z2,则∠ZOZ,的大小为 一1≤|x十i≤5+1，即|之十i|的取值范围 ()。 为[5-1，√5+1]。 A晋B c径ng 2.如图2所示，在复平面内，复数之1，之2 (2)已知复数之满足|x一21=1，则 对应的向量分别是OA,O方，则兰对应的点 |x一的最小值为( )。 位于()。 A.1 B.√5-1 C.√5+1 D.3 提示：(1)由x1=i(-4十3i)=-3-4i, ,=7+i,可得0Z=(-3,-4),0Z=(7, 图2 1),所以1OZ1=5,1OZ,「=5√2，OZ·OZ A.第一象限 B.第二象限 =-21-4=- 25,所以cos∠Z1OZ2= C.第三象限 D.第四象限 OZ·OZ2 =-25 =一② 。因为 提示：由复数的几何意义知复数之1=2十 oz Ioz.I 5×5√2 ∠2,02，∈0，，所以∠2,02，=不。应选C i,复数，=一1十i,所以斗=2+i 之2 -1+i (2+i)(-1-i) （一1+)(-1-D=一2一之i,所以复数 13 (2)设复数2=x十yi(x,y∈R)。 2 因为|之-2|=|x-2十yi= 在复平面内对应的点的坐标为 √(x-2)+y=1,所以(x-2)2十y2=1,即 (立，一此点位于第三象限。应速C 41 中学生表理化餐李方蕊年3月 3.若复数x=3+2i-n(n∈R),|x|= =2√5。 √3，则n的取值集合为()。 17 (2)x1=十 A.{0,6} B.{-2,8} m-m十2i=4+1 C.{-1,7) D.1,5} 7 2- 提示：因为复数x=3十2i-n(n∈R),且 m+2)i= 4m-32m-3 m-1Tm+21 由复数1在第四象限，可得 |z|=√13，所以√(3-n)+4=√13，所以 (n-3)2=9,所以n-3=3或n一3=一3，解 (4m-3)(m-1)>0, 得n=0或n=6。应选A。 2m3∠0， 即 解得 l(2m-3)(m+2)<0, m+2 4设复数。二？十i,则w 2m<子或1<m<，放m的饭值范围 3 提示：因为w=一 i,所以 2+ 为(-2，)U(1,2) (2+)-+()=- 7.现有以下三个式子：① 2+1 所以m=w=(名）·（合十 @3,@千为虚数单位).某同 学在解题时发现以上三个式子的值都等于同 3）=1,w= 3·ω=w,所以周期为3，所以 一个常数。 2 w2025=3x675=(w3)75=1。 (1)从三个式子中选择一个，求出这个 5.若复数≈满足方程2十2=0，则之3= 常数。 (2)根据三个式子的结构特征及(1)的计 提示：由2x2十2=0，可得之2=一2，所以x 算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒 =士2i。当之=√2i时，x3=(√2i)3= 等式，并证明你的结论。 一2√2i;当x=一√2i时，x3=（一√2i)3= 提示：(1)① 2+i (2+i)(1+2i) 1-2i(1-2i)(1+2i) 22i。故x3=士2√2i。 2+4i+i-2 ② -4+3i 6已知：为复数，：十2i和2产均为实 5 3+4i (-4+3i)(3-4i) =-12+16i+9+12 (3+4i)(3-4i) 25 i, 数，其中i是虚数单位。 (1)求复数之和之|。 ③1i (-1-i)2 1 7 -1+i(-1+i)(-1-i) 1+2i-1=i. 2 (2)若x1=十m—一m十2在第四象 (2)根据三个式子的结构特征及(1)的计 限，求m的取值范围。 提示：(1)设之=a十bi(a,b∈R),则x十 算结果，可得十b b-ai =i(a,b∈R,且a,b不同 2i=a+(b+2)i。 时为零)。 由十2i为实数，可得b十2=0，所以 证明如下 (a+bi)(b+ai) (b-ai)(b-ai) b=-2。 曲六22-2。 ab+a'itb'i-ab(a'+b')i 5 b2+a2 a2+b9 =i。故原式 +a二4)i为实数，可得a二4=0，所以a=4。 成立。 5 5 作者单位：江苏省灌云县教师发展中心 故复数之=4一2i,则|之|=√4+（一2） (责任编辑郭正华) 42