平面向量及其应用常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2026年3月刊

青一数轻典突壁方清中学生款理化 亚面向量及其应用常见典型者题赏析 ■赵昆 张文伟 题型1：利用正、余弦定理解三角形 A.30° B.60 解三角形时，若题设中含有角的余弦或 C.120 D.60°或120 边的二次式，则考虑用余弦定理；若题设中含 (2)已知△ABC的内角A,B,C所对的 有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定 边分别为a,b,c,若bsin2A=a sin B,且c= 理。以上特征都不明显时，要考虑两个定理 2b,则号等于( )。 都有可能用到的情况。 例1(1)△ABC的内角A,B,C所对 A.2 B.3 C.√2 D.3 的边分别为a,b,c,若asin A十(b十入a)sinB 提示：(1)由a=1,c= √ =csin C,则A的取值范围为()。 2,A=45,结合 A.(-2,2) B.(0,2) √6√2 C.[-2,2] D.[0,2] 正弦定理得sinC=esin A_艺X乞 √3 a 1 2 (2)用长度为1,4,8,9的4根细木棒围 因为0°<C<180°，c>a,A=45°，所以C= 成一个三角形（允许连接，不允许折断），则其 60°或C=120°。应选D。 中某个三角形外接圆的直径可以是一。 (2)由bsin2A=asin B,结合正弦定理 (写出一个答案即可) 得2 sin Bsin Acos A=sin Asin B。因为 解：(1)由asin A+(b十λa)sinB= csin C,结合正弦定理得c2=a2十b2十ab。 SinA≠0，sinB≠0，所以cosA三2。由c 由余弦定理知c2=a2十b2-2 abcos C,所以 2b,结合余弦定理得a2=b2十c2-2 bccos A λab=-2 abcos C,即λ=-2cosC。因为C ∈(0，π)，所以cosC∈（一1,1），所以入∈ -6+6-4钻×空=36，解得分5（负 (-2,2)。应选A。 值舍去)。应选D。 (2)4根细木棒围成的三角形的三边长 题型2：三角形的形状判断 可以为5,8,9。设边长为9的边所对的角为 判断三角形形状的两种常用方法：化边， 日，该三角形外接圆的半径为R。由余弦定理 即通过因式分解、配方等得出边的相应关系， 得c0s0=25十64-811 2×5×81 0。因为0∈(0，x), 从而判断三角形的形状；化角，即通过三角恒 等变换，得出内角的大小关系，从而判断三角 所以sin0=一c0s百_3酒。由正弦定 形的形状，此时要注意应用A十B十C=π这 个结论 9 9 理得2R= 30√I ,所以其中 sin03√I 11 例2在△ABC中，已知sinA+sinC sin B 10 =b十c 且满足条件①a(sinA-sinB)=(c 某个三角形外接圆的直径可以是0厘 a 11。 b)·(sinC+sinB),②bcos A+acos B= (答案不唯一) csin C中的一个，试判断△ABC的形状，并 跟踪训练1：(1)在△ABC中，a,b,c分 写出推理过程。（若选择多个条件分别解答， 别为内角A,B,C的对边，a=1,c=5, 则按第一个解答计分) 45°，则C等于( 解：由sinA十sinC_b+ ,结合正弦定 )。 sin B a 43 中学生表理化餐李方蕊年3月 理得a+c=b+c,即a2十ac=b+bc,所以 b a 2acsin B- 宁besinA,一般是已知哪个角就 a2-b2+ac-bc=0,所以(a-b)(a+b+c) 使用哪个公式；与三角形面积有关的问题，一 =0,所以a=b。 般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的 若选条件①，则△ABC为等边三角形。 转化。 推理如下：由a(sinA一sinB)=(c一b)· 例3已知△ABC的内角A,B,C所对 (sinC十sinB),结合正弦定理得a(a一b)=(c 的边分别为a,b,c,且a=217,b=5√2， b)(c+b),即a2+b一c2=ab。由余弦定理 cos A=4 5,则△ABC的面积为( )。 得cosC= a2+b2-c21 2ab 。因为C∈(0，π)， A.36√2 B.183 所以C= 3,所以△ABC为等边三角形。 C.27 D.36 解：由a=27,b=5反，08A=吉，结 4 若选条件②，则△ABC为等腰直角三角 形。 合余弦定理a2=b2十c2一2 bccos A得c2 推理如下：因为bcos A+acos B=b· 8√2c-18=(c-9√2)(c+√2)=0，解得c= b2十c2-a 十a· a'tc-b'2c =C= 2bc 2ac 2c 92(负值舍去)。因为0sA=号，所以 csin C,所以sinC=1,所以C=吾，所以 3 sinA=√1-cosA=亏，所以△ABC的面 △ABC为等腰直角三角形。 跟踪训练2：已知△ABC的内角A,B,C 积为2 esinA=号×5E×9巨×号=27 所对的边分别为a,b,c,若a一b=ccos B一 应选C。 ccos A,则△ABC的形状一定是()。 跟踪训练3：如图1，在△ABC中，内角 A.等腰三角形 A,B,C所对的边分别为a,b,c。点D为BC B.直角三角形 的中点，AD=1,B=受，且△ABC的面积为 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 ，则c等于( 3 提示：由a一b=ccos B一ccos A,结合正 弦定理得sinA一sinB=sin Ccos B sin Ccos A。因为sinA=sin(B+C) sin Bcos C+cos Bsin C,sin B=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C,所以sin Bcos C 图1 cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C= A.1 B.2 C.3 D.4 sin Ccos B-sin Ccos A,整理得sin Bcos C sin Acos C=0,所以(sinB-sinA)cosC 提示：已知B=S,在△ABD中，由余弦 0,所以sinB=sinA或cosC=O。因为A, 定理得c+(侣）广-2c×号c0s =1,所以 B,C∈(0，x),所以A=B或C=艺，即 △ABC的形状一定是等腰或直角三角形。 a2十4c2-2ac=4。由S△Ac= 2 acsin B= 应选D。 ①，所以a2十4c2 题型3：三角形的面积问题 之一王一— 2ac=4=2ac,即4c2-4ac+a2=0,所以(2c 对于三角形的面积公式S=2 absin C a)2=0,即a=2c②。将②代入①得2c2 44 南一数赛方青中学生表理化 =2,解得c=1或c=一1（舍去）。应选A。 题型4：与平面几何有关的问题 在平面几何图形中，研究或求与角有关 的长度、角度、面积的最值等问题时，通常要 转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解 决，也可以利用函数思想来解决。在解决某 图2 些具体问题时，常先引人变量，如边长、角度 A.2√3 B.4√3 等，把要解三角形的边或角用所设变量表示 C.2√2 D.4√2 出来，再利用正、余弦定理列出方程，通过解 提示：（方法1）设BC=2x,则BD=CD 方程获解。 -Io 例4△ABC的内角A,B,C的对边分 在△ACD中，由余弦定理得 别为a,b,c,已知2a十b=2 cos B。 cos∠ADC= AD'+CD'-AC? (1)求角C的大小。 2AD·CD (2)若CD是角C的平分线，AD=2√7， 25十x2-4 。在△ABD中，由余弦定理得 10.x DB=√7，求CD的长。 AD:+BD-AB' 解：(1)由2a+b=2 ccos B,结合正弦定 cos ∠ADB 2AD·BD 理得2sinA+sinB=2 sin Ccos B,所以 25+x2-2 2sin(B+C)+sinB=2 sin Ccos B,所以 10x 。因为∠ADC十∠ADB=x,所 2sin Bcos C+2cos Bsin C+sin B 以cOs∠ADC=-cOs∠ADB,所以 2 sin Ccos B,整理得(2cosC十1)sinB=0。 25十x2-49=- 25+x2-25 ,整理得x2= 因为B,C均为三角形的内角，所以B,C∈ 10x 10x (0,x),所以sinB≠0，所以cosC=- 12,解得x=2√5，所以BC=4√。应选B。 2,所 以C=2 (方法2)因为A方=2(A方+AC),所以 3 A市-(A亩+AC+2A店.AC),即25 (2)由CD是角C的平分线，AD=2√7， DB=√7，在△ACD和△BCD中，结合正弦 子(25十49十2×5×7×c0s∠BAC),解得 定理得AD CD BD CD π sinB,所以 sin 3 sin A' sin 3 c0s∠BAC-号。在△ABC中，由余孩定理 得BC2=AB2+AC”-2AB·AC· AD sin B BD sin A =2,即sinB=2sinA,所以b= cos∠BAC=25+49-2×5×7×5号 =48,所 2a。由余弦定理c2=a2+b2-2 abcos C得 (3√7)2=a2+4a2+2a2,解得a=3,所以b= 以BC=4√3。应选B。 题型5：利用基本不等式求最值（范围） 6。因为S6r=Sam十Sam所以2ab· 求解三角形中的面积或周长的最值问题 sin∠ACB=2b:CD·sin∠ACD+ga· 1 的常用方法：在△ABC中，已知一个角及其 对边，假设已知A,a,根据余弦定理a=b2十 CD·sin∠BCD,化简整理得18=9CD,所 c2一2 bccos A,可得“b”十c2”与“bc”的等量关 以CD=2。 1 跟踪训练4：如图2，在△ABC中，AB= 系，求面积的最值时，由S=2 besin A,求出 5,AC=7,D为BC的中点，AD=5,则BC bc的最值即得结果；求周长a+b十c的最值 等于()。 时，即求b十c的最值，在等量关系中把b”十 45 中学生数理化篇典数￥2年3月 经典题突破方法 c2换成(b十c)2-2bc,再利用基本不等式bc (2)由(1)得cos(A十B)=sinB,所以 ≤)可求出十e的最值。 -(A十B)=sinB。易得0<A+B sin 2 例5在△ABC中，sin'A-sinB 受，所以0<2-(A十B)< 2 2 。 又因为0 sinC=sin Bsin C。 (1)求A的值。 <B<受，所以受-(A+B)=B,解得A=受 (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值。 解：(1)由正弦定理和已知条件得BC 一2B,则C=交+B。由正弦定理得+6 2 AC2-AB=AC·AB。 ①D 由余弦定理得BC2=AC2十AB”一 sin'A+sin'B sin(受-2B）+simB 2AC·ABcos A。 ② sin'C cos'B 由①@得0A=-2。因为0<A<元， cos'2B+sin'B (2cos'B-1)2+1-cos'B cos B cos'B 所以A=2 4cos B-5cos2B+2 3 cos2B =4cos'B+ cos?B -5 (2)由正弦定理及(1)得AC一AB sin B sin C ≥2 4cos2B· 2 cos'B -5=42-5,当且仅 sinA=23,所以AC=2V3sinB,AB BC 当cos2B= 时取等号，所以a十b √2 2 c2的最小 2√3sin(x-A-B)=3cosB-√5sinB。 值为4√2-5。 所以BC+AC+AB=3十√3sinB+ 题型6：转化为三角函数求最值（范围） 3cosB=3+25sin(B+g)。因为0<B< 三角形中的最值或范围问题，一般采用 正、余弦定理进行边角互化，再结合三角函数 吾，所以当B十音-受，即B=-晋时，△AnC 6 的性质求出最值或范围。 的周长取得最大值，其最大值为3十2√。 例6如图3，△ABC为锐角三角形，且 跟踪训练5：记△ABC的内角A,B,C cosA十sinB=√3(sinA+cosB)。 的对边分别为a,b,c,已知1十sinA sin 2B 1十cos2B (1)若C-,求B的值。 图3 (2)求a+ 一的最小值。 1)若C=晋，求A的。 cos A sin 2B (2)已知点D在边AC上，且AD=BD 提示：(1)因为十snA-1千c0s2B所 =2,求CD的取值范围。 cosA 以千simA 2sin Bcos B cos A 1十2。sB,所以mA 解：(1)因为cosA+sinB=√5(sinA+ cosB),所以cosA-√3sinA=√3cosB cosB,所以cos Acos B=sinB十sinA· sin B sinB,即cos(A+3）=cos(B+若)。因为 sinB,所以cos(A+B)=sinB,所以sinB= A∈(o,),B∈(o,),所以3<A+< 一。sC=一c0s2=2。由C=?得B∈ 3 (0,）所以B=若 <B+<所以A十-B+· 46 高一数学典餐翠方清中学生教理化 经典题突破方法 所以B=A十若。又A+B十C=x,C=吾， b+c2-a2(5)2+(2)2-32 √10 2bc 2×√5×√2 10e 所以A十A十若+苔=元，即A=至 2)由正孩定理得C- 3 (2)因为AD=BD=2,所以∠DBA= A。由I)得B=∠ABC=A+否，所以A十 由(1D知B=平，则C-3 4 一A,所以c= 6=A+∠DBC,所以∠DBC=买」 3sin C 3sin(-A】 3sin(+) 6。 sin A sin A sin A CD BD 在△DBC中，因为 sin∠DBC sin C,所 a号(1+品方》.因为△AC为锐角三角 以CD= BDsin∠DBC=1 sin C sinC。在△ABC 0<8-A< 形，所以 巾，可得nC=n(A+B)=sin(2A+若) 解得<A<, 0<A<, 因为△ABC为锐角三角形，所以 0<A<受， 所以O< lA<1,所以39<3vE. 2 1 0<B=A+吾<， 解得晋<A< 因为S△ABC= 2 acsin B= 1 2 0<C=元-A-A-否<受， =32 c∈（受，），所以△ABC面积的取值 吾，所以受<2A十吾<吾，所以名< 范围是(？，号） sin2A+吾)1，所以c∈1,2.即cD 题型7：转化为其他函数求最值（范围） 解决此类问题，一是利用正、余弦定理， 的取值范围为(1,2)。 转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或 跟踪训练6：在△ABC中，内角A,B,C 正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利 b 的对边分别为ab,c,且sinA-c0SBa=3。 用三角恒等变换，构造关于正弦、余弦或正切 的函数，根据函数的单调性求解。 (1)若BC边上的高等于1，求cosA的 例7已知锐角△ABC中，角A,B,C 值。 (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC 所对的边分别为a,b,c,且inA二B) cos B 面积的取值范围。 sin(A-C) 提示：(1)由正弦定理得a。 sinA=cos乃、 cos C 1)若A=号，求B的值. sinB,所以sinB=cosB,所以tanB=1。因 b ②)若asin C=1,求}+的最大值， 为0<B<元，所以B=平。 解：a)由inAB》=imCA-C,可 因为Sax=2ah=2acnB,所以2×3 1 1 cos B cos C 得sin(A-B)cosC=sin(A-C)cosB,所以 X1-2×8xcx竖. ，解得c=巨。由余弦定理 sin Acos Bcos C-cos A sin Bcos C= sin Acos Ccos B一cos Asin C cos B,所以 得b2=a2+c2-2 accos B=32+(√2)2-2×3× cos Asin Bcos C=cos Asin C cos B。因为 反×竖=5，解得6=后，所以A A=吾，所以sin Beos C=inCcsB,所以 47 中学生表理化餐李方蕊年3月 tanB=tanC。因为B,C∈(o,),所以 6 B=C.又A=晋，所以B=否 x∈(1,2)，所以f(x)=x2+x-1,1<x<2。 (2)由(1)知B=C,所以sinB=sinC, 因为1<x<2,所以f(x)=(女+合) 即b=c。因为asin C=1,所以石=inC. 5 c- e15),所以2+6-1∈(1,5)，即 由正弦定理得asin C=csin A=bsin A=1, 十C的取值范围是(1,5)。 所以公=SnA。因为A=天-B一C=元 b 2C,所以合=sinA=sin2C,所以后+是 1 感悟与0 1.甲船在A处观察乙船，乙船在它北偏 sin'C+sin2C=1-cos 2C+(1-cos'2C)= 东60°方向，相距a海里的B处，乙船向正北 2 方向行驶，若甲船速度是乙船速度的√3倍，甲 cos2C- 2C+2-(cos2C+) 1 船为了尽快追上乙船，朝北偏东日方向前进， 则8= 提示：如图4，设两船在C处相遇。 因为△ABC为锐角三角形，且B=C,所 以至<C<空，即至<2C<x,所以-1< os2C<0,所以当c02C-号时，是+月 4 取得最大值票所以}+的最大值为票。 25 以a+ 图4 跟踪训练7：已知△ABC中，内角A,B, 由题意得∠ABC=180°-60°=120°，且 C所对的边分别为a,b,c,且满足 sin A sin B+sin C 瓷-，由正孩定理和瓷= 5,所以sin∠BAC=方 因为0°<∠BAC (1)若C=受，求B的值。 <60°，所以∠BAC=30°，所以0=60°一30 (2)求“专的取值范围。 =30°。 一b及正弦定 2.在△ABC中，若a=bcos C,则△ABC sin A 提示：1)由sinB十sinC b 是( )。 理得千。=。之，即c=分十b.因为C- A.锐角三角形 B.钝角三角形 至，所以c=a十6，所以公十ab=a+b,解 C.直角三角形 D.等腰三角形 得a=b,即A=B。 提示：由a=bcos C,结合余弦定理得 又因为C-受，所以B=罕 a=b.a+5C-。+b-c,所以2a 2ab 2a (2)由(1)知c2=b2十ab,所以a= a2十b2-c2,所以a2十c2=b2,即△ABC为直 c2-b 角三角形。应选C。 b ,且c>b。由三角形的三边关系得 作者单位：河南省开封高级中学 6十>：代人化简得b<<2b。所以 b+c>a, (责任编辑郭正华) 48