平面向量中的交汇问题-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

中学生表理化舞翠根丽年6月 平面向量中的交汇问题 ■詹选位 平面向量需要从方向和数量两个角度来 刻画，因此在解题时除了要掌握向量的基本 5 所以A=×品+ 9 概念、基本性质，还要注意向量与其他知识的 交汇问题，下面举例分析平面向量中的交汇 9 问题。 一、平面向量与平面几何的交汇 又因为A户=mA言+nA亡，所以m=3 ， 例1如图1所示，在△ABC中，已知 n=- 3.39 C元-号C成，A正=成，P是线段AD与BE ,故m十n=行十0-10。应选A。 点评：将三点共线的平面几何问题用向 的交点，若A卫=mAB+nA,则m+n的值 量共线这一代数关系表示是几何问题和代数 为( )。 问题相结合的典范。 二、平面向量与函数的交汇 例2如图2，在直角梯形ABCD中，已 知AB∥CD,∠DAB=90°，AB=2AD=2CD =6,点F是BC边靠近点B的三等分点，点 E是CD边上的一个动点，则EA·E下的取 图1 值范围是( )。 4品 CK 解：由A,P,D三点共线，可设A户= AA市(0<A<1.由CD-号C成，可得B时 图2 号BC,所以A=XAD=X(A店+B元) B.[0,3] 入(A店+号BC)=AA店+含(A心-A店) c.[] D.[-4.4 学+合A花。由A正=花，可得A花 解：以点A为坐标原点，以AB,AD所 在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐 吉A店，所以A市-登A店+老A正. ⑦ 标系（如图2）。由题意得点A(0,0),C(3, 由B,P,E三点共线，可设BP=uB正(O 3),B(6,0),F(5,1)。 ≤H≤1)，所以AP-AB=u(AE-AB),即 设点E(x,3),则x∈[0,3]，且EA= AP=(1-u)AB+AE。 ② (-x,一3)，EF=(5-x,一2)，所以EA· 由①②及向量AB与AE不共线，结合 EF=(-x)(5-x)+6=x2-5.x+6 1-H= 2入 3 (e-2）-子.因为x∈[031，所以当 平面向量基本定理得 解得：= 4入 5 9 0时，·亦=6，当x=时，E·E成 40 创新题追根溯源 高一数学2026年6月 中学生数理化 -子故厨，所∈[6应选D ≤7，所以12PB-PC1∈ [33,万应选 2 点评：建立平面直角坐标系，设出点E C。 的坐标，利用向量的数量积得到EA·EF= 点评：本题主要考查向量的坐标运算，模 (一)'-子，再利用二次函数的性质即可 长公式及二次函数性质的应用。 三、平面向量与三角函数的交汇 求出最值。 例4如图4，给定两个长度为1的平面 例3如图3，在等腰梯形ABCD中， 向量OA和OB,其夹角为60°，点C在以O AB∥DC,AB=2,BC=CD=1,P是腰AD 为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+ 上的一个动点，则|2PB一PC|的取值范围 yOB,则x十2y的最大值是一。 为( )。 图4 图3 解：以O为坐标原点，OA所在的直线为 A.[ B.3327 24 x轴建立平面直角坐标系（如图4）。 [层] 由题意知点A10,点B号，).设 ∠COA=0,日∈[0°，60]，则点C(cos日， 解：建立如图3所示的平面直角坐标系， 过点D作DE⊥AB于点E。因为ABCD是 sm).所以0i=1,0>.0i-(经，）.0d 等腰梯形，所以AE=子，所以∠DAB=6O =(cos0,sin0)。 由题意知O心=xOA+yOB,所以 所以点A0,0,点B(20),点D(合号) 1 x十 2y=c0s0, =cos 0- 3 sin 0, 点c(号) 可得 所 2y=sin 0, 23 3 由P是腰AD上的一个动点，可设A户 3sin 0. =mAD,0≤m≤1，则A下=mAD= 以x+2y=cos日- 3sin+43 sin 3 （gmn小所以点P(经m,小 cos +3 sin 0=2(1 +n) cos0+3、 所以2-P元=2(2-3m-)】 2sin(0+30°)。 5严）(2,6m） 因为30°≤0+30°≤90°，所以2≤sin(0 2 2 +30)1,所以1≤2sin(0+30)≤2，所以x 所以|2PB-PC +2y的最大值是2。 √”）+(，严） 点评：建立平面直角坐标系，引入角参数 0,得到x十2y=2sin(0十30°)，0°≤0≤60°是 =m-m+7-√(m-》+ 解题的关键。 作者单位：湖北省恩施市第一中学 因为0≤m≤1，所以≤(m-2）°+7 (责任编辑郭正华) 41